Méthodes Itératives: Algorithmes, Convergence

Table des mateères

Utilisation de la méthode itérative

Une méthode itérative peut être utilisée pour trouver une valeur de $x$ lorsque $f (x) = 0$ . Pour effectuer cette itération, nous devons d'abord réarranger la fonction.

Pour ce faire, nous devons réarranger la fonction $f (x) = 0$ en $x = g (x)$ . Par conséquent, nous devons faire de $x$ le sujet de $f (x) = 0$ . Cependant, il n'est pas important que nous ayons $x$ termes restants de l'autre côté.

En effet, nous pouvons effectuer $x_{n + 1} = g (x_{n})$ ce qui signifie que nous prenons notre valeur de $x$ et l'itérer.

Examinons deux exemples pratiques ci-dessous.

Exemples pratiques de calcul par itération

1. $x^{2} - 3 x - 5 = 0$

a) Prouve que $x = \sqrt{3 x + 5}$ .

b) En utilisant la formule itérative

x_{n + 1} = \sqrt{3 x_{n} + 5}

et en laissant

x_{0} = 4

, trouve les valeurs de

x_{1}, x_{2}, x_{3}

. SOLUTION : 1a)

x^{2} - 3 x - 5 = 0 x^{2} = 3 x + 5 x = \sqrt{3 x + 5}

1b)

x_{0} = 4 \Rightarrow x_{1} = \sqrt{3 (4) + 5} x_{1} = \sqrt{17} = 4.123105626 x_{2} = \sqrt{3 (4.123105626) + 5} = 4.167651242 x_{3} = \sqrt{3 (4.167651242) + 5} = 4.183653156

Lors de l'itération, nous utilisons tous les chiffres que notre calculatrice nous a donnés pour trouver la valeur suivante. Tu peux le faire facilement en utilisant le bouton ANS de ta calculatrice

Prenons un exemple plus difficile.

2. $f (x) = x e^{- x} - x + 3$

a) Prouve que $f (x) = 0$ peut être réarrangé pour former $x = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ .

b) En utilisant la formule itérative $x_{n + 1} = - \ln (1 - \frac{3}{x_{n}})$ et en laissant $x_{0} = - 1 .$

SOLUTION :

2a)

x e^{- x} - x + 3 = 0 x e^{- x} = x - 3 e^{- x} = 1 - \frac{3}{x} - x = \ln (1 - \frac{3}{x}) x = - \ln (1 - \frac{3}{x})

2 B)

x_{0} = - 1 \Rightarrow x_{1} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1}) x_{1} = - \ln (4) = - 1.386294361 x_{2} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1.386294361}) = - \ln (3.164042561) = - 1.151850501 x_{3} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1.151850501}) = - \ln (3.604504661) = - 1.282184358

Comment voit-on les méthodes itératives sur un graphique ?

Les méthodes itératives permettent de se rapprocher de plus en plus de la racine d'une équation. Nous les utilisons lorsque nous ne pouvons pas résoudre directement les équations avec d'autres méthodes.

Plus la valeur de $n$ dans $x_{n}$ est élevée, plus nous nous rapprochons de la racine de cette équation, car nous effectuons ce processus de plus en plus souvent.

Nous pouvons voir cela sur un graphique de deux façons : un diagramme en escalier ou un diagramme en toile d'araignée.

Diagrammes en escalier

Un diagramme en escalier fonctionne pour une fonction qui converge directement vers une racine, ce qui signifie qu'à partir de $x_{0}$ nous augmentons ou diminuons directement notre racine avec chaque valeur itérative.

Reprenons notre exemple initial $f (x) = x^{2} - 3 x - 5$ .

Nous nous concentrerons uniquement sur la racine positive (celle de droite).

Méthodes itératives Graphique utilisé pour la méthode itérative StudySmarter

Un graphique de $f (x) = x^{2} - 3 x - 5$

Nous savons par réarrangement que $x = \sqrt{3 x + 5}$ quand $f (x) = 0$ . Par conséquent, si nous traçons les lignes $y = x$ et $y = \sqrt{3 x + 5}$ l'intersection est la racine de cette équation.

Méthodes itératives Résolution de l'intersection itération StudySmarter

Une intersection entre les lignes $y = x$ et $y = \sqrt{3 x + 5}$

Traçons maintenant nos points pour $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ et $x_{3}$ .

Valeurs $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ marqué.

Alt-text : Valeurs marquées sur le graphique.

Voici une version plus zoomée et nous pouvons voir que ces points convergent lentement vers l'intersection. Si nous ajoutons quelques lignes, nous pouvons voir notre escalier.

Méthodes itératives Itération diagramme en escalier StudySmarter

Un diagramme d'escalier reliant tous les points susmentionnés.

Si nous continuons et utilisons plus de valeurs, nous nous rapprocherons de plus en plus de cette intersection. Nous ne l'atteindrons jamais réellement mais nous pouvons l'obtenir en vue d'une grande précision.

Diagrammes en toile d'araignée

Un diagramme en toile d'araignée apparaît lorsque nous convergeons vers une racine dans plus d'une direction, ce qui signifie que nos valeurs deviennent à la fois trop élevées et trop basses autour de la racine.

Notre deuxième exemple $f (x) = x e^{- x} - x + 3$ illustre ce phénomène. Nous allons nous concentrer sur la racine négative, celle qui se trouve à gauche.

Méthodes tératives Croquis graphique pour l'itération StudySmarter Légende de l'image

Un croquis du graphique $f (x) = x e^{- x} - x + 3$

Une fois de plus, en réarrangeant, nous savons que $x = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ lorsque $f (x) = 0$ . Nous pouvons donc tracer les lignes $y = x$ et $y = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ et leur intersection est la solution de l'équation $f (x) = 0$ .

Méthodes itératives Intersection entre les lignes avant l'itération. StudySmarter

Intersection entre les lignes $y = x$ et $y = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ ,

Traçons maintenant nos points pour $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ et $x_{3}$ .

Méthodes itératives Valeurs marquées sur le graphique StudySmarter

Points $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ marqués.

On voit bien que ces points ne sont pas dans l'ordre. Nous n'avons donc pas un escalier, mais une toile d'araignée et nous convergeons vers la valeur depuis des directions différentes. Voici à quoi cela ressemble.

Méthodes itératives Diagramme Cobweb Itération StudySmarter

Un diagramme en toile d'araignée attachant tous les points marqués.

Nous pouvons voir que cela ressemble à une toile d'araignée, et que cela converge vers une valeur à partir de valeurs supérieures et inférieures à l'intersection.

Méthodes itératives - Principaux enseignements

Les méthodes itératives peuvent être utilisées pour trouver des solutions à des équations que nous ne pouvons pas résoudre autrement.
Elles nous donnent des formules pour nous aider à converger vers des racines particulières d'équations.
Nous pouvons utiliser des graphiques pour nous aider à visualiser comment les racines deviennent plus précises (plus nous nous rapprochons de l'intersection, plus notre réponse est précise).
Un diagramme en escalier est un diagramme dans lequel nous nous déplaçons dans une direction vers l'intersection.
Un diagramme en toile d'araignée est un diagramme dans lequel nous nous déplaçons autour de l'intersection dans plus d'une direction.

Fiches dans Méthodes Itératives 5

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Qu'est-ce que l'itération ?

L'itération est le processus par lequel nous commençons par une valeur approximative puis, à l'aide d'une formule itérative, nous nous rapprochons d'une valeur beaucoup plus précise (plus proche de la valeur réelle).

Pourquoi utilisons-nous l'itération ?

Nous utilisons principalement l'itération lorsque nous ne disposons pas de méthodes claires pour résoudre les racines d'une équation.

Qu'est-ce qu'un diagramme d'escalier ?

Lorsque nous convergeons vers une valeur dans la même direction (croissante ou décroissante), alors nous pouvons dessiner un diagramme en escalier entre toutes les valeurs que nous obtenons.

Qu'est-ce qu'un diagramme en toile d'araignée ?

Un diagramme en toile d'araignée, c'est lorsque nous convergeons vers une valeur supérieure ou inférieure à la valeur réelle. Nous obtenons donc une valeur un peu trop élevée puis un peu trop basse et finalement notre marge d'erreur devient de plus en plus faible. Nous nous rapprochons de notre intersection.

Pourquoi ne pouvons-nous pas résoudre les problèmes itératifs de manière graphique ?

Car parfois, nous obtenons des valeurs irrationnelles que nous ne pouvons pas lire sur un graphique avec une bonne précision.

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Questions fréquemment posées en Méthodes Itératives

Qu'est-ce qu'une méthode itérative en mathématiques?

Une méthode itérative en mathématiques est une technique de résolution d'équations qui utilise une approche répétitive, en partant d'une approximation initiale et améliorée à chaque étape.

Pourquoi utiliser des méthodes itératives?

Les méthodes itératives sont utiles pour résoudre des problèmes complexes où les méthodes directes sont impraticables ou impossibles, offrant des approximations successives de la solution.

Quels sont les exemples de méthodes itératives?

Quelques exemples de méthodes itératives incluent la méthode de Newton-Raphson pour les équations non linéaires et la méthode de Jacobi pour les systèmes d'équations linéaires.

Comment choisir une méthode itérative appropriée?

Pour choisir une méthode itérative appropriée, considérez la nature du problème, la convergence de la méthode, sa complexité et les ressources de calcul disponibles.

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