Matrices Inverses: Définition, Propriétés

Table des mateères

Définition des matrices inverses

On dit qu'une matrice est l'inverse d'une autre matrice si le produit des deux matrices aboutit à une matrice identité. Cependant, avant d'aborder les matrices inverses, nous devons rafraîchir nos connaissances sur la matrice identité.

Qu'est-ce qu'une matrice identité ?

Une matrice identité est une matrice carrée qui, lorsqu'elle est multipliée par une autre matrice carrée, est égale à la même matrice. Dans cette matrice, les éléments de la diagonale gauche la plus haute à la diagonale droite la plus basse sont 1, tandis que tous les autres éléments de la matrice sont 0. Voici des exemples de matrice identité 2 par 2 et 3 par 3 respectivement :

Une matrice identité 2 par 2 :

$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

Une matrice identité 3 par 3 :

$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Ainsi, l'inverse d'une matrice peut être dérivé comme suit :

Où I est la matrice identité et A est une matrice carrée, alors :

$A \times I = I \times A = A$

Pour avoir un petit aperçu de cela, considère :

$A \times I = A I = A \times A^{- 1}$

^A-1 est l'inverse de la matrice A. L'équation :

$I = A \times A^{- 1}$

signifie que le produit de la matrice A et de la matrice inverse A donne I, la matrice identité.

Par conséquent, nous pouvons vérifier si deux matrices multipliées sont inverses l'une de l'autre.

Vérifie si les matrices suivantes sont des matrices inverses ou non.

$A = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] a n d B = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{4} \end{matrix}]$

$M = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}] a n d N = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}]$

Solution :

a. Trouve le produit entre les matrices A et B ;

$A \times B = [\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 1 & 4 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{4} \end{matrix}] A \times B = [\begin{matrix} (2 \times \frac{1}{2}) + (2 \times (- 1)) & (2 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) \\ (- 1 \times \frac{1}{2}) + (4 \times (- 1)) & (- 1 \times \frac{1}{2}) + (4 \times \frac{1}{4}) \end{matrix}] A \times B = [\begin{matrix} 1 - 2 & 1 + \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} - 4 & - \frac{1}{2} + 1 \end{matrix}] A \times B = [\begin{matrix} - 1 & 1 \frac{1}{2} \\ - 4 \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]$

Comme le produit des matrices A et B ne donne pas une matrice identité, A n'est pas l'inverse de B et vice versa.

$M \times N = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix}] M \times N = [\begin{matrix} (3 \times 1) + (4 \times (- \frac{1}{2})) & (3 \times (- 2)) + (4 \times \frac{3}{2}) \\ (1 \times 1) + (2 \times (- \frac{1}{2}) & (1 \times (- 2)) + (2 \times \frac{3}{2}) \end{matrix}] M \times N = [\begin{matrix} 3 - 2 & - 6 + 6 \\ 1 - 1 & - 2 + 3 \end{matrix}] M \times N = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

Puisque le produit des matrices M et N donne une matrice identité, cela signifie que la matrice M est l'inverse de la matrice N.

Quelles sont les méthodes utilisées pour trouver l'inverse des matrices ?

Il existe trois méthodes pour trouver l'inverse des matrices, à savoir :

Méthode du déterminant pour les matrices 2 par 2.
La méthode gaussienne ou matrice augmentée.
La méthode de l'adjoint par l'utilisation de cofacteurs matriciels.

Cependant, à ce niveau, nous n'apprendrons que la méthode du déterminant.

Méthode du déterminant

Pour trouver l'inverse d'une matrice 2 par 2, tu dois appliquer cette formule :

$M = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] M^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

À condition que :

$a d - b c \neq 0$

Lorsque le déterminant d'une matrice est 0, il n'y a pas d'inverse.

Par conséquent, l'inverse d'une matrice 2 par 2 est le produit de l'inverse du déterminant et de la matrice modifiée. La matrice modifiée est obtenue en permutant les éléments diagonaux avec le signe du cofacteur sur chacun d'eux.

Trouve l'inverse de la matrice B.

$B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$

Solution :

$B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix}]$

En utilisant ;

${[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

Puis ;

$B^{- 1} = \frac{1}{(1 \times 3) - (0 \times 2)} [\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] B^{- 1} = \frac{1}{3 - 0} [\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] B^{- 1} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}]$

ou,

$B^{- 1} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{3}{3} & 0 \\ - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix}] B^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

Plus important encore, une fois que ton déterminant est calculé et que ta réponse est égale à 0, cela signifie simplement que la matrice n'a pas d'inverse.

L'inverse des matrices 3 par 3 peut également être dérivé en utilisant :

$M^{- 1} = \frac{1}{|\begin{matrix} M \end{matrix}|} a d j (M)$

Où,

$|\begin{matrix} M \end{matrix}|$ est le déterminant d'une matrice M

adj(M) est l'adjoint de la matrice M

Pour y parvenir, il faut suivre quatre étapes de base :

Étape 1 - Trouve le déterminant de la matrice donnée. Si le déterminant est égal à 0, cela signifie qu'il n'y a pas d'inverse.

Étape 2 - Trouve le cofacteur de la matrice.

Étape 3 - Transpose la matrice cofacteur pour obtenir l'adjoint de la matrice.

Étape 4 - Divise la matrice adjointe par le déterminant de la matrice.

Exemples de matrices inverses

Prenons encore quelques exemples pour mieux comprendre les matrices inverses.

Trouve l'inverse de la matrice X.

$X = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 3 \\ 5 & 3 & 0 \\ - 4 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Solution :

Il s'agit d'une matrice 3 par 3.

Étape 1 : Trouve le déterminant de la matrice donnée.

$|\begin{matrix} X \end{matrix}| = 2 |\begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}| - 1 |\begin{matrix} 5 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix}| - 3 |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 4 & 2 \end{matrix}| |\begin{matrix} X \end{matrix}| = 2 (3 - 0) - 1 (5 - 0) - 3 (10 + 12) |\begin{matrix} X \end{matrix}| = 6 - 5 - 66 |\begin{matrix} X \end{matrix}| = - 65$

Comme le déterminant n'est pas égal à 0, cela signifie que la matrice X a un inverse.

Étape 2 : Trouve le cofacteur de la matrice.

Le cofacteur se calcule avec

$C_{i j} = {(- 1)}^{i + j} \times M_{i j}$

Le cofacteur de 2 qui est _C11 est

$C_{11} = {(- 1)}^{1 + 1} \times |\begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}| C_{11} = 1 (3 - 0) C_{11} = 3$

Le cofacteur de 1 qui est _C12 est

$C_{12} = {(- 1)}^{1 + 2} \times |\begin{matrix} 5 & 0 \\ - 4 & 1 \end{matrix}| C_{12} = - 1 (5 - 0) C_{12} = - 5$

Le cofacteur de -3 qui est _C13 est

$C_{13} = {(- 1)}^{1 + 3} \times |\begin{matrix} 5 & 3 \\ - 4 & 2 \end{matrix}| C_{13} = 1 (10 + 12) C_{13} = 22$

Le cofacteur de 5 qui est _C21 est

$C_{21} = {(- 1)}^{2 + 1} \times |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}| C_{21} = - 1 (1 + 6) C_{21} = - 7$

Le cofacteur de 3 qui est _C22 est

$C_{22} = {(- 1)}^{2 + 2} \times |\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{matrix}| C_{22} = 1 (2 + 12) C_{22} = 14$

Le cofacteur de 0 qui est _C23 est

$C_{23} = {(- 1)}^{2 + 3} \times |\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 4 & 2 \end{matrix}| C_{23} = - 1 (4 + 4) C_{23} = - 8$

Le cofacteur de -4 qui est _C31 est

$C_{31} = {(- 1)}^{3 + 1} \times |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 3 & 0 \end{matrix}| C_{31} = 1 (0 + 9) C_{31} = 9$

Le cofacteur de 2 qui est _C32 est

$C_{32} = {(- 1)}^{3 + 2} \times |\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 5 & 0 \end{matrix}| C_{32} = - 1 (0 + 15) C_{32} = - 15$

Le cofacteur de 1 qui est _C33 est

$C_{33} = {(- 1)}^{3 + 3} \times |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix}| C_{33} = 1 (6 - 5) C_{33} = 1$

Le cofacteur de la matrice X est donc

$X^{c} = [\begin{matrix} 3 & - 5 & 22 \\ - 7 & 14 & - 8 \\ 9 & - 15 & 1 \end{matrix}]$

Étape 3 : Transpose la matrice cofacteur pour obtenir l'adjoint de la matrice.

La transposée de ^Xc est

${(X^{c})}^{T} = A d j (X) = [\begin{matrix} 3 & - 7 & 9 \\ - 5 & 14 & - 15 \\ 22 & - 8 & 1 \end{matrix}]$

Étape 4 : Divise la matrice adjointe par le déterminant de la matrice.

Rappelle-toi que le déterminant de la matrice X est 65. Cette dernière étape nous donne l'inverse de la matrice X qui est ^X-1. Par conséquent, nous avons

$X^{- 1} = \frac{1}{- 65} [\begin{matrix} 3 & - 7 & 9 \\ - 5 & 14 & - 15 \\ 22 & - 8 & 1 \end{matrix}] X^{- 1} = [\begin{matrix} - \frac{3}{65} & \frac{7}{65} & - \frac{9}{65} \\ \frac{5}{65} & - \frac{14}{65} & \frac{15}{65} \\ - \frac{22}{65} & \frac{8}{65} & - \frac{1}{65} \end{matrix}] X^{- 1} = [\begin{matrix} - \frac{3}{65} & \frac{7}{65} & - \frac{9}{65} \\ \frac{1}{13} & - \frac{14}{65} & \frac{3}{13} \\ - \frac{22}{65} & \frac{8}{65} & - \frac{1}{65} \end{matrix}]$

À l'aide des opérations matricielles, résous x et y dans la situation suivante :

$2 x + 3 y = 6 x - 2 y = - 2$

Solution :

Cette équation peut être représentée sous forme de matrice comme suit

$[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix}]$

Les matrices sont représentées par P, Q et R respectivement, de sorte que

$[P] \times [Q] = [R]$

Nous avons l'intention de trouver la matrice Q puisqu'elle représente nos inconnues x et y. Nous faisons donc de la matrice Q le sujet de la formule.

${[P]}^{- 1} \times [P] \times [Q] = {[P]}^{- 1} \times [R] {[P]}^{- 1} \times [P] = I$

I est une matrice Identité et son déterminant est 1.

$I [Q] = [R] \times {[P]}^{- 1} [Q] = [R] \times {[P]}^{- 1}$

${[P]}^{- 1} = {[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}]}^{- 1} {[P]}^{- 1} = \frac{1}{(- 4 - 3)} [\begin{matrix} - 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] {[P]}^{- 1} = [\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} \end{matrix}]$

Alors ,

$[Q] = [\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 6 \\ - 2 \end{matrix}] [Q] = [\begin{matrix} (\frac{2}{7} \times 6) + (\frac{3}{7} \times - 2) \\ (\frac{1}{7} \times 6) + ((- \frac{2}{7}) \times - 2) \end{matrix}] [Q] = [\begin{matrix} \frac{12}{7} - \frac{6}{7} \\ \frac{6}{7} + \frac{4}{7} \end{matrix}] [Q] = [\begin{matrix} \frac{6}{7} \\ \frac{10}{7} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{6}{7} \\ \frac{10}{7} \end{matrix}] x = \frac{6}{7} y = \frac{10}{7}$

Matrices inverses - Principaux enseignements

On dit qu'une matrice est l'inverse d'une autre matrice si le produit des deux matrices aboutit à une matrice identité.
L'inverse d'une matrice est possible pour une matrice carrée dont le déterminant n'est pas égal à 0.
L'inverse d'une matrice deux par deux s'obtient en utilisant : ${[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

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Qu'est-ce qu'une matrice d'identité ?

Une matrice d'identité est une matrice carrée qui, lorsqu'elle est multipliée par une autre matrice carrée, est égale à la même matrice. Dans cette matrice, les éléments de la diagonale gauche la plus haute à la diagonale droite la plus basse valent 1, tandis que tous les autres éléments de la matrice valent 0.

Qu'est-ce que l'inverse d'une matrice ?

On dit qu'une matrice est l'inverse d'une autre matrice si le produit des deux matrices donne une matrice d'identité.

Quelles sont les méthodes utilisées pour trouver l'inverse d'une matrice ?

La méthode gaussienne et la méthode des déterminants

Quelles sont les deux conditions à remplir pour qu'une matrice ait un inverse ?

La matrice doit être une matrice carrée ; en outre, le déterminant de la matrice ne doit pas être égal à 0.

Quel est le déterminant d'une matrice d'identité ?

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Questions fréquemment posées en Matrices Inverses

Qu'est-ce qu'une matrice inverse ?

Une matrice inverse est une matrice qui, lorsqu'elle est multipliée par la matrice d'origine, donne une matrice identité.

Comment trouver l'inverse d'une matrice ?

Pour trouver l'inverse d'une matrice, on utilise souvent la méthode des cofacteurs ou la méthode de Gauss-Jordan.

Quand une matrice n'a-t-elle pas d'inverse ?

Une matrice n'a pas d'inverse si son déterminant est zéro, on dit alors qu'elle est singulière.

À quoi sert une matrice inverse ?

Une matrice inverse sert à résoudre des systèmes d'équations linéaires et des problèmes de transformations en algèbre linéaire.

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