Les lois de base des logarithmes
Loi du produit (addition) : \(\log_a(m) + \log_b(n) = \log_a(mn)\)
Loi du quotient : \(\log_a(m) - \log_b(n) = \log_a(\frac{m}{ n})\)
Loi de puissance : \(\log_a(x^b) = b\log_a(x)\)
Changement de loi : \(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
La formule de changement de loi se trouve dans le livret de formules qui t'est remis lors de l'examen.
Autres logarithmes
Lois réciproques : \(\log_a(\frac{1}{x}) = \log(x^{-1}) = -\log(x)\)
Log de la base : \N(\Nlog_a(a)=1\N)
Logarithme de 1 : \(\log_a(1) = 0\)
Bien qu'il s'agisse techniquement d'une loi logarithmique, il est important de se rappeler que les logarithmes peuvent être convertis en exponentielles : \(\log_a(b) = x\) peut être écrit comme \(a^x = b\).
Loi de la preuve des billes
Il n'est pas nécessaire de pouvoir prouver chaque loi du logarithme pour l'examen, mais il est important de comprendre chaque étape et la raison pour laquelle elle se produit.
Loi du produit (addition)
1. Si \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\), tu peux réécrire les logarithmes comme une fonction exponentielle.
Pour \N(\Nlog_x(a) = c\N), la base estx, l'exposant est c, la réponse à l'exponentielle est a.
Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^c = a\)
Pour \(\log_x(b) = d\), la base est x, l'exposant est d, et la réponse à l'exponentielle est b.
Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme \(x^d = b\)
2. Ainsi, en utilisant notre règle exponentielle (indices) de \(M^n \cdot M^n = M^{m+n}\),
\(ab = (x^c)(x^d) = x^{c+d}\)
\N(ab = x^{c+d}\N)
3. Prends le logarithme des deux côtés :
\(\log_x(ab) = \log_x(x^{c+d})\)
4. Comme \(\log_x(x^{c+d})\) comprend à la fois une exponentielle avec une base de x et un logarithme avec une base de x (\(\log_x(x^{c+d})\)), ils s'annuleront l'un l'autre pour devenir juste c + d.
\N(log_x(x^{c+d}) = c +d \N)
\N(\Nlog_x(ab) = c+d\N)
Cette étape est due au fait que les logarithmes et les exponentielles sont des fonctions inverses l'une de l'autre. Pense à l'annulation des +4 et -4 dans x +4 -4 = 10 - c'est le même principe.
5. Nous avons défini c et d dans la partie 1. \N(\Nlog_x(a) = c\N) et \N(\Nlog_x(b) = d\N)
Par conséquent, \N(c +d = \Nlog_x(a) + \Nlog_x(b)\N)
\N(\Nlog_x(ab) = \Nlog_x(a) + \Nlog_x(b)\N)
Règle du quotient
1. Si \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\), alors tu peux réécrire les logarithmes comme une fonction exponentielle.
For\(\log_x(a) = c\), la base est x, l'exposant est c, et la réponse à l'exponentielle est a.
Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^c = a\)
Pour \(\log_x(b) = d\), la base est x, l'exposant est d, et la réponse à l'exponentielle est b.
Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^d = b\)
2. Ainsi, en utilisant nos règles exponentielles (indices) de \(\frac{M^m}{M^n} = M^{m-n}\),
\(\frac{a}{b} = \frac{x^c}{x^d} = x^{c-d}\)
\(\frac{a}{b} = x^{c-d}\)
3. Prends le logarithme des deux côtés.
\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(x^{c-d})\)
4. Comme \(\log_x(x^{c-d})\) comprend à la fois une exponentielle avec une base de x et un logarithme avec une base de x, ils s'annuleront l'un l'autre pour devenir juste c - d.
\N(\Nlog_x(x^{c-d}) = c-d\N)
\N(\Nlog_x(\Nfrac{a}{b}) = c-d\N)
5. Nous avons défini c et d dans la partie 1 où \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\) :
\N-(c-d = \Nlog_x(a) - \Nlog_x(b)\N)
\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(a) - \log_x(b)\)
Changement de base
1. Soit \(\log_a(x) = k\) où la base est a,l'exposant est k, et la réponse à l'exponentielle = x .
Par conséquent, il peut être réécrit comme une exponentielle : \N(a^k = x\N)
2. Prends le logarithme des deux côtés
\(\log_b(a^k) = \log_b(x)\)
3. Utilise la règle de la puissance pour simplifier
\(\log_b(a^k) = k\log_b(a)\) que tu peux ensuite substituer dans l'équation
\N(k\Nlog_b(a) = \Nlog_b(x)\N)
4. Réarrange pour obtenir k seul en divisant par k \ (\log_b(a)\N- \N- \N- \N- \N- \N(\N- \N- \N-)
\(k = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
5. Comme k est déjà défini, il peut être substitué à l'équationk\(\log_a(x)\)
\(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
Droit de réciprocité
- \(\log_a(\frac{1}{x})\) peut être écrit comme \(\log_a(x^{-1})\) en utilisant nos règles exponentielles avec les négations.
- Tu peux utiliser la règle du logarithme de la puissance pour abaisser le -1 de sorte que \(\log_a(x^{-1})\N) devienne \(-\log_a(x)\N).
Log de la base
- L'ensemble \(\log_a(a)=x\) où la base est a, l'exposant est x, et la réponse à l'exponentielle est a. Par conséquent, elle peut être écrite comme\(a^x = a\).
- Selon les règles de l'exponentielle, si la réponse d'une exponentielle est égale à la base, alors l'exposant doit être 1.
Log de 1
- Définis \(\log_a1=x\) où la base est a, l'exposant est x, et la réponse à l'exponentielle est 1. Par conséquent, elle peut être écrite comme\(a^x = 1\).
- Selon les règles de l'exponentielle, si la réponse d'une exponentielle est 1, alors l'exposant doit être 0.
Simplifier et résoudre à l'aide des lois des logarithmes
Ici, nous allons passer en revue quelques exemples de simplification d'une série de lois de logarithmes.
Simplification et résolution à l'aide de la loi du logarithme 1
Montrer log (6) + log (4) = log (24)-log)
\Montrer log (6) + log (4) = log (6) = log (24)
Résoudre φ(φlog (14) - φlog (7))
\Solve Λ(2) = Λ(2) = 0.301 (3 s.f)
Simplifie 【log(9)】, conserve la forme exacte.
\Simplifier φ(2log(9) = φlog(9)^2 = φlog(81)^2).
Résoudre \(2\log(2\cdot 3)\)
\(2\log(2 \cdot 3) = \log(2 \cdot 3)^2 = \log(6)^2 = \log(36) = 1.56 (3 s.f)\)
Simplification et résolution à l'aide de lois logarithmiques multiples
Il peut être utile d'utiliser les règles qui simplifient les logarithmes individuels avant de simplifier les lois des logarithmes multiples.
Résous \(3\log(4) - \log(8)\)
\(\log(4)^3 = \log(64)\log(64) - \log(8) = \log(\frac{64}{8}) = \log(8) = 0.903 (3 s.f)\)Simplifie \(\log_4(4x^2)\)
\N(\Nlog_4(4) + \Nlog_4(x^2)1+ 2\Nlog_4x\N)
Prouve que (x = 1 \pm i\sqrt{8}\) où (2\log_2(x+3) - log_2(x) = 3\).
1. En utilisant la règle de puissance, \(2\log_2(x+3) = \log_2(x+3)^2\).
Par conséquent, \N(\Nlog_2(x+3)^2 - \Nlog_2(x) = 3\N)
2. En utilisant la règle du quotient, \(\frac{\log_2(x+3)^2}{\log_2(x)} = 3\)
3. Lorsque tu veux supprimer le logarithme, tu dois le convertir en exponentielle. Cela se fait de la même manière que pour la formule normale - assure-toi simplement d'étiqueter chaque partie.
La base est 2 ; l'exposant est 3 ; la réponse à l'exponentielle est \(\frac{(x+3)^2}{x}\)
\(2^3 = \frac{(x+3)^2}{x}\)
4. Résous l'équation comme une équation normale
\(8 = \frac{(x+3)^2}{x}\)
\(8x = (x+3)^2)
\(0 = x^2 -2x+9\)
En utilisant la formule, nous obtenons : \(x = 1 \pm i\sqrt{8}\)
Lois des logarithmes - Points clés à retenir
- Les quatre principales lois que tu dois connaître sont la loi du produit, la loi du quotient, la loi du changement de base et la règle de la puissance.
- La loi de réciprocité, le logarithme d'une base et le logarithme de 1 sont des logarithmes plus spécialisés - ils ne peuvent être utilisés que dans des contextes spécifiques.
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