Lois des logarithmes

Loi de la preuve des billes

Il n'est pas nécessaire de pouvoir prouver chaque loi du logarithme pour l'examen, mais il est important de comprendre chaque étape et la raison pour laquelle elle se produit.

Loi du produit (addition)

1. Si \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\), tu peux réécrire les logarithmes comme une fonction exponentielle.

x, l'exposant est c, la réponse à l'exponentielle est a.

Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^c = a\)

Pour \(\log_x(b) = d\), la base est x, l'exposant est d, et la réponse à l'exponentielle est b.

Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme \(x^d = b\)

2. Ainsi, en utilisant notre règle exponentielle (indices) de \(M^n \cdot M^n = M^{m+n}\),

\(ab = (x^c)(x^d) = x^{c+d}\)

\N(ab = x^{c+d}\N)

3. Prends le logarithme des deux côtés :

\(\log_x(ab) = \log_x(x^{c+d})\)

4. Comme \(\log_x(x^{c+d})\) comprend à la fois une exponentielle avec une base de x et un logarithme avec une base de x (\(\log_x(x^{c+d})\)), ils s'annuleront l'un l'autre pour devenir juste c + d.

\N(log_x(x^{c+d}) = c +d \N)

\N(\Nlog_x(ab) = c+d\N)

5. Nous avons défini c et d dans la partie 1. \N(\Nlog_x(a) = c\N) et \N(\Nlog_x(b) = d\N)

Par conséquent, \N(c +d = \Nlog_x(a) + \Nlog_x(b)\N)

\N(\Nlog_x(ab) = \Nlog_x(a) + \Nlog_x(b)\N)

Règle du quotient

1. Si \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\), alors tu peux réécrire les logarithmes comme une fonction exponentielle.

For\(\log_x(a) = c\), la base est x, l'exposant est c, et la réponse à l'exponentielle est a.

Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^c = a\)

Pour \(\log_x(b) = d\), la base est x, l'exposant est d, et la réponse à l'exponentielle est b.

Par conséquent, on peut l'écrire sous la forme suivante : \(x^d = b\)

2. Ainsi, en utilisant nos règles exponentielles (indices) de \(\frac{M^m}{M^n} = M^{m-n}\),

\(\frac{a}{b} = \frac{x^c}{x^d} = x^{c-d}\)

\(\frac{a}{b} = x^{c-d}\)

3. Prends le logarithme des deux côtés.

\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(x^{c-d})\)

4. Comme \(\log_x(x^{c-d})\) comprend à la fois une exponentielle avec une base de x et un logarithme avec une base de x, ils s'annuleront l'un l'autre pour devenir juste c - d.

\N(\Nlog_x(x^{c-d}) = c-d\N)

\N(\Nlog_x(\Nfrac{a}{b}) = c-d\N)

5. Nous avons défini c et d dans la partie 1 où \(\log_x(a) = c\) et \(\log_x(b) = d\) :

\N-(c-d = \Nlog_x(a) - \Nlog_x(b)\N)

\(\log_x(\frac{a}{b}) = \log_x(a) - \log_x(b)\)

Changement de base

1. Soit \(\log_a(x) = k\) où la base est a,l'exposant est k, et la réponse à l'exponentielle = x .

Par conséquent, il peut être réécrit comme une exponentielle : \N(a^k = x\N)

2. Prends le logarithme des deux côtés

\(\log_b(a^k) = \log_b(x)\)

3. Utilise la règle de la puissance pour simplifier

\(\log_b(a^k) = k\log_b(a)\) que tu peux ensuite substituer dans l'équation

\N(k\Nlog_b(a) = \Nlog_b(x)\N)

4. Réarrange pour obtenir k seul en divisant par k \ (\log_b(a)\N- \N- \N- \N- \N- \N(\N- \N- \N-)

\(k = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

5. Comme k est déjà défini, il peut être substitué à l'équationk\(\log_a(x)\)

\(\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)

Droit de réciprocité

1. \(\log_a(\frac{1}{x})\) peut être écrit comme \(\log_a(x^{-1})\) en utilisant nos règles exponentielles avec les négations.
2. Tu peux utiliser la règle du logarithme de la puissance pour abaisser le -1 de sorte que \(\log_a(x^{-1})\N) devienne \(-\log_a(x)\N).

Log de la base

1. L'ensemble \(\log_a(a)=x\) où la base est a, l'exposant est x, et la réponse à l'exponentielle est a. Par conséquent, elle peut être écrite comme\(a^x = a\).
2. Selon les règles de l'exponentielle, si la réponse d'une exponentielle est égale à la base, alors l'exposant doit être 1.

Log de 1

1. Définis \(\log_a1=x\) où la base est a, l'exposant est x, et la réponse à l'exponentielle est 1. Par conséquent, elle peut être écrite comme\(a^x = 1\).
2. Selon les règles de l'exponentielle, si la réponse d'une exponentielle est 1, alors l'exposant doit être 0.

Simplifier et résoudre à l'aide des lois des logarithmes

Ici, nous allons passer en revue quelques exemples de simplification d'une série de lois de logarithmes.

Simplification et résolution à l'aide de la loi du logarithme 1

Simplification et résolution à l'aide de lois logarithmiques multiples

Il peut être utile d'utiliser les règles qui simplifient les logarithmes individuels avant de simplifier les lois des logarithmes multiples.