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Conversion entre les logarithmes naturels et les fonctions exponentielles
Commence par un logarithme naturel général : \N(\Nln(x) = y\N). Tu peux facilement le réécrire comme \N(\Nlog_e(x) = y\N).
Comme toujours, tu dois étiqueter chaque partie de la fonction : la base est e (comme pour les logarithmes naturels), l'exposant est y, et la réponse de l'exponentielle est x.
Tu peux donc réécrire les logarithmes comme \(e^y = x\).
Résous \(e^x = 5\) à 3 sf
- Étiquette chaque partie de la fonction de façon à ce que : la base soit e, l'exposant soit x, et la réponse de l'exponentielle soit 5.
- Formule-la ensuite en logarithme pour obtenir \N(\Nlog_e(5) = x\N).
- Comme Loge revient à dire Ln, tu peux l'écrire sous forme de logarithme naturel
Quelles sont les règles des logarithmes naturels ?
En plus des règles spécifiques aux logarithmes naturels, tu peux utiliser les lois générales des logarithmes ainsi que les règles exponentielles.
Règles pour les logarithmes naturels
- \N- (\Nn(e) = 1\N)
- \N-(\N-(1) = 0)
- \N- (\N-(e^x) = x)
- Si \(\ln(y) = \ln(x)\), alors y = x
- \N(e^{\ln(x)}) = x\)
Prouver les règles du logarithme naturel
Tout comme pour les preuves des lois des logarithmes, tu dois être capable de comprendre chaque étape de la preuve d'une règle de logarithme naturel - tu ne dois pas avoir l'impression que tu aurais pu arriver à ce point sans aucune aide.
Démontrer que Ln (1) = 0
\N(\Nln(1) = m\N) peut être écrit comme \N(\Nlog_e(1) = m\N)
Tu vas la réécrire comme une fonction exponentielle où la base est e, la réponse de l'exponentielle est 1 et l'exposant est m. Cette exponentielle ressemblerait à ceci : \(e^m = 1\)
En utilisant notre loi exponentielle Puissance = 0, tu sais que l'exposant (dans ce cas, m) doit être 0 pour que la réponse de l'exponentielle soit 1.
Ainsi, \N(\Nln(1) = 0\N)
Prouver que Ln (e) = 1
\(\ln(e) = n\) peut être réécrit comme \(\log_e(e) = n\) où la base est e, la réponse à l'exponentielle est e, et l'exposant est n.
Par conséquent, tu réécris \(\log_e(e) = n\) comme \(e^n = e\).
Selon nos règles exponentielles, lorsque la réponse à l'exponentielle est la même que la base, alors la puissance doit être 1.
Ainsi, \N(\Nln(e) = 1\N)
Prouver que Ln(ex)=x
L'exponentielle et le logarithme étant des fonctions inverses, ils s'annulent lorsqu'ils sont placés dans la même fonction.
Ce concept est le même que celui qui consiste à multiplier un nombre par 2, puis à le diviser par 2 - tu te retrouves avec le même nombre qu'au début.
Par conséquent, ln et e s'annulent et tu n'as plus que x.
Prouver que Ln (y) = Ln (x) signifie que y = x
Si tu poses ln(y) = a et ln(x) = b, tu peux réécrire chaque fonction comme une exponentielle.
- \N(\Nln(y) = a, \Nlog_e(y) = a\N)
Où la base est e, l'exposant est a, et la réponse à l'exponentielle est y. Par conséquent, l'exponentielle est \(e^a = y\).
- \N(\Nln(x) = b, \Nlog_e(x) = b\N)
La base est e, l'exposant est b et la réponse à l'exponentielle est x. Par conséquent, l'exponentielle est \(e^b = x\).
Comme on te dit ln (y) = ln (x), \(e^a\) doit être égal à \(e^b\), donc y = x.
Prouver que eLn(x)=x
Le e et le Ln s'annulent parce que les exponentielles et les logarithmes sont les fonctions inverses l'une de l'autre. En faisant cela, il te reste x.
Par conséquent, \N(e^{\ln(x)} = x\N)
Cette loi utilise le même raisonnement que la loi \N(\Nln(e^x) = x\N).
Application des règles du logarithme naturel
Exemple 1 : Résoudre \ (e^{2x} = 6\)
L'expression \(e^{2x} = 6\) peut être écrite sous forme de logarithme naturel car la base est e, l'exposant est 2x et la réponse à l'exponentielle est 6.
Donc, en tant que logarithme naturel, il peut être écrit ln (6) = 2x.
Par conséquent, \(\frac{\ln(6)}{2} = 0.896 (3 s.f)\)
Exemple 2 : Résoudre \(e^{x+3} = 10\)
L'expression \(e^{x+3}\) peut être écrite comme un logarithme, la base étant e; l'exposant est x + 3, et la réponse à l'exponentielle est 10.
\N(\Nln(10) = x + 3\N)
Par conséquent, \N(x = \ln(10) - 3 = -0,697(3 s.f)\N)
Exemple 3 : Résoudre \N(e^{\ln(x^3)} = 8\N)
Comme l'exponentielle et le logarithme sont des fonctions inverses, e et Ln s'annulent.
Par conséquent, \(x^3 = 8 ; x = 2\)
Exemple 4 : Résoudre \(\ln(x+1) = 1.4\)
Pour obtenir x seul, nous devons convertir le logarithme en une exponentielle dont la base est e, l'exposant est 1,4 et la réponse à l'exponentielle est x + 1.
Par conséquent, \N(e^{1.4} = x+1) et \N(x = e^{1.4} -1 = 3.06(3 s.f)\)
Exemple 5 : Résoudre \N(2\ln(6) + \ln(2) - \ln(4) = x\N)
1. Enraison de la règle du logarithme de puissance, \N(2\N(6)\N) peut être écrit comme \N(\N(6^2) = \N(36)\N).
Par conséquent, \N(\Ln(36) + \Ln(2) - \Ln(4) = x\N)
2. En utilisant la règle du produit et du quotient, nous pouvons aller plus loin :
\N- \N(\N36 \Ncdot 2) - \N(4) = x\N)
\N(\Nln(\Nfrac{36 \Ncdot 2}{4}) = x\N)
\(\ln(\frac{72}{4}) = \ln(18) = x = 2.89 (3 s.f)\N)
Logarithme naturel - Principaux enseignements
- Les logarithmes naturels sont des logarithmes dont la base est e.
- Pour utiliser les logarithmes naturels pour résoudre et simplifier, tu peux utiliser:\N(\N(1) = 0\N) ; \N(\N(e) = 1\N) ; si \N(\N(y) = \N(x)\N), alors y = x ; \N(e^{\N(x)} = x\N). Ces lois s'ajoutent à celles des exponentielles et des logarithmes.
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