Lignes perpendiculaires

Suppose qu'une droite \(5x+3y+7=0\) soit donnée. Trouve la pente de la droite perpendiculaire à la droite donnée.

Solution:

On sait que \(5x+3y+7=0\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(ax+by+c=0\N), nous obtenons \N(a=5\N), \N(b=3\N), \N(c=7\N).

Utilisons maintenant la formule ci-dessus pour calculer la pente.

\[\begin{align}\implies m_1&=-\dfrac{a}{b}=\\\\&=-\dfrac{5}{3}\end{align}\]

Maintenant, en utilisant la formule mentionnée ci-dessus dans l'explication, la pente de la ligne perpendiculaire est,

\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{b}{a}=\\\\&=-\dfrac{3}{5}\end{align}\]

Par conséquent, la pente de la droite perpendiculaire à \(5x+3y+7=0\) est \(m_2=\dfrac{3}{5}\).

Trouve l'équation d'une droite passant par le point \((0,2)\) telle qu'elle soit perpendiculaire à la droite \(y=2x-1\).

Solution:

Tout d'abord, nous trouvons la pente de la ligne perpendiculaire. Ici, l'équation d'une droite est donnée \(y=2x-1\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(y=mx+b\N), nous obtenons \N(m_1=2\N).

Prenons maintenant la réciproque négative de la pente ci-dessus pour trouver la pente de l'autre droite.

\[\implies m_2=-\dfrac{1}{m_1}\]

\[\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N]

Il est mentionné dans la question que l'autre ligne passe par le point \N((0,2)\N). L'ordonnée à l'origine de cette droite sera donc ,

\N- [y=mx+b\N]

\N- [\N- début{alignement} &\Nimplique que y=\Ngauche(-\Ndfrac{1}{2}\Ndroite)x+b\N&\Nimplique que 2y=-x+2b\N&\Nimplique que 2y+x=2b\N&].\Nimplique 2(2)+0=2b\Nquad \Nquad\Nquad \Ntext{substitute point }(0,2)\N&\Nimplique 4=2b\N &\Ndonc b=2 \Nend{align}\N]

Maintenant, nous substituons enfin toutes les valeurs obtenues dans l'équation de la droite.

\N- [y=mx+b\N]

\[\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+2\]

Graphiquement, nous pouvons représenter les droites perpendiculaires obtenues comme ci-dessous.

Graphique des droites perpendiculaires, StudySmarter Originals

Vérifie si les lignes données sont perpendiculaires ou non.

Ligne 1 : \N(4x-y-5=0\N), Ligne 2 : \N(x+4y+1=0\N).

Solution:

Pour vérifier si les lignes données sont perpendiculaires, nous allons voir si le produit des pentes est \(-1\) ou non. En comparant les équations données de la ligne \(4x-y-5=0\), \(x+4y+1=0\) avec la forme générale \(ax+by+c=0\).

\N-implications a_1=4,\Nquad b_1=-1,\Nquad c_1=-5;\Nquad a_2=1,\Nquad b_2=4,\Nquad c_2=1\N]

Nous allons maintenant utiliser la formule pour calculer la pente des lignes perpendiculaires. Par conséquent, pour la ligne 1, nous obtenons

\[\implies m_1=-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{4}{(-1)}=\dfrac{4}{1}=4\]

Et pour la ligne 2, la pente est

\[\implies m_2=-\dfrac{a_2}{b_2}=-\dfrac{1}{4}\]

Ici, \(m_1=4\), \(m_2=-\dfrac{1}{4}\) sont des réciproques négatives l'une de l'autre. Le produit des deux est donc

\N-[m_1 -m_2=4\Nfois \Nà gauche(-\Ndfrac{1}{4}\Nà droite)=-1\N]

Par conséquent, les deux lignes données sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Trouve l'équation de la droite si elle passe par le point \((0,1)\) et est perpendiculaire à une autre droite \(x+y=6\).

Solution :

Ici, l'équation de la première droite est donnée par \(x+y=6\). Et la deuxième ligne passe par le point \N((0,1)\N). Nous allons maintenant simplifier l'équation de la droite donnée pour qu'elle ressemble à la forme \N(y=mx+b\N).

\N- [\N-implique x+y=6\N]

\N- [\N- Début{align} \Nimplique que y&=6-x\N &=-x+6\N&=(-1)x+6\Ndonc \N,y&=-1x+6 \Nend{align}\N]

En comparant l'équation obtenue avec la forme générale de la droite ci-dessus, nous obtenons \(m_1=-1\), \(b_1=6\) pour la première droite. Maintenant, pour trouver la pente de la deuxième ligne, nous savons qu'elle est la réciproque négative de la pente de la première ligne.

\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}\\&=-\dfrac{1}{(-1)}\\ \therefore m_2&=1\end{align}\]

Et comme la deuxième droite passe par le point \N((0,1)\N), l'ordonnée à l'origine est,

\N- [y=m_2 x+b_2\N]

\[\begin{align}\implies y&=(1)x+b_2\\ \implies y&=x+b_2\\ \implies 1&=0+b_2\quad \quad\quad \text{substitute point (0,1)}\\ \therefore b_2&=1\end{align}\]

En mettant toutes les valeurs obtenues dans la forme générale de la droite, nous obtenons,

\[\begin{align}y&=m_2x+b_2\\&=1x+1\\&=x-1\end{align}\]

L'équation de la droite perpendiculaire à \N(x+y=6\N) et passant par \N((0,1)\N) est \N(y=x+1\N).