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Nous allons examiner ici les lignes perpendiculaires et comprendre les différents concepts qui s'y rapportent.
Signification des lignes perpendiculaires
Les lignes perpendiculaires sont les lignes qui se coupent à un certain angle. Comme leur nom l'indique, une perpendiculaire est formée entre les deux lignes. Une perpendiculaire est un angle droit. Par conséquent, les deux lignes se coupent à \(90º\).
Deux lignes droites distinctes qui se coupent à \(90º\) sont appelées lignes perpendiculaires.
Droites perpendiculaires, StudySmarter Originals
Ici, les droites AB et CD se coupent au point O et l'angle d'intersection est de \(90\) degrés. Les deux droites \(AB\) et \(CD\) sont donc des droites perpendiculaires. Nous les désignons donc par le signe \N(\Nperp\N).
\N- [\N-implique AB\N-implique CD\N]
N'oublie pas non plus que les quatre angles des lignes perpendiculaires sont tous égaux à \(90\) degrés. Voici donc
\[\N-angle AOD=\Nangle AOC=\Nangle COB=\Nangle BOD=90º\N]
Lignes non perpendiculaires, StudySmarter Originals
Ici, les deux types de lignes ne sont pas perpendiculaires car les lignes de la première figure se croisent mais pas à 90°. Et les lignes de la deuxième figure ne se croisent pas du tout. Par conséquent, il faut savoir que toutes les lignes qui se croisent ne sont pas des lignes perpendiculaires.
Droites perpendiculaires Gradient
Le gradient des droites perpendiculaires est la pente ou l'inclinaison des droites. Comme les deux droites perpendiculaires sont en fait une droite en soi, nous pouvons les représenter sous la forme d'une équation de droite \(y=mx+b\). Cette équation décrit la valeur de \(y\) lorsqu'elle varie en fonction de \(x\). Et m est la pente de cette ligne et \(b\) est l'ordonnée à l'origine.
La pente des lignes perpendiculaires est la réciproque négative de l'une à l'autre. Supposons que la pente de la première ligne soit \N(m_1\N) et que la pente de la deuxième ligne soit \N(m_2\N). La relation entre les deux pentes des droites perpendiculaires est \N(m_1 -m_2=-1\N).
On peut donc dire que si le produit de deux pentes est \(-1\), les deux lignes sont perpendiculaires l'une à l'autre.
Lignes perpendiculaires avec relation de pente, StudySmarter Originals
Formule de la pente des droites perpendiculaires
Nous pouvons trouver la pente de la ligne perpendiculaire à l'aide de l'équation d'une ligne et en utilisant le concept de pente mentionné ci-dessus. La forme générale de l'équation d'une droite est représentée par \(ax+by+c=0\). Nous pouvons alors simplifier cette équation comme suit :
\[ax+by+c=0\]
\[\implique que y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\quad \quad (1)\N].
Nous savons également que l'équation d'une droite en termes de pente peut être écrite comme suit,
\[y=m_1x+b\\Nquad\N(2)\N]
En comparant les équations \N((1)\N) et \N((2)\N), nous obtenons que \N(m_1=-\Ndfrac{a}{b}\N). Et d'après la théorie de la pente ci-dessus, nous savons que le produit des pentes des droites perpendiculaires est \N(-1\N).
\N-implique que m_1 - m_2=-1\N]
\N- [\N- Début{align} \implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}=\\&=-\dfrac{1}{-\frac{a}{b}}=\\&=\dfrac{b}{a}\\\\ \therefore m_2&=\dfrac{b}{a} \end{align}\]
Ainsi, à partir de l'équation donnée de la droite \(ax+by+c=0\), nous pouvons calculer les pentes des droites perpendiculaires en utilisant la formule \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).
Suppose qu'une droite \(5x+3y+7=0\) soit donnée. Trouve la pente de la droite perpendiculaire à la droite donnée.
Solution:
On sait que \(5x+3y+7=0\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(ax+by+c=0\N), nous obtenons \N(a=5\N), \N(b=3\N), \N(c=7\N).
Utilisons maintenant la formule ci-dessus pour calculer la pente.
\[\begin{align}\implies m_1&=-\dfrac{a}{b}=\\\\&=-\dfrac{5}{3}\end{align}\]
Maintenant, en utilisant la formule mentionnée ci-dessus dans l'explication, la pente de la ligne perpendiculaire est,
\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{b}{a}=\\\\&=-\dfrac{3}{5}\end{align}\]
Par conséquent, la pente de la droite perpendiculaire à \(5x+3y+7=0\) est \(m_2=\dfrac{3}{5}\).
Equation de la ligne perpendiculaire
L'équation d'une droite perpendiculaire peut être dérivée de l'équation d'une droite qui s'écrit sous la forme \(y=mx+b\). Nous avons étudié que les pentes des droites perpendiculaires sont la réciproque négative l'une de l'autre. Ainsi, lorsque nous écrivons des équations de droites perpendiculaires, nous devons nous assurer que les pentes de chaque droite multipliées ensemble donnent \(-1\).
Si nous voulons trouver une équation pour une ligne perpendiculaire à une autre ligne, nous devons prendre la réciproque négative de la pente de cette ligne. Cette valeur sera la valeur de \(m\) dans l'équation. L'ordonnée à l'origine peut être n'importe quoi, car une ligne peut avoir une infinité de droites perpendiculaires qui la coupent. Donc, sauf indication contraire dans la question, tu peux utiliser n'importe quelle valeur pour \(b\).
Trouve l'équation d'une droite passant par le point \((0,2)\) telle qu'elle soit perpendiculaire à la droite \(y=2x-1\).
Solution:
Tout d'abord, nous trouvons la pente de la ligne perpendiculaire. Ici, l'équation d'une droite est donnée \(y=2x-1\). En la comparant à l'équation générale de la droite \N(y=mx+b\N), nous obtenons \N(m_1=2\N).
Prenons maintenant la réciproque négative de la pente ci-dessus pour trouver la pente de l'autre droite.
\[\implies m_2=-\dfrac{1}{m_1}\]
\[\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N-implique que m_2=-\Ndfrac{1}{2}\N]
Il est mentionné dans la question que l'autre ligne passe par le point \N((0,2)\N). L'ordonnée à l'origine de cette droite sera donc ,
\N- [y=mx+b\N]
\N- [\N- début{alignement} &\Nimplique que y=\Ngauche(-\Ndfrac{1}{2}\Ndroite)x+b\N&\Nimplique que 2y=-x+2b\N&\Nimplique que 2y+x=2b\N&].\Nimplique 2(2)+0=2b\Nquad \Nquad\Nquad \Ntext{substitute point }(0,2)\N&\Nimplique 4=2b\N &\Ndonc b=2 \Nend{align}\N]
Maintenant, nous substituons enfin toutes les valeurs obtenues dans l'équation de la droite.
\N- [y=mx+b\N]
\[\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+2\]
Graphiquement, nous pouvons représenter les droites perpendiculaires obtenues comme ci-dessous.
Graphique des droites perpendiculaires, StudySmarter Originals
Exemples de droites perpendiculaires
Jetons un coup d'œil à quelques exemples de droites perpendiculaires.
Vérifie si les lignes données sont perpendiculaires ou non.
Ligne 1 : \N(4x-y-5=0\N), Ligne 2 : \N(x+4y+1=0\N).
Solution:
Pour vérifier si les lignes données sont perpendiculaires, nous allons voir si le produit des pentes est \(-1\) ou non. En comparant les équations données de la ligne \(4x-y-5=0\), \(x+4y+1=0\) avec la forme générale \(ax+by+c=0\).
\N-implications a_1=4,\Nquad b_1=-1,\Nquad c_1=-5;\Nquad a_2=1,\Nquad b_2=4,\Nquad c_2=1\N]
Nous allons maintenant utiliser la formule pour calculer la pente des lignes perpendiculaires. Par conséquent, pour la ligne 1, nous obtenons
\[\implies m_1=-\dfrac{a_1}{b_1}=-\dfrac{4}{(-1)}=\dfrac{4}{1}=4\]
Et pour la ligne 2, la pente est
\[\implies m_2=-\dfrac{a_2}{b_2}=-\dfrac{1}{4}\]
Ici, \(m_1=4\), \(m_2=-\dfrac{1}{4}\) sont des réciproques négatives l'une de l'autre. Le produit des deux est donc
\N-[m_1 -m_2=4\Nfois \Nà gauche(-\Ndfrac{1}{4}\Nà droite)=-1\N]
Par conséquent, les deux lignes données sont perpendiculaires l'une à l'autre.
Trouve l'équation de la droite si elle passe par le point \((0,1)\) et est perpendiculaire à une autre droite \(x+y=6\).
Solution :
Ici, l'équation de la première droite est donnée par \(x+y=6\). Et la deuxième ligne passe par le point \N((0,1)\N). Nous allons maintenant simplifier l'équation de la droite donnée pour qu'elle ressemble à la forme \N(y=mx+b\N).
\N- [\N-implique x+y=6\N]
\N- [\N- Début{align} \Nimplique que y&=6-x\N &=-x+6\N&=(-1)x+6\Ndonc \N,y&=-1x+6 \Nend{align}\N]
En comparant l'équation obtenue avec la forme générale de la droite ci-dessus, nous obtenons \(m_1=-1\), \(b_1=6\) pour la première droite. Maintenant, pour trouver la pente de la deuxième ligne, nous savons qu'elle est la réciproque négative de la pente de la première ligne.
\[\begin{align}\implies m_2&=-\dfrac{1}{m_1}\\&=-\dfrac{1}{(-1)}\\ \therefore m_2&=1\end{align}\]
Et comme la deuxième droite passe par le point \N((0,1)\N), l'ordonnée à l'origine est,
\N- [y=m_2 x+b_2\N]
\[\begin{align}\implies y&=(1)x+b_2\\ \implies y&=x+b_2\\ \implies 1&=0+b_2\quad \quad\quad \text{substitute point (0,1)}\\ \therefore b_2&=1\end{align}\]
En mettant toutes les valeurs obtenues dans la forme générale de la droite, nous obtenons,
\[\begin{align}y&=m_2x+b_2\\&=1x+1\\&=x-1\end{align}\]
L'équation de la droite perpendiculaire à \N(x+y=6\N) et passant par \N((0,1)\N) est \N(y=x+1\N).
Lignes perpendiculaires - Principaux enseignements
- Deux droites distinctes qui se coupent à 90° sont appelées droites perpendiculaires.
- Les pentes des droites perpendiculaires sont des réciproques négatives l'une de l'autre.
- Les pentes des droites perpendiculaires sont calculées à l'aide de la formule suivante : \(m_1=-\dfrac{a}{b}\), \(m_2=\dfrac{b}{a}\).
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