Simplifier les surds
Pour simplifier les surd, tu dois te souvenir des racines carrées des carrés parfaits. Si le nombre à l'intérieur de la racine d'un surd a un nombre carré comme facteur, alors il peut être simplifié.
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt 4 \cdot \sqrt 3 = 2 \cdot \sqrt 3 = 2\sqrt3\)
Les étapes à suivre pour simplifier les surds sont les suivantes :
Ecris le nombre à l'intérieur de la racine comme la multiplication de ses facteurs. L'un des facteurs doit être un nombre carré.
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}\)
Divise les facteurs en racines distinctes
\(\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt 4 \cdot \sqrt 3\)
Simplifie les termes
\(\sqrt 4 \cdot \sqrt 3 = 2 \cdot \sqrt 3\)
Enlève le symbole de multiplication
\(2 \cdot \sqrt 3 = 2 \sqrt3\)
Quelles sont les règles d'utilisation des surds ?
Lorsque tu travailles avec des surds, tu dois te rappeler les règles suivantes :
Multiplier les surds : Tant que l'indice des racines est le même, tupeux multiplier les surds avec différents nombres à l'intérieur de la racine en les combinant simplement en une seule racine et en multipliant les nombres à l'intérieur de la racine. De même, tu peux diviser une racine en plusieurs racines distinctes à l'aide de facteurs.
\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{a \cdot b}\)
\(\sqrt2 \cdot \sqrt 5 = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}\)
Diviser les surds : De même, tant que l'indice des racines est le même, tu peux diviser des surds avec des nombres différents à l'intérieur de la racine en les combinant en une seule racine et en divisant les nombres à l'intérieur de la racine.
\(\frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
\(\frac{\sqrt {10}}{\sqrt 2} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt5\)
Multiplier une racine carrée par elle-même : Si tu multiplies la racine carrée d'un nombre par lui-même, tu devrais obtenir la valeur originale.
\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a\)
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3\)
Multiplier un nombre par un surd : Lorsque l'on multiplie un nombre par un surd, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance, et le résultat doit être le nombre suivi du surd.
\(a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a\sqrt{b}\)
\(3\cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}\)
Additionner ou soustraire des surds : Pour ajouter ou soustraire des surds, le nombre à l'intérieur des racines doit être le même. Tu additionnes ou soustrais les nombres à l'extérieur de la racine.
\(a\sqrt{x} + b\sqrt{x}) = (a+b)\sqrt{x}\)
\(a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}\)
\(5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
\(5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)
Pour additionner ou soustraire des surds, tu devras peut-être les simplifier d'abord pour trouver des termes similaires.
Tu ne peux pas ajouter \sqrt{2} + \sqrt{8}\), mais tu peux d'abord simplifier \sqrt{8}\),
\(\sqrt 8 = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt2\)Tu peux alors résoudre \(\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\).
Multiplication des parenthèses contenant des surd : Pour multiplier des parenthèses contenant des surds, chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la deuxième parenthèse. Tu peux ensuite combiner les termes semblables.
Rationaliser le dénominateur des fractions contenant des surds
Le but de la rationalisation du dénominateur des fractions contenant des surd est d'éliminer le surd du dénominateur. La stratégie pour y parvenir consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le surd.
Si le dénominateur ne contient qu'un surd :
Rationalise le dénominateur dans l'expression suivante : \(\frac{5}{\sqrt3}\)
En utilisant les règles : \(a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a\sqrt b\) et \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a\).
\(\frac{5}{\sqrt3} = \frac{5}{\sqrt3}) \cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt3} = \frac{5\sqrt3}{(\sqrt3)^2} = \frac{5\sqrt3}{3}\)
Si le dénominateur contient un surd et un nombre rationnel : Dans ce cas, tu dois multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression du dénominateur, mais en changeant le signe au milieu, c'est-à-dire si c'est (+), change-le en ( -) et vice versa. Cette expression est appelée le conjugué.
Rationalise le dénominateur dans l'expression suivante : \(\frac{(\sqrt6 + 3)}{(\sqrt6 -2)}\)
Le conjugué de \((\sqrt6 - 2)\) est \((\sqrt6 + 2)\).
En multipliant les parenthèses et en combinant les termes similaires, tu peux voir que les surds du dénominateur s'annulent.
\(\frac{(\sqrt6 + 3)}{(\sqrt6 -2)} \cdot \frac{(\sqrt6 + 2)}{(\sqrt6 +2)} = \frac{6 +2\sqrt6+3\sqrt6 +6}{6 +\cancel{2\sqrt6 -2\sqrt6}-4} = \frac{12 +5\sqrt6}{2}\Nous sommes tous d'accord sur ce point.)
Surds - Principaux enseignements
Les surds sont des expressions qui contiennent une racine carrée, une racine cubique ou d'autres racines, qui produisent comme résultat un nombre irrationnel, avec des décimales infinies. On les laisse sous leur forme de racine pour les représenter plus précisément.
Pour multiplier et diviser des surds avec des nombres différents à l'intérieur de la racine, l'indice des racines doit être le même.
Pour additionner ou soustraire des surds, le nombre à l'intérieur des racines doit être le même.
Pour additionner ou soustraire des surds, il peut être nécessaire de les simplifier au préalable.
Si le nombre à l'intérieur de la racine d'un surd a un nombre carré comme facteur, alors il peut être simplifié.
Le but de la rationalisation du dénominateur des fractions contenant des surd est d'éliminer le surd du dénominateur.
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