Intérêts composés: Mathématiques, Finances

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Dans cet article, nous en apprendrons davantage sur la définition mathématique de cette accumulation, nommée intérêts composés .

Signification de l'intérêt composé

L'intérêt composé est l'accumulation ou l'ajout d'intérêts à un montant principal.

L'idée est que les intérêts gagnés sur le montant principal sont réinvestis et que les intérêts futurs sont ajoutés au montant principal plus les intérêts antérieurs, le montant principal étant la somme d'argent initiale qui a été investie. Cela se poursuit jusqu'à ce que la période soit écoulée. Jette un coup d'œil au graphique des intérêts composés ci-dessous.

Graphique des intérêts composés

Intérêts composés Graphique des intérêts composés StudySmarter Graphique des intérêts composés

Le graphique des intérêts composés montre qu'à mesure que le temps passe, l'argent augmente aussi. C'est l'idée même de l'intérêt composé.

Lorsque l'on résout des questions relatives aux intérêts composés, on nous demande en fait de trouver la somme d'argent obtenue ou gagnée au cours d'une période donnée grâce au taux d'intérêt composé ajouté.

Pour calculer les intérêts composés, nous devons connaître :

le principal ou le montant initial.
le taux de pourcentage de l'intérêt composé sur le montant principal.
le temps, c'est-à-dire la période pendant laquelle l'argent sera retiré ou cessera de produire des intérêts.

Calcul des intérêts composés : Formule

Il y a deux façons de calculer les intérêts composés. Tu peux les calculer à l'aide d'un tableau et tu peux les calculer à l'aide de la formule des intérêts composés.

Utilisation de la formule des intérêts composés

La formule des intérêts composés est donnée par :

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(m u l t i p l i e r)}^{n}$

où,

$\begin{array}{rcl} M u l t i p l i e r & = & 1 + r a t e \\ n & = & t i m e p e r i o d \end{array}$

Par conséquent ,

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{t i m e p e r i o d}$

Le résultat obtenu par la formule des intérêts composés est la somme d'argent gagnée ou acquise après que les intérêts ont été ajoutés au fil du temps.

Le multiplicateur est la somme de un et du pourcentage du taux d'intérêt.

Utilisation du tableau des intérêts composés

Pour chaque année, nous calculons l'argent à détenir jusqu'à l'écoulement du temps. Pour ce faire, nous suivons les étapes suivantes.

Dessine un tableau avec deux colonnes, l'une pour le "montant" et l'autre pour le "taux en pourcentage".
Écris le montant du principal sur la première ligne sous le montant et multiplie-le par le taux en pourcentage sous l'intérêt.
Ajoute le montant du principal aux intérêts sur la deuxième ligne sous le montant et multiplie-le par le taux en pourcentage sur cette ligne sous les intérêts.
Répète l'étape 3 jusqu'à ce que le temps soit écoulé.

Le calcul des intérêts composés à l'aide du tableau prendra plus de temps que si tu utilisais la formule des intérêts composés.

Dans la prochaine section, nous apprendrons à calculer les intérêts composés en utilisant les deux méthodes.

Exemples d'intérêts composés

Prenons quelques exemples en utilisant la formule des intérêts composés et le tableau.

Si tu déposes 4000 livres sterling dans une banque pendant trois ans et que l'on te verse 4 % d'intérêts par an, combien te restera-t-il à la fin des trois ans ? Combien auras-tu à la fin des 3 ans ?

Solution

Essayons d'abord de résoudre ce problème à l'aide du tableau, puis nous essaierons la formule. D'après les étapes ci-dessus, nous savons que nous devons dessiner un tableau à deux colonnes.

Montant	Pourcentage Taux 4
^1er année - $£ 4000$ Il s'agit du capital ou du montant initial que tu as déposé à la banque.	$\frac{4}{100} \times 4000 = £ 160$ Cela signifie que tu recevras $£ 160$ supplémentaire la première année.
^2e année - $4000 + 160 = £ 4160$ Tu commences la deuxième année avec le montant du capital et les intérêts gagnés.	$\frac{4}{100} \times 4160 = £ 166.4$ Cela signifie que tu obtiendras $£ 166.4$ de plus à la fin de la deuxième année.
^3ème année - $4160 + 166.4 = £ 4326.4$ Tu commences la troisième année avec le montant gagné la deuxième année plus les intérêts acquis ; c'est lasomme d'argent que tu auras au bout de 3 ans .	$\frac{4}{100} \times 4326.4 = £ 173.056$ Cela signifie que tu obtiendras $£ 173.056$ de plus à la fin de la troisième année ; c'est l'intérêt gagné à la fin des 3 ans .
$4326.4 + 173.056 = £ 4499.456$ C'est la somme d'argent que tu auras au bout de 3 ans.	$160 + 166.4 + 173.056 = £ 499.455$ C'est l'intérêt gagné à la fin des 3 ans.

Ainsi, à la fin des 3 ans, tu auras $£ 4499.456$ .

C'était un processus assez long, mais nous pouvons obtenir notre réponse plus rapidement en utilisant la formule des intérêts composés. La formule est présentée ci-dessous.

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

D'après les données, nous savons que

$P r i n c i p a l = £ 4000 R a t e = 4 % n = 3$

Nous allons maintenant substituer les valeurs dans la formule.

$F i n a l A m o u n t = 4000 \times {(1 + \frac{4}{100})}^{3} = 4000 \times {(1 + 0.04)}^{3} = 4000 \times {(1.04)}^{3} = 4000 \times 1.124864 = £ 4499.456$

Tu peux voir que nous avons obtenu la même réponse en utilisant le tableau et la formule.

Prenons un autre exemple.

Jane dépose 800 livres sterling dans une banque qui paie 1 % d'intérêts composés par an. Qu'est-ce qu'elle aura au bout de deux ans ? Utilise le tableau et la formule de calcul des intérêts composés pour la question suivante.

Solution

Tout d'abord, énonce les informations données :

$P r i n c i p a l = £ 800 R a t e = 1 % n = 2 y e a r s F i n a l a m o u n t = ?$

Commençons par le tableau avant d'utiliser la formule.

Montant	Pourcentage Taux - 1
^1ère année - $£ 800$ Il s'agit de l'argent initial qu'elle a déposé à la banque.	$\frac{1}{100} \times 800 = £ 8$ Cela signifie qu'à la fin de la première année, Jane aura de l'argent supplémentaire.
^2ème année - $800 + 8 = £ 808$ La deuxième année commencera avec le montant initial plus les intérêts gagnés au cours de la première année.	$\frac{1}{100} \times 808 = £ 8.08$ Cela signifie qu'à la fin de la deuxième année, Jeanne aura $£ 8.08$ d'argent supplémentaire.
Au bout de 2 ans, Jeanne aura $808 + 8.08 = £ 816.08$	Le total des intérêts gagnés après 2 ans est de $8 + 8.08 = £ 16.08$

D'après le tableau, au bout de 2 ans, Jeanne aura $£ 816.08$ .

Utilisons maintenant la formule. La formule des intérêts composés est donnée par :

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

Nous allons maintenant substituer nos valeurs dans la formule pour obtenir :

$F i n a l A m o u n t = 800 \times {(1 + \frac{1}{100})}^{2} = 800 \times {(1 + 0.01)}^{2} = 800 \times {(1.01)}^{2} = 800 \times 1.0201 = £ 816.08$

Tu peux voir que la même réponse a été obtenue en utilisant le tableau et la formule.

Prenons un autre exemple.

Ben contracte un prêt de 15 000 £, et la banque lui facture 10 % d'intérêts composés par an. Si Ben ne rembourse pas le prêt dans quatre ans, combien doit-il à la banque ?

Solution

Énonçons les informations données.

$P r i n c i p a l = £ 15000 R a t e = 10 % N u m b e r o f y e a r s (n) = 4 y e a r s A m o u n t o w e d a f t e r 4 y e a r s = ?$

Le montant dû après quatre ans est le montant final et nous l'obtiendrons en utilisant la formule des intérêts composés. La formule des intérêts composés est donnée par :

$F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$

Nous allons substituer nos valeurs dans la formule :

$F i n a l a m o u n t = 15000 \times {(1 + \frac{10}{100})}^{4} = 15000 \times {(1 + 0.1)}^{4} = 15000 \times {(1.1)}^{4} = 15000 \times 1.4641 = £ 21 961.5$

Ben devra à la banque $£ 21 961.5$ à la fin des 4 ans.

Différence entre les intérêts simples et les intérêts composés

Outre les intérêts composés, il existe également ce que l'on appelle les intérêts simples.

La différence importante entre l'intérêt simple et l'intérêt composé est que l'intérêt simple concerne un intérêt unique sur le montant principal, tandis que l'intérêt composé concerne une accumulation d'intérêts sur le montant principal au cours d'une période de temps. Pour en savoir plus sur les intérêts simples, consulte notre article sur les intérêts simples.

Intérêts composés - Points clés

Les intérêts composés sont l'accumulation ou l'ajout d'intérêts à un montant principal.
Il y a deux façons de calculer les intérêts composés. Tu peux les calculer à l'aide d'un tableau ou en utilisant la formule des intérêts composés.
La formule des intérêts composés est la suivante : $F i n a l A m o u n t = P r i n c i p a l \times {(1 + r a t e)}^{n}$ .
Outre les intérêts composés, il existe aussi ce que l'on appelle les intérêts simples. La différence significative entre l'intérêt simple et l'intérêt composé est que l'intérêt simple concerne un intérêt unique sur le montant principal alors que l'intérêt composé concerne une accumulation d'intérêts sur le montant principal au cours d'une période donnée.

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Commence à apprendre

Lequel des énoncés suivants est vrai en ce qui concerne les intérêts composés.

A. L'intérêt composé est un intérêt unique sur le montant principal.

B. À mesure que le temps augmente, l'argent augmente.

C. Il y a deux façons de résoudre les intérêts composés.

D. Les intérêts composés sont les mêmes que les intérêts simples

B et C

Les intérêts composés sont l'accumulation ou l'ajout d'intérêts à un montant principal.

Vrai ou faux

Vrai

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Questions fréquemment posées en Intérêts composés

Qu'est-ce que les intérêts composés?

Les intérêts composés sont les intérêts calculés sur le principal initial et sur les intérêts accumulés des périodes précédentes.

Comment calculer les intérêts composés?

Pour calculer les intérêts composés, utilisez la formule A = P(1 + r/n)^(nt), où P est le principal, r le taux d'intérêt, n le nombre de périodes et t le temps.

Quelle est la différence entre intérêts simples et composés?

La différence est que les intérêts simples sont calculés uniquement sur le principal, tandis que les intérêts composés sont calculés sur le principal et les intérêts accumulés.

Quels sont les avantages des intérêts composés?

Les avantages des intérêts composés incluent une croissance plus rapide de l'investissement grâce à la capitalisation des intérêts sur des périodes multiples.

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