Intégration paramétrique

Une courbe est définie de façon paramétrique avec \( x(t) = 2 -t\) et \(y(t) = e^t - 1\). Trouve la surface délimitée par l'axe des x, la ligne x = 0 et la courbe.

La première chose à faire est de déterminer où la courbe croise l'axe des x et où la ligne x = 0 croise la courbe.

Si la ligne croise l'axe des x, la valeur des y sera nulle. En résolvant ce problème, on obtient \(e^t -1 = 0\), ce qui implique \(e^t = 1\) et donc t = 0. Lorsque x = 0, alors \(2 - t = 0\), ce qui implique t = 2.

Cela signifie que nous avons maintenant nos limites et que nous pouvons commencer l'intégrale. Nous avons :

\[\int^0_2{(e^t -1)} \cdot \frac{d}{dt}(2 - t) \cdot dt = - \int^0_2{(e^t - 1)} dt = \int^0_2{(e^t - 1) dt}\]

où nous intervertissons les limites pour changer le signe.

Ceci est donc égal à \N([e^t - t]_{t=0}^{t=2} = [(e^2 - 2) - (1-0)] = e^2 - 3\).

En utilisant l'intégration paramétrique, trouve l'aire du cercle défini par \N(x(t) = -3\cos(t), y(t) = 3\sin(t), 0 < t < 2\pi\).

Par la formule d'intégration paramétrique, nous avons :

\[\int^{2\pi}_0 {3\sin(t) \cdot \frac {d}{dt} (-3 \cos (t))dt} = 9 \int^{2\pi}_0 \sin^2(t)dt\].

Nous devons maintenant utiliser une formule d'angle double, et nous pouvons utiliser le résultat \(2(t) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2t))\).

En complétant ce résultat, nous obtenons \(\frac{9}{2}) \int^{2\pi}_0{(1-\cos(2t))dt} = \frac{9}{2}[t - \frac{1}{2} \sin(2t)]^{t = 2\pi}_{t = 0} = 9\pi\), ce qui correspond à ce que l'on attend d'un cercle de rayon 3.

Question de type examen

Supposons que nous ayons une courbe qui a été définie de façon paramétrique, avec \(x(t) = 3\cos(4t)\) et \(y(t) = 6 \sin(8t)\), avec \(0 < t < \frac{\pi}{8}\).

i) Trouve les points d'inflexion de la courbe.

ii) Trouve l'aire sous la courbe.

i) Pour un point d'inflexion, \(\frac{dy}{dx}\) doit être égal. Par la règle de la chaîne,

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt}(\frac{dx}{dt})^{-1}\]

Nous pouvons maintenant utiliser les formules standard pour les dérivées des fonctions trigonométriques pour trouver ces résultats.

\(\frac{dy}{dt} = 48 \cos(8t)\) et \(\frac{dx}{dt} = -12 \sin(4t)\), ce qui donne \(\frac{dy}{dx} = \frac{48 \cos(8t)}{-12 \sin(4t)}.

Nous pouvons alors résoudre cette équation égale à zéro pour trouver la valeur de t du point d'inflexion. Pour que cette valeur soit égale à zéro, le numérateur doit être égal à zéro, ce qui implique que \(\cos(8t) = 0\).

Cela signifie que \(8t = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \epsilon N\), que nous réduisons encore à \(t = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, n \epsilon N\).

La seule valeur de t qui satisfait à la condition \N(0 < t < 8\Npi\N) est \N(t = \Nfrac{\Npi}{16}\N).

La coordonnée x du point d'inflexion est donc \(3\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), et la coordonnée y est \(6\sin(\frac{\pi}{2}) = 6\sin(\frac{\pi}{2})).

Commençons par déterminer la direction de nos limites. \N(x(0) = 3\N) et \N(x(\frac{\pi}{8}) = 0\N), ce qui signifie que l'aire sous la courbe est donnée par

\[\int^0_{\frac{\pi}{8}}{y(t) \cdot \frac{dx}{dt}\cdot dt} = \int^0_{\frac{\pi}{8}}{6 \sin(8t)(-12\sin(4t))dt} = 72\int^{\frac{\pi}{8}}_0{\sin(8t) \sin(4t)dt}\]

où nous "inversons les limites" pour nous débarrasser du signe négatif. Nous pouvons utiliser une formule à double angle pour nous aider à résoudre cette intégrale.

Nous savons que \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Cela implique que \(\sin(8x) = 2 \cdot \sin(4x) \cos(4x)\).

En remplissant cela, nous obtenons l'intégrale \(144 \int^{\frac{\pi}{8}}_0 \sin^2(4t)\cos(4t)dt\).

Puisque \(\int \sin(t) = \cos(t)\), il semble intuitif que cela se prête le mieux à une intégration par substitution.

Prenons \(u = \sin(4t)\) qui implique \(\frac{du}{dt} = 4\cos(4t)\), donc \(dt = \frac{du}{4\cos(4t)}\).

Comme il s'agit d'une intégrale définie, nous devons également modifier les limites.

\(u_1 = \sin(4 \cdot 0) = 0\) et \(u_2 = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1\).

En complétant cela, nous pouvons dire que \(144 \int_0^{\frac{\pi}{8}}) \sin^2(4t) \cos(4t) dt = 36 \int^1_0 u^2 du\).

Il s'agit d'une intégrale simple qui peut être évaluée directement.

\N(36 \Nint^1_0 u^2 du = 12[u^3]^{u = 1}_{u = 0} = 12[1-0] = 12\N).