Rappel des coordonnées paramétriques
Dans ce scénario, introduisons une variable "fictive", généralement désignée par t. Nous appelons cela une variable fictive car il s'agit d'un concept abstrait qui attribue une valeur à une coordonnée x ou y, et qui n'est pas représenté sur le graphique.
Cela signifie qu'au lieu d'avoir une fonction de la forme \N( y = f (x)\N), nous représentons une courbe par \N(y(t) = g(t)\N), \N(x (t) = h (t)\N), où h et t sont des fonctions qui décrivent le changement des coordonnées x et y respectivement.
Une courbe est décrite par \N(y (t) = 2 (t)\N), \N(x (t) = 2 (t)\N), \N(0 < t < 2\Npi\N).
En exprimant la courbe paramétrique par \N( (x (t))^2 + (y (t))^2 = (2\cos{t})^2 + (2\sin{t})^2 = 4\N) \N(\Ncos^2{t} + \Nsin^2{t} = 4\N), nous voyons qu'elle décrit en fait un cercle de rayon 4, ou \N(x^2 + y^2 = 4\N).
Pourquoi l'intégration paramétrique fonctionne-t-elle ?
Normalement, nous devrions évaluer une intégrale de la forme \( \int y (x) dx\) ; cependant, nous devons changer cela parce que notre courbe n'est pas de la forme \(y (x)\). Nous utilisons une version modifiée de la règle de la chaîne. Nous pouvons remplacer dx par \(\frac{dx}{dt}dt\) (tu peux considérer que les dt s'annulent. Bien que ce ne soit pas techniquement le cas, \(\frac{dx}{dt}\) n'est pas strictement une fraction, nous pouvons la traiter comme telle à des fins opérationnelles). Cela donne une intégrale de la forme \(\int{y(t)\frac{dx(t)}{dt}dt}\).
Nous devons également nous rappeler que les intégrales paramétriques sont des limites de commutation. Supposons que nous ayons une intégrale de la forme \(\int^b_a{f(x)dx}\). Nous devons également intervertir les limites, ce qui donne l'intégrale sous la forme \(\int^d_c{f(t)\frac{dx}{dt}dt}\), où \(c = x^{-1}(a)\) et \(d = x^{-1}(b)\).
Exemples d'intégration paramétrique
À première vue, ce sujet peut être difficile à cerner, alors passons en revue quelques exemples pour essayer de consolider ce que nous avons dit jusqu'à présent.
Une courbe est définie de façon paramétrique avec \( x(t) = 2 -t\) et \(y(t) = e^t - 1\). Trouve la surface délimitée par l'axe des x, la ligne x = 0 et la courbe.
La première chose à faire est de déterminer où la courbe croise l'axe des x et où la ligne x = 0 croise la courbe.
Si la ligne croise l'axe des x, la valeur des y sera nulle. En résolvant ce problème, on obtient \(e^t -1 = 0\), ce qui implique \(e^t = 1\) et donc t = 0. Lorsque x = 0, alors \(2 - t = 0\), ce qui implique t = 2.
Cela signifie que nous avons maintenant nos limites et que nous pouvons commencer l'intégrale. Nous avons :
\[\int^0_2{(e^t -1)} \cdot \frac{d}{dt}(2 - t) \cdot dt = - \int^0_2{(e^t - 1)} dt = \int^0_2{(e^t - 1) dt}\]
où nous intervertissons les limites pour changer le signe.
Ceci est donc égal à \N([e^t - t]_{t=0}^{t=2} = [(e^2 - 2) - (1-0)] = e^2 - 3\).
En utilisant l'intégration paramétrique, trouve l'aire du cercle défini par \N(x(t) = -3\cos(t), y(t) = 3\sin(t), 0 < t < 2\pi\).
Par la formule d'intégration paramétrique, nous avons :
\[\int^{2\pi}_0 {3\sin(t) \cdot \frac {d}{dt} (-3 \cos (t))dt} = 9 \int^{2\pi}_0 \sin^2(t)dt\].
Nous devons maintenant utiliser une formule d'angle double, et nous pouvons utiliser le résultat \(2(t) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2t))\).
En complétant ce résultat, nous obtenons \(\frac{9}{2}) \int^{2\pi}_0{(1-\cos(2t))dt} = \frac{9}{2}[t - \frac{1}{2} \sin(2t)]^{t = 2\pi}_{t = 0} = 9\pi\), ce qui correspond à ce que l'on attend d'un cercle de rayon 3.
Question de type examen
Supposons que nous ayons une courbe qui a été définie de façon paramétrique, avec \(x(t) = 3\cos(4t)\) et \(y(t) = 6 \sin(8t)\), avec \(0 < t < \frac{\pi}{8}\).
i) Trouve les points d'inflexion de la courbe.
ii) Trouve l'aire sous la courbe.
i) Pour un point d'inflexion, \(\frac{dy}{dx}\) doit être égal. Par la règle de la chaîne,
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dt}(\frac{dx}{dt})^{-1}\]
Nous pouvons maintenant utiliser les formules standard pour les dérivées des fonctions trigonométriques pour trouver ces résultats.
\(\frac{dy}{dt} = 48 \cos(8t)\) et \(\frac{dx}{dt} = -12 \sin(4t)\), ce qui donne \(\frac{dy}{dx} = \frac{48 \cos(8t)}{-12 \sin(4t)}.
Nous pouvons alors résoudre cette équation égale à zéro pour trouver la valeur de t du point d'inflexion. Pour que cette valeur soit égale à zéro, le numérateur doit être égal à zéro, ce qui implique que \(\cos(8t) = 0\).
Cela signifie que \(8t = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \epsilon N\), que nous réduisons encore à \(t = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{8}, n \epsilon N\).
La seule valeur de t qui satisfait à la condition \N(0 < t < 8\Npi\N) est \N(t = \Nfrac{\Npi}{16}\N).
La coordonnée x du point d'inflexion est donc \(3\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}\), et la coordonnée y est \(6\sin(\frac{\pi}{2}) = 6\sin(\frac{\pi}{2})).
Commençons par déterminer la direction de nos limites. \N(x(0) = 3\N) et \N(x(\frac{\pi}{8}) = 0\N), ce qui signifie que l'aire sous la courbe est donnée par
\[\int^0_{\frac{\pi}{8}}{y(t) \cdot \frac{dx}{dt}\cdot dt} = \int^0_{\frac{\pi}{8}}{6 \sin(8t)(-12\sin(4t))dt} = 72\int^{\frac{\pi}{8}}_0{\sin(8t) \sin(4t)dt}\]
où nous "inversons les limites" pour nous débarrasser du signe négatif. Nous pouvons utiliser une formule à double angle pour nous aider à résoudre cette intégrale.
Nous savons que \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Cela implique que \(\sin(8x) = 2 \cdot \sin(4x) \cos(4x)\).
En remplissant cela, nous obtenons l'intégrale \(144 \int^{\frac{\pi}{8}}_0 \sin^2(4t)\cos(4t)dt\).
Puisque \(\int \sin(t) = \cos(t)\), il semble intuitif que cela se prête le mieux à une intégration par substitution.
Prenons \(u = \sin(4t)\) qui implique \(\frac{du}{dt} = 4\cos(4t)\), donc \(dt = \frac{du}{4\cos(4t)}\).
Comme il s'agit d'une intégrale définie, nous devons également modifier les limites.
\(u_1 = \sin(4 \cdot 0) = 0\) et \(u_2 = \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 1\).
En complétant cela, nous pouvons dire que \(144 \int_0^{\frac{\pi}{8}}) \sin^2(4t) \cos(4t) dt = 36 \int^1_0 u^2 du\).
Il s'agit d'une intégrale simple qui peut être évaluée directement.
\N(36 \Nint^1_0 u^2 du = 12[u^3]^{u = 1}_{u = 0} = 12[1-0] = 12\N).
Intégration paramétrique - Principaux enseignements
La formule de l'intégration paramétrique est donnée par \(\int{y(t)\frac{dx(t)}{dt}dt}\).
Nous devons nous rappeler de changer de limite lorsque nous passons des coordonnées x aux coordonnées t.
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