Lorsque nous faisons cela, nous devrions nous retrouver avec plusieurs intégrales faciles à intégrer. En général, ces intégrales se présentent sous la forme d'un facteur linéaire. Cependant, il se peut que nous devions utiliser une méthode différente lorsque nous nous retrouvons avec un polynôme irréductible qui ne se factorise pas.
Récapitulation de la décomposition en fractions partielles
L'intégration à l'aide de fractions partielles est utilisée pour les expressions sous forme de fraction. Avant de commencer, nous définissons le degré d'un polynôme comme étant l'ordre du terme le plus élevé, c'est-à-dire que le degré de \( x^4 + 3x +1\) est \(4\), et le degré de \(x + x^8 - 5\) est \(8\). La première chose que nous devons vérifier, c'est si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Si c'est le cas, nous pouvons continuer.
Si le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, nous devons d'abord effectuer une division longue algébrique.
L'étape suivante consiste à factoriser le dénominateur. Vérifie d'abord s'il existe des facteurs linéaires. Cela implique de trouver des racines (via le théorème des facteurs - si \(f (x)\) est un polynôme de degré \(n \ge 1\) et que \(a\) est un nombre réel quelconque, alors \(x-a\) est un facteur de \(f(x)\), et cela donnera les facteurs linéaires. Si le degré du dénominateur est supérieur ou égal à quatre, nous devons également rechercher les facteurs quadratiques.
\N(x^4 + 5x^2 + 4\N) n'a pas de racines réelles, mais
\[(x^2 + 1)(x^2 + 4) = x^4 + 5x^2 + 4\]
nous devons donc vérifier ceci
Remarque : si le degré était supérieur ou égal à six, nous devrions alors vérifier la présence de facteurs cubiques ; cependant, ces exemples sont rares, alors concentrons-nous sur les exemples où le degré du dénominateur est inférieur ou égal à \(5\).
Nous devons maintenant noter s'il y a des facteurs de répétition. Cela affecte la façon dont nous écrivons la fraction décomposée. Si un facteur ne se répète pas, il suffit de le considérer comme un numérateur distinct. S'il apparaît plus d'une fois, nous devons prendre en compte tous ses multiples possibles. Le degré du polynôme au numérateur doit toujours être inférieur d'une unité à celui du polynôme au dénominateur, sauf s'il est répété, où il est le même que s'il s'agissait d'une racine non répétée.
Nous pouvons alors écrire la forme de notre fraction décomposée.
Supposons que nous cherchions la décomposition en fractions partielles de
\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]
Cela signifie que nous chercherions une expression de la forme
\[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]
Une fois que nous avons la forme de la fraction décomposée, nous pouvons maintenant résoudre chaque coefficient inconnu. Nous multiplions de part en part par le dénominateur, puis nous mettons en équation les coefficients équivalents.
Trouve la décomposition en fractions partielles de
\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]
D'après ce qui précède, nous savons que la forme de cette décomposition devrait être
\[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]
Multiplions par \N( x^3 (x^2 + 1) \N) pour obtenir
\[ 1 = Ax^2(x^2+1) + Bx(x^2+1) + C(x^2+1) + (Dx+E)x^3,\]
qui se simplifie alors en
\N- 1 = (A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C.\N- 1 = (A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C.\N]
En comparant les coefficients, on obtient
\[\N- A + D = 0 \N- B + E = 0 \N- A + C = 0 \N- B = 0 \N- C = 1. \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
En résolvant ce problème (nous avons deux valeurs triviales, puis nous les complétons), nous obtenons \N(B = E = 0\N), \N(D = C = 1\N) et \N(A = -1\N). Ce qui nous donne
\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}.\]
Utilisation des fractions partielles dans les intégrales
Nous avons récapitulé l'utilisation des fractions partielles, ce qui nous aidera à évaluer les intégrales. Voir ci-dessous :
Intégrer
\[ \int \frac{1}{x^2+1} \, \mathrm{d}x.\N]
Notre première étape ici est d'effectuer une décomposition partielle des fractions. Par la différence de deux carrés, nous savons que
\[ x^2 + 1 = (x-1)(x+1).\]
Cela signifie que la forme attendue de la fraction partielle sera
\[ \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]
Mettons maintenant les deux côtés en équation, ce qui nous donne
\[ \frac{1}{x^2 + 1 } = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]
En multipliant par \(x^2-1\) nous obtenons
\N-[ \N-{align} 1 & = \Nfrac{A(x^2-1)}{x-1} + \Nfrac{B(x^2-1)}{x+1}] \N-[ \N-{align} 1 & = \Nfrac{A(x^2-1)}{x+1} \N- &= A(x+1) + B(x-1) \N- &= (A+B)x + (A-B). \N-{align}\N- [\N]
Cela implique que \(A + B = 0\) et \(A - B = 1\). Cela donne \N(A = \frac{1}{2}\) et \N(B = -\frac{1}{2}\).
Tu peux maintenant appliquer ceci à l'intégrale, ce qui donne
\N[ \Nint \Nfrac{1}{x^2+1}] (\N) \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \N- \NMathrm{d}x. \]
Cette intégrale est maintenant facile à intégrer. Elle s'évalue à
\N[ \Nfrac{1}{2} \N- gauche( \N |x-1| - \N |x+ 1|right) + C = \Nfrac{1}{2} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \Ndroite| + C.\N]
Intégrer
\[ \Nint \Nfrac{1}{x^3(x^2+1)} \N, \Nmathrm{d}x.\N]
A partir des exemples ci-dessus, nous pouvons réduire ceci à
\[ -\int \left(\frac{1}{x} +\frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}\right) \, \mathrm{d}x. \]
Définir
\[ \begin{align} I &= \int \frac{1}{x} \N, \Nmathrm{d}x , \NJ &= \Nint \Nfrac{1}{x^3}\N, \Nmathrm{d}x , \NK &= \Nint \Nfrac{x}{x^2+1} \N, \Nmathrm{d}x .\Nend{align}\N]
\N(I\N) est une intégrale standard, évaluée à \N( \Nn |x| + C_1\N). \N- \N(J\N) peut être évaluée à l'aide de la formule d'intégration d'un polynôme et est donnée comme suit
\N- -\Nfrac{1}{2}x^{-2} + C_2.\N]
\N(K\N) peut être évalué à l'aide d'une substitution. Soit \N(u = x^2 + 1\N), alors
\[ \mathrm{d}x = \frac{1}{2x} \mathrm{d}u ,\]
ce qui donne
\[ \N- Début{alignement} K &= \int \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int\frac{1}{u} \n, \mathrm{d}u \n &= \frac{1}{2}\ln |x^2+1| + C_3. \N- [end{align}\N]
Nous pouvons maintenant les combiner, comme suit
\[ \begin{align} \int \frac{1}{x^3(x^2+1)} \, \mathrm{d}x &= I + J + K \N & = \ln |x| -\frac{1}{2}x^{-2} + \frac{1}{2}\ln |x^2+1| + C. \end{align} \]
Intégration à l'aide de fractions partielles - Principaux enseignements
L'intégration à l'aide de fractions partielles consiste à décomposer une fraction à l'aide de fractions partielles, puis à l'intégrer normalement.
Si le degré du polynôme du numérateur est plus grand que celui du dénominateur, effectue une division longue algébrique pour résoudre ce problème.
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