Intégration par fractions partielles

\N(x^4 + 5x^2 + 4\N) n'a pas de racines réelles, mais

\[(x^2 + 1)(x^2 + 4) = x^4 + 5x^2 + 4\]

nous devons donc vérifier ceci

Supposons que nous cherchions la décomposition en fractions partielles de

\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]

Cela signifie que nous chercherions une expression de la forme

\[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]

Une fois que nous avons la forme de la fraction décomposée, nous pouvons maintenant résoudre chaque coefficient inconnu. Nous multiplions de part en part par le dénominateur, puis nous mettons en équation les coefficients équivalents.

Trouve la décomposition en fractions partielles de

\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)}.\]

D'après ce qui précède, nous savons que la forme de cette décomposition devrait être

\[ \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1}.\]

Multiplions par \N( x^3 (x^2 + 1) \N) pour obtenir

\[ 1 = Ax^2(x^2+1) + Bx(x^2+1) + C(x^2+1) + (Dx+E)x^3,\]

qui se simplifie alors en

\N- 1 = (A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C.\N- 1 = (A+D)x^4 + (B+E)x^3 + (A+C)x^2 + Bx + C.\N]

En comparant les coefficients, on obtient

\[\N- A + D = 0 \N- B + E = 0 \N- A + C = 0 \N- B = 0 \N- C = 1. \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

En résolvant ce problème (nous avons deux valeurs triviales, puis nous les complétons), nous obtenons \N(B = E = 0\N), \N(D = C = 1\N) et \N(A = -1\N). Ce qui nous donne

\[ \frac{1}{x^3(x^2+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}.\]

Intégrer

\[ \int \frac{1}{x^2+1} \, \mathrm{d}x.\N]

Notre première étape ici est d'effectuer une décomposition partielle des fractions. Par la différence de deux carrés, nous savons que

\[ x^2 + 1 = (x-1)(x+1).\]

Cela signifie que la forme attendue de la fraction partielle sera

\[ \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]

Mettons maintenant les deux côtés en équation, ce qui nous donne

\[ \frac{1}{x^2 + 1 } = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.\]

En multipliant par \(x^2-1\) nous obtenons

\N-[ \N-{align} 1 & = \Nfrac{A(x^2-1)}{x-1} + \Nfrac{B(x^2-1)}{x+1}] \N-[ \N-{align} 1 & = \Nfrac{A(x^2-1)}{x+1} \N- &= A(x+1) + B(x-1) \N- &= (A+B)x + (A-B). \N-{align}\N- [\N]

Cela implique que \(A + B = 0\) et \(A - B = 1\). Cela donne \N(A = \frac{1}{2}\) et \N(B = -\frac{1}{2}\).

Tu peux maintenant appliquer ceci à l'intégrale, ce qui donne

\N[ \Nint \Nfrac{1}{x^2+1}] (\N) \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \N- \NMathrm{d}x. \]

Cette intégrale est maintenant facile à intégrer. Elle s'évalue à

\N[ \Nfrac{1}{2} \N- gauche( \N |x-1| - \N |x+ 1|right) + C = \Nfrac{1}{2} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \Ndroite| + C.\N]

Intégrer

\[ \Nint \Nfrac{1}{x^3(x^2+1)} \N, \Nmathrm{d}x.\N]

A partir des exemples ci-dessus, nous pouvons réduire ceci à

\[ -\int \left(\frac{1}{x} +\frac{1}{x^3} + \frac{x}{x^2+1}\right) \, \mathrm{d}x. \]

Définir

\[ \begin{align} I &= \int \frac{1}{x} \N, \Nmathrm{d}x , \NJ &= \Nint \Nfrac{1}{x^3}\N, \Nmathrm{d}x , \NK &= \Nint \Nfrac{x}{x^2+1} \N, \Nmathrm{d}x .\Nend{align}\N]

\N(I\N) est une intégrale standard, évaluée à \N( \Nn |x| + C_1\N). \N- \N(J\N) peut être évaluée à l'aide de la formule d'intégration d'un polynôme et est donnée comme suit

\N- -\Nfrac{1}{2}x^{-2} + C_2.\N]

\N(K\N) peut être évalué à l'aide d'une substitution. Soit \N(u = x^2 + 1\N), alors

\[ \mathrm{d}x = \frac{1}{2x} \mathrm{d}u ,\]

ce qui donne

\[ \N- Début{alignement} K &= \int \frac{x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int\frac{1}{u} \n, \mathrm{d}u \n &= \frac{1}{2}\ln |x^2+1| + C_3. \N- [end{align}\N]

Nous pouvons maintenant les combiner, comme suit

\[ \begin{align} \int \frac{1}{x^3(x^2+1)} \, \mathrm{d}x &= I + J + K \N & = \ln |x| -\frac{1}{2}x^{-2} + \frac{1}{2}\ln |x^2+1| + C. \end{align} \]