Intégration des fonctions trigonométriques

Comment intégrer les fonctions trigonométriques ?

Chaque fonction trigonométrique a son intégrale définie :

Intégrale de sin(x)

L'intégrale de \(\sin{x}\) est \(-\cos{x} + c\). En utilisant la notation intégrale, \(\int{\sin{x}}\space dx\).

Intégrale de cos(x)

L'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x} + c\) ou \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).

Intégrale de tan(x)

L'intégrale de tan(x) est \N(ln|\cos{x}| + c\N) ou \N(\Nint{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\N).

Voyons ce que cela donne.

Nous savons que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{\cos{x}}\), nous pouvons donc substituer ceci dans l'intégrale \(\int{\tan{x} dx} = \int {\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}\).

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la substitution u = cos(x) donc \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) et \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).

Notre intégrale se présente maintenant comme suit : \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)

Nous pouvons annuler \(\sin{x}\) et obtenir \(\int{-\frac{1}{u} du}\).

Nous savons que l'intégrale de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) , donc \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .

Si nous remplaçons \(\cos{x}\), nous obtenons \(\ln \cdot \cos {x}\), ce qui est équivalent à \(ln|\cos{x}|^{-1}\).

Comment intégrer les fonctions trigonométriques au carré ?

Pour intégrer des fonctions trigonométriques au carré telles que \(\sin^2{x}\), tu peux utiliser les intégrales des fonctions trigonométriques que tu viens de déterminer, et les identités des angles doubles.

Par exemple, pour trouver \(\int{\sin^2{x} \space dx}\), tu peux utiliser l'identité \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).

Si nous réarrangeons cette expression pour trouver \(\sin^2{x}\), nous obtenons \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).

Nous pouvons maintenant substituer ceci à notre intégrale :

\(\int{\sin^2{x}) \space dx} = \int {\frac{1}{2} -\frac{\cos{2x}}{2} \space dx}\)

Nous savons que l'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x}\) donc l'intégrale de \(\cos{2x}\) est \( \frac{1}{2} \sin{2x}\).

En prenant en compte le facteur de \(\frac{1}{2}\), nous obtenons :

\(\int{\sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\).

Intégrer les fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses telles que l'arcsin, l'arccos et l'arctan ne peuvent pas être intégrées directement. C'est pourquoi nous utilisons l'intégration par parties. Nous savons que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), et comme nous ne pouvons pas intégrer la fonction trigonométrique inverse mais que nous pouvons la dériver, nous laissons u = fonction trigonométrique inverse et v = 1. La formule d'intégration par parties est alors utilisée pour résoudre l'intégrale.

Intégrale de arcsin(x)

L'intégrale de \(\arcsin{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arcsin{x} \cdot 1 \space dx}\).

Par conséquent, tu laisses \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .

Nous utilisons la formule d'intégration par parties et trouvons le \(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\).

Soit \N(w = 1 - x^2\N). Par conséquent, \N(dw = -2x \space dx\).

\(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \space dx}\).

Alors, \(\int{\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2}} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}\) .

Par conséquent, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).

Intégrale de arccos(x)

L'intégrale de \(\arccos{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arccos{x} \cdot 1 \cdot dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . En utilisant la formule d'intégration par parties, on trouve que \(\int{\arccos{x}) \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\), ou \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx}\). Nous utilisons ensuite l'intégration par substitution, en laissant \(w = 1 - x^2\).

En suivant la même méthode que pour l'intégrale de \(\arcsin{x}\), nous trouvons que \(\int{\arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).

Intégrale de arctan(x)

L'intégrale de arctan(x) peut être écrite comme \(\int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). En utilisant la formule d'intégration par parties, nous trouvons que \N(\Nint\Narctan{x}) \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Nous reconnaissons cette intégrale comme un logarithme naturel de \((1 + x^2)\), puisque, en laissant \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Cela signifie que le numérateur est \(x = \frac{1}{2} dw\).

On trouve donc que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).

Tableau récapitulatif de l'intégration des fonctions trigonométriques

Tableau 1. Intégration des fonctions trigonométriques.