Intégration des fonctions hyperboliques

Trouve \[ \Nint^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \N,dx. \N]

Solution

Pour résoudre ce problème, tu dois d'abord utiliser la formule d'intégration par parties,

\[ \Nint_{a}^{b} u \Nfrac{dv}{dx} \N,dx = \Ngauche [u v \Ndroite]_{a}^{b} - \Nint_{a}^{b} \frac{du}{dx} v \,dx. \]

Dans ce cas, tu voudras que \( u \N) soit \N 2x \N), et que \N( \frac{dv}{dx} \N) soit \N( \cosh{2x} \N). C'est parce que tu veux différencier le terme \(2x\) de façon à ce qu'il ne reste qu'un terme constant à sa place, afin que tu puisses résoudre l'intégrale normalement.

Tu peux différencier \N(u \N) de la manière habituelle et intégrer \N( \Nfrac{dv}{dx} \N) par inspection :

\N- u = 2 x \N- v = \Nfrac{1}{2} \Nsinh{2x} \N- v = \Nfrac{1}{2} \Nsinh{2x} \N-,

\N( \frac{du}{dx} = 2 \N), \N(\frac{dv}{dx} = \cosh{2x} \N).

Maintenant que tu as toutes les composantes de la formule d'intégration par parties, tu peux les insérer et évaluer l'intégrale,

\[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \,dx & = \left[ 2 x \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \right]^{2}_{0} - \int^{2}_{0} 2 \cdot \frac{1}{2} \sinh{2x} \N- dx \N- & = \Ngauche [x \Nsinh{2x} \Ndroite]^2_0 - \Nint^2_0 \Nsinh{2x} \N,dx. \Nend{align} \]

Tu peux développer la première partie du côté droit pour obtenir \[ \N- gauche[ x \Nsinh{2x} \Ndroite]^2_0 = 2 \Nsinh{4} .\N]. Ensuite, il ne te reste plus qu'à t'occuper de l'intégrale du côté droit. Il n'est pas trop difficile de voir la solution de cette intégrale, il suffit de penser à ce qu'il faudrait différencier pour obtenir cette fonction. Cette intégrale deviendra,

\[ \int_0^2 \sinh {2x} dx =\gauche[ \frac{1}{2} \cosh{2x} \droite]^2_0 = \frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \cosh{0} = \frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2}, \]

puisque \(\cosh{0} =1 \).

Tu peux donc les replacer dans l'intégrale initiale pour obtenir,\N[ \begin{align} \int^{2}_{0} 2 x \cosh{2x} \N,dx & = 2 \sinh{4} - \left(\frac{1}{2} \cosh{4} - \frac{1}{2} \right) \e & = 2 \sinh{4} - \frac{1}{2} \cosh{4} + \frac{1}{2}. \N-END{align} \]

C'est la réponse finale. La question te demandera peut-être de la mettre sous forme exponentielle, mais si ce n'est pas le cas, cette réponse est acceptable.

Prouve

\N[ \Nint \Ncsch^2{x} \N,dx = - \Ncoth{x} + c. \N]

Solution

L'intégration étant l'inverse de la différenciation, il suffit de prouver que

\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \csch^2{x}. \]

Tout d'abord, écris \N( \Ncoth{x} \N) en termes de sinus et de cosinus hyperboliques,

\[ \frac{d}{dx} (-\coth{x}) = \frac{d}{dx} \left(- \frac{\cosh{x}}{\sinh{x}} \right). \]

Utilise maintenant la règle du quotient,

\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{\frac{d}{dx}(\cosh{x}) \sinh{x} - \cosh{x} \frac{d}{dx} (\sinh{x})}{\sinh^2{x}} \\N- & = - \frac{\sinh^2{x} - \cosh^2{x}}{\sinh^2{x}}. \N- [Fin{align}\N]

Enfin, utilise l'identité hyperbolique \[ \cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1, \] pour obtenir,

\[ \N- Début{alignement} \frac{d}{dx} (-\coth{x}) & = - \frac{-1}{\sech^2{x}} \N- & = \Ncsch^2{x},\Nfin{align} \]

comme il se doit.

Trouve \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \,dx \] en utilisant la substitution, pour \( x \génq 1.\)

Solution

La première chose à décider ici est la substitution à utiliser. L'endroit le plus évident pour utiliser la substitution est en bas de la fonction, à l'intérieur de la racine carrée.

Réfléchis aux différentes identités de la fonction hyperbolique : laquelle serait la plus utile ici ? La bonne est \N[ \cosh^2{u} - \sinh^2{u} = 1 \N] car elle peut être réarrangée pour \N[ \cosh^2{u} - 1 = \sinh^2{u}, \N] qui ressemble à l'intérieur de la racine carrée, avec \N( \cosh{u} \N) à la place de \N(x\N). En substituant \N( x = \cosh{u} \N) à l'intégrale initiale, nous obtenons

\N- [\Nint \Nfrac{1}{\Nsqrt{x^2 - 1}}] \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2{u} - 1}} \N- dx. \]

N'oublie pas que lorsque tu fais une substitution, tu dois aussi remplacer le \N(\N,dx\N). Puisque \( x = \cosh{u} \r}), la dérivée de \(x\r) par rapport à \(u\r) est \r[ \frac{dx}{du} = \sinh{u} \rimplique dx = \sinh{u} \r},du.\r] Ainsi, tu peux remplacer \(\r},dx\r) dans l'intégrale par \r( \sinh{u} \r},du \r}) :

\[\Nint \Nfrac{1}{\Nsqrt{x^2 - 1}}] \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2{u} - 1}} \sinh{u}\,d{u}. \]

Maintenant, remarque qu'en bas il y a \N ( \cosh^2{u} - 1 \N). Plus tôt, tu as vu que c'est égal à \N( \Nsinh^2{u} \N) par les identités des fonctions hyperboliques. Tu peux donc remplacer \N(\Ncosh^2{u}-1\N) par \N( \Nsinh^2{u}\N ) :

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \,dx & = \int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2{u}}} \sinh{u}\,d{u} \\\N & = \int \frac{1}{\sinh{u}} \sinh{u}\nbsp;d{u} \n;& = \int \n;du. \Nend{align} \]

Remarquez qu'ici, nous avons écrit \( \sqrt{\sinh^2{u}} = \sinh{u} \N), et non pas qu'elle est égale à \( \pm \sinh{u}.\N) C'est parce que nous avons \( x \geq 1 \N) de la question, et donc \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \geq 0.\NPar conséquent, l'intégrale de cette fonction doit également être positive, nous devons donc prendre la valeur positive de cette racine carrée.

Après avoir effectué les étapes ci-dessus, l'intégrande a été complètement éliminée. La résolution de cette intégrale est directe,

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \n- dx & = \n-int \n- du = u + c. \n-end{align} \]

Rappelle-toi, puisque la question était en termes de \(x\N), la réponse doit également être exprimée en termes de \N(x\N). Rappelle-toi que \(x = \cosh{u} \). En prenant l'inverse du cosinus hyperbolique de chaque côté, on obtient \( u = \cosh^{-1}{x} \). Enfin, tu peux remplacer le \N(u\N) dans la formule, pour obtenir :

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \n- dx & = \n-int \n- du = \cosh^{-1}{x} + c, \Nend{align} \]

et la question est donc complète.

Trouve \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32} \,dx \] en utilisant la substitution.

Solution

Cette fonction ne ressemble à aucune de nos identités hyperboliques. La première étape de la simplification de cette fonction consiste à compléter le carré de la quadratique à l'intérieur de la racine carrée.

\N- (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \N- (x+4)^2 + 16 = x^2 + 8x + 32. \N- (x+4)^2 + 16 = x^2 + 8x + 32. \N-)

Maintenant, place le carré complété dans la question originale :

\[ \Nint \Nfrac{1}{\Nsqrt{x^2 + 8x + 32}}]. \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+4)^2 + 16} \N- dx.\N]

Cela ressemble de plus en plus à l'une des identités hyperboliques. Tu pourrais faire la substitution en utilisant \(x + 4\), mais il y a toujours le 16 dans le chemin, ce qui rend la simplification impossible. Pour te débarrasser du 16, divise le haut et le bas de la fonction par 4 :

\[ \N- début{alignement} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}} \,dx & = \int \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\sqrt{(x+4)^2 + 16}} \N- dx \N- & = \Nfrac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{16}\left((x+4)^2 + 16 \right)}} \N,dx \N & = \Nfrac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{(x+4)^2}{16} + \frac{16}{16}}} \N- dx \N- & = \Nfrac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{x+4}{4}\right)^2 + 1}} \N,dx. \Nend{align} \]

Ici, le facteur de \( \frac{1}{4} \) sur le numérateur a été retiré de l'intégrale. Ensuite, le facteur \(\frac{1}{4} \) au dénominateur a été placé à l'intérieur de notre racine carrée, il doit donc être élevé au carré pour obtenir \(\frac{1}{16} \).

Enfin, il a été placé à l'intérieur du carré du premier terme de la racine carrée pour le ramener à \(\frac{1}{4} \), tandis que \(\frac{16}{16} \) s'annule pour donner 1.

Cela ressemble beaucoup plus à l'une des identités hyperboliques si tu substitues une fonction hyperbolique à la place de \(\frac{x+4}{4} \).

Mais quelle fonction dois-tu utiliser ? Rappelle-toi l'identité hyperbolique \[ \cosh^2{u} = \sinh^2{u} + 1, \] dont le côté droit peut être identifié comme l'intérieur de la racine carrée, avec la substitution \(\sinh{u}=\frac{x+4}{4} \). Pour voir plus en détail pourquoi cette substitution a un sens, voir Calcul des fonctions hyperboliques. Après substitution, nous obtenons ,

\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}} \,dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{ \sinh^2{u} + 1 }} \N- dx. \]

Comme nous l'avons déjà dit, \N( \sinh^2{u} + 1 = \cosh^2{u} \N), tu peux donc remplacer ceci pour obtenir,

\[ \begin{align} \int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}} \,dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{ \cosh^2{u}} \,dx \\N & = \Nfrac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} \N- \N- \N- \N- \N- \N- dx. \Nend{align} \]

Encore une fois, nous avons pris la valeur positive de la racine carrée et non la valeur négative. En effet, l'intégrande étant toujours positive, l'intégrale doit l'être également.

Tu dois aussi te rappeler de remplacer le \(\N,dx\N).

La substitution était \(\frac{x+4}{4} = \sinh{u} \), donc en réarrangeant ceci pour \(x\), on obtient : \N( x = 4 \sinh{u} - 4 \N). En faisant la différence avec \N(u\N), tu obtiens : \N( \frac{dx}{du} = 4 \Ncosh{u} \N).

Tu peux donc remplacer \N( dx \N) par \N( 4 \Ncosh{u} \N,du \N) :

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}} \n- dx & = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cosh{u}} 4 \cosh{u} \,du \\N & = \int 1 \,du. \Nend{align} \]

À partir de là, l'intégrale est à nouveau directe. Pour d'autres questions similaires, tu peux te retrouver avec une valeur scalaire différente de 1, mais ici, il se trouve qu'elle s'est annulée.

\[ \begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 8x + 32}} \n- dx & = \nint \n- du \n- & = u+c. \N-END{align} \]

Rappelle que la substitution était \( \sinh{u} = \frac{x+4}{4} \implique u = \sinh^{-1}{\frac{x+4}{4}} \). La réponse est donc

\[ \Nint \Nfrac{1}{\Nsqrt{x^2 + 8x + 32}}]. \n- dx = \sinh^{-1}{\n- gauche( \frac{x+4}{4} \n- droite)} +c.\n-]