Intégrales standards

L'intégrale de la cosécante

Supposons que nous souhaitions intégrer $I=\int \csc (ax)\mathrm{d}x$, avec $a$ étant la constante.

À première vue, cela semble assez intimidant, mais c'est une occasion où nous pouvons utiliser une astuce.

Multiplions l'intégrale par

$$\frac{\csc (ax)+\cot (ax)}{\csc (ax)+\cot (ax)}.$$

Nous pouvons le faire, car cela équivaut à multiplier par 1.

Ce qui donne

$$\int \csc (ax)\left(\frac{\csc (ax)+\cot (ax)}{\csc (ax)+\cot (ax)}\right)\mathrm{d}x.$$

Ensuite, utilisons la substitution de $u=\csc (ax)+\cot (ax)$, ce qui signifie que

\[ $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}& =-a\csc (ax)\cot (ax)-a{\csc }^2(ax)\\ N& =-a\csc (ax)(\cot (ax)+\csc (ax)),\end{array}$$\N]

et

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{-a\csc (ax)(\cot (ax)+\csc (ax))}.$$

En substituant ce résultat, on obtient

\[ \begin{align} \int \csc (ax)\left(\frac{\csc (ax) + \cot(ax)}{\csc(ax)+\cot(ax)} \right)\, \mathrm{d} x &= \frac{\csc(ax)(\cot(ax)+\csc(ax)) } {\cot(ax)+\csc(ax) }\, \mathrm{d} x \N-\frac{1}{a}\int \frac{1}{u} \, \mathrm{d} x . \N- [Fin{alignement}\N]

Il est maintenant facile de l'évaluer. Cela donne

\[ \begin{align} I &= -\frac{1}{a}\ln|u| \\N-\frac{1}{a}\ln\left|\csc(ax)+\cot(ax) \right| + C. \n{align}\N]

L'intégrale de la sécante

Ceci est similaire à l'exemple précédent.

Définis $J=\int \sec (ax)\mathrm{d}x$, avec $a$ comme constante.

Cette fois, nous allons multiplier l'intégrale par

$$\frac{\sec (ax)+\tan (ax)}{\sec (ax)+\tan (ax)}.$$

Ce qui donne

$$J=\int \frac{\sec (ax)(\sec (ax)+\tan (ax))}{\sec (ax)+\tan (ax)}\mathrm{d}x.$$

Maintenant, laissons $u=\sec (ax)+\tan (ax)$, ce qui donnera

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\sec (ax)\tan (ax)+{\sec }^2(ax).$$

Cela implique que

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{a\sec (ax)\tan (ax)+a{\sec }^2(ax)}.$$

En complétant cela, nous obtenons que

$$J=-\frac{1}{a}\ln |u|.$$

Nous pouvons maintenant l'évaluer pour obtenir

\N-[ \N-{align} J &= -\frac{1}{a}\ln|u| \\N-\frac{1}{a}\ln\left|\sec(ax)+\tan(ax) \right| + C. \Nend{align}\N]

où nous avons à nouveau ajouté la constante d'intégration à la fin.

L'intégrale de la tangente

Ceci requiert une approche différente et ne nécessite pas d'astuces supplémentaires pour le résoudre.

Définis $K=\int \tan (ax)\mathrm{d}x$, avec $a$ comme constante.

Rappelle que la définition de

$$\tan (ax)=\frac{\sin (ax)}{\cos (ax)},$$

et nous pouvons alors écrire

$$K=\int \frac{\sin (ax)}{\cos (ax)}\mathrm{d}x.$$

Nous pouvons maintenant utiliser une substitution de \N(u = \Ncos (ax)\N), et donc

\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -a\sin(ax).\N-]

Cela signifie que

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{-a\sin (ax)}.$$

En utilisant les lois des logarithmes, nous pouvons mettre de l'ordre dans tout cela pour obtenir

\[ K = \frac{1}{a}\ln\left|\sec(ax)\right| + C.\r]

L'intégrale de la cotangente

Définir $L=\int \cot (ax)\mathrm{d}x$, avec $a$ comme constante. Rappelons que la définition de

$$\cot (ax)=\frac{\cos (ax)}{\sin (ax)},$$

et nous pouvons alors écrire

$$L=\int \frac{\cos (ax)}{\sin (ax)}\mathrm{d}x.$$

Effectue maintenant la substitution de \ (u = \sin (ax)\). Cela implique que

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a\cos (ax).$$

En remplissant cela, nous obtenons que

\[ $$\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{a}\int \frac{1}{u}\mathrm{d}x\\ N& =\frac{1}{a}\ln |u|+C\text{N}& =\frac{1}{a}\ln |\sin (ax)|+C.\end{array}$$\N]

Intégrales polynomiales réciproques utiles

Habituellement, lorsque nous intégrons des polynômes, il y a souvent une intégrale simple. Cependant, dans ces exemples, les réponses semblent sortir de nulle part.

Intégrale de ${\displaystyle \frac{1}{x^2+a^2}}$

Définis

\N- I = \Nint \Nfrac{1}{x^2+a^2}\N, \Nmathrm{d} x.\N]

Nous allons maintenant substituer \N(x = a\tan(t)\N). Cela signifie que

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a{\sec }^2(at),$$

et donc \N( \mathrm{d}x = a\sec^2 (at) \mathrm{d}t \N). En complétant cela, nous obtenons

$$I=\int \frac{a{\sec }^2(t)}{a^2({\tan }^2(t)+1)}\mathrm{d}t.$$

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité trigonométrique de

$$1+{\tan }^2(t)={\sec }^2(t)$$

pour donner

\[ $$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{a{\sec }^2(t)}{a^2({\tan }^2(t)+1)}\mathrm{d}t\\ N& =\frac{1}{a}\text{Nint}1\text{N},\mathrm{d}t.\end{array}$$\N]

Cette intégrale est maintenant triviale, ce qui donne

\N- I = \Nfrac{1}{a}t + C.\N]

En remplissant \N(t\N), nous trouvons

\N- I = \Nfrac{1}{a}\Narctan \Ngauche (\Nfrac{x}{a}\Ndroite) + C.\N]

Intégrale de ${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}}$

Cette intégrale fait appel à des fractions partielles. Nous factorisons d'abord

\N[ x^2-a^2 = (x+a)(x-a).\N] Cela signifie que nous cherchons à diviser

$$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}.$$

En multipliant par $x^2-a^2$ nous obtenons

\[ \N- 1 &= A(x+a)+B(x-a) \N- (A+B)x + (A-B)a. \N-{align}\N- [\N-{align}]

Cela implique que \N(A + B = 0\N) et que

\N[ A - B = \Nfrac{1}{a},\N] ce qui implique en outre que

$$A=\frac{1}{2a}\text{ et }B=-\frac{1}{2a}.$$

Ce qui donne que

\[ \begin{align}\int \frac{1}{x^2-a^2}]. \N-, \Nmathrm{d} x &= \frac{1}{2a} \int \frac{1}{x-a} \, \mathrm{d} x - \frac{1}{2a}\int \frac{1}{x+a} \, \mathrm{d} x \ &= \frac{1}{2a} \n- gauche( \ln|x-a| - \ln|x+a|\n droite) + C. \n-end{align}\N]

Nous pouvons encore simplifier ceci en utilisant la loi des logarithmes, ce qui donne

\[ \Nint \Nfrac{1}{x^2-a^2}]. \N-, \Nmathrm{d} x = \Nfrac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C.\rm{d}]

Intégrale de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$

Pour cette intégrale, nous disposons de deux méthodes, qui donnent des résultats apparemment différents mais qui sont équivalents. Définis

\[ J = \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}, \mathrm{d} x.\N}]

Méthode 1 :

Utilise la substitution $x=a\cos (t)$. Alors

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -a\sin t,\r]

ce qui donne \N ( \Mathrm{d}x = -a\sin t \Mathrm{d}t \N). En remplissant cette condition, nous obtenons

\[ \begin{align} J &= \int \frac{-a\sin t}{\sqrt{a^2-a^2\cos^2 t}\, \mathrm{d} t \\N-int \frac{-a\sin t}{\a\sqrt{1-\cos^2 t}\, \mathrm{d} t \N-int \frac{-a\sin t}{\N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- . \N- [end{align}\N]

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité trigonométrique de

\N[ \Nsin^2 t + \Ncos^2 t = 1,\N]

ou réarrangé

\N- 1 - \Ncos^2 t = \Nsin^2 t,\N]

pour obtenir

\[ \begin{align} J &= \int \frac{-a\sin t}{a\sin t}\, \mathrm{d} t \N &= \int -1\, \mathrm{d} t \N &= -t+C \N &= -\arccos \left(\frac{x}{a\Nright) + C. \end{align}\N]

Méthode 2 :

Utilise la substitution $x=a\sin t$. Alors

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t,\r]

ce qui donne \ ( \mathrm{d}x = a\cos t \mathrm{d}t \). En remplissant ce champ, nous obtenons

\[ \begin{align} J &= \int \frac{-a\cos t}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}}\, \mathrm{d} t \\N-int \frac{-a\cos t}{\sqrt{1- \sin^2 t}}\, \mathrm{d} t \N-int \frac{-a\cos t}{\N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- . \N-END{align}\N]

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité trigonométrique de

\N- 1 - \Nsin^2 t = \Ncos^2 t,\N]

donner

\[ \begin{align} J &= \int \frac{a\cos t}{a\cos t}\, \mathrm{d} t \N &= \int 1\, \mathrm{d} t \N &= t+C \N &= \arcsin \left(\frac{x}{a}\right) + D. \N- [end{align}\N]

Pourquoi ces deux éléments correspondent-ils ? Nous pouvons voir que

$$\text{Extra left or missing right}$$

Ces deux constantes devraient donc être égales, bien qu'elles ne soient pas identiques, mais qu'elles soient liées l'une à l'autre d'une manière ou d'une autre.