Inégalités Maths: Algèbre, Problèmes

Table des mateères

$x + 1 > 3$

Cet exemple se lit comme x plus 1 est plus grand que 3.

Remarque que la pointe de la flèche du symbole d'inégalité pointe vers la plus petite expression d'une inégalité.

Plus précisément, les symboles utilisés dans les inégalités sont :

symbole	Signification
>	plus grand que
<	inférieur à
$\geq$	supérieur ou égal
$\leq$	inférieur ou égal

Propriétés des inégalités

Les propriétés des inégalités sont décrites dans le tableau 1 :

Tableau 1. Propriétés des inégalités

Si a, b et c sont des nombres réels :

Propriété	Définition	Exemple
Addition	Si $a > b$ , alors $a + c > b + c$	$5 > 2$ alors $5 + 1 > 2 + 1$
Soustraction	Si $a > b$ alors $a - c > b - c$	$6 > 3$ alors $6 - 2 > 3 - 2$
Multiplication	Si $a > b$ et $c > 0$ alors $a \times c > b \times c$ Si $a > b$ et $c < 0$ alors $a \times c < b \times c$	$4 > 2$ et $3 > 0$ donc $4 \times 3 > 2 \times 3, 12 > 6$ $4 > 2$ et $- 1 < 0$ donc $4 (- 1) < 2 (- 1), - 4 < - 2$
La division	Si $a > b$ et $c > 0$ , alors $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ Si $a > b$ et $c < 0$ alors $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$	$6 > 2$ , et $2 > 0$ , donc $\frac{6}{2} > \frac{2}{2}$ , $3 > 1$ $4 > 2$ , et $- 1 < 0$ , donc $\frac{4}{- 1} < \frac{2}{1}$ , $- 4 < - 2$
Transitif	Si $a > b$ et $b > c$ alors $a > c$	$5 > 2$ et $2 > 1$ alors $5 > 1$
Comparaison	Si $a = b + c$ et $c > 0$ , alors $a > b$	$5 = 2 + 3$ et $3 > 0$ alors $5 > 2$

Quels sont les différents types d'inégalités ?

Les principaux types d'inégalités que tu peux trouver sont :

Inégalités linéaires

Les inégalités linéaires sont des inégalités dont l'exposant maximal présent dans ses variables est la puissance 1.

$x + 2 < 7$

Inégalités quadratiques

Si l'exposant maximal présent dans une inégalité est une puissance 2, on l'appelle une inégalité quadratique.

$x^{2} + x - 20 < 0$

Résoudre des inéquations

Pour résoudre les inéquations, tu devras suivre différentes étapes selon qu'elles sont linéaires ou quadratiques.

Résoudre des inéquations linéaires

Pour résoudre les inéquations linéaires, tu peux les manipuler pour trouver une solution de la même manière qu'une équation, en gardant à l'esprit les règles supplémentaires suivantes :

La solution d'une inégalité est l'ensemble de tous les nombres réels qui rendent l'inégalité vraie. Par conséquent, toute valeur de x qui satisfait l'inégalité est une solution pour x.
Les symboles> (supérieur à) et <(inférieur à) excluent la valeur spécifique comme faisant partie de la solution. Les symboles $\geq$ (supérieur ou égal) et $\leq$ (inférieur ou égal) incluent la valeur spécifique dans la solution au lieu de l'exclure.
La solution d'une inégalité peut être représentée sur la Ligne des nombres, en utilisant un cercle vide pour représenter que la valeur de x ne fait pas partie de la solution, et un cercle fermé si la valeur de x fait partie de la solution.
Si tu multiplies ou divises l'inégalité par un nombre négatif, tu dois inverser le symbole de l'inégalité. La meilleure façon de comprendre pourquoi tu dois faire cela est de voir un exemple.

Tu sais que 4> 2, mais si tu multiplies cette inégalité par -1

Tu obtiens alors -4> -2, ce qui n'est pas vrai.

Pour que l'inégalité reste vraie, tu dois inverser le symbole, comme ceci :

-4 <-2 ✔ ce qui est vrai.

En effet, dans le cas des nombres négatifs, plus le Nombre est proche de zéro, plus il est grand.

Tu peux voir -4 et -2 représentés sur la ligne des nombres comme suit :

Inégalités Maths Nombres sur la droite numérique StudySmarter Les nombres sur la droite numérique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Si tu as une fraction dans une inégalité où x est au dénominateur (par ex. $\frac{4}{x} > 5$ ), tu dois te rappeler que x peut être positif ou négatif. Par conséquent, tu ne peux pas multiplier les deux côtés de l'inégalité par x ; multiplie plutôt par $x^{2}$ pour que l'inégalité reste vraie.

Exemples de résolution d'inégalités linéaires

1) x - 5> 8 isole x et combine les termes semblables

x> 8 + 5

x> 13

En utilisant la notation ensembliste, la solution est {x : x> 13}, que tu peux lire comme l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles x est supérieur à 13.

2) 2x + 2 <16 isole x et combine les termes similaires

2x <16 -2

2x <14

$x < \frac{14}{2}$

x <7

Notation de l'ensemble : {x : x <7}

3) 5 - x <19

- x <19 - 5

- x <14 N'oublie pas de changer le symbole, car tu divises par -1

x> -14

Notation de l'ensemble : {x : x> -14}

4) Si tu dois trouver l'ensemble des valeurs pour lesquelles deux inégalités sont vraies ensemble, tu peux utiliser une droite numérique pour voir la solution plus CLAIREMENT.

La solution sera les valeurs qui satisfont les deux équations en même temps. Par exemple :

Inégalités Maths Résolution d'inégalités linéaires Ligne des nombres StudySmarter Résoudre des inégalités linéaires à l'aide de la droite numérique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Notation de l'ensemble : {x : 4 <x <5}

S'il n'y a pas de chevauchement, alors les inégalités sont écrites séparément.

Inégalités Maths Résolution d'inégalités linéaires ligne des nombres pas de chevauchement StudySmarter Résolution d'inégalités linéaires à l'aide de la droite numérique - pas de chevauchement, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals.

Notation ensembliste : {x : x <4} ∪ {x : x> 5}

Résoudre des inégalités quadratiques

Pour résoudre les inéquations quadratiques, tu dois suivre les étapes suivantes:

1. Réarrange les termes du côté gauche de l'inéquation de façon à ce qu'il n'y ait que zéro de l'autre côté.

Tu devras peut-être développer les parenthèses et combiner les termes similaires avant de résoudre une inégalité quadratique.

2. Résous l'équation quadratique pour trouver les valeurs critiques. Pour cela, tu peux factoriser, compléter le carré ou utiliser la formule quadratique.

3. Dessine le graphique de la fonction quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique ( $a x^{2} + b x + c > 0$ ) est une parabole qui croise l'axe des x aux valeurs critiques. Si le coefficient de $x^{2}$ (a) est négatif, la parabole sera à l'envers.

4. Utilise le graphique pour trouver l'ensemble des valeurs requises.

Exemples de résolution d'inégalités quadratiques

Trouve l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles $x^{2} + x - 6 > 0$

$x^{2} + x - 6 = 0$ factorise pour trouver les valeurs critiques

(x - 2) (x + 3) = 0

Les valeurs critiques sont : x = 2 et x = -3

Tu peux utiliser un tableau pour t'aider à voir où le graphique sera positif ou négatif.

	x <-3	-3 <x <2	x> 2
(x - 2)	-	-	+
(x + 3)	-	+	+
(x - 2) (x + 3)	+	-	+

Tu peux lire les informations du tableau de cette façon : Si x <-3, (x - 2) est négatif, (x + 3) est négatif, et (x - 2) (x + 3) est positif, et de même pour les autres colonnes. La dernière ligne (x - 2) (x + 3) t'indique où le graphique sera positif ou négatif.

Tu peux maintenant dessiner le graphique :

Inégalités Maths Résolution d'inégalités quadratiques graphique StudySmarter Résolution du graphique des inégalités quadratiques, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Lessolutions de $x^{2} + x - 6 > 0$ sont les valeurs de x où la courbe est au-dessus de l'axe des x. Cela se produit lorsque x <-3 ou x> 2. En notation d'ensemble : {x : x <-3} ∪ {x : x> 2}

Inégalités Maths Résolution d'inégalités quadratiques graphique courbe au-dessus de l'axe des x StudySmarter Résolution du graphique des inégalités quadratiques - courbe au-dessus de l'axe des x, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals.

Si tu veux trouver la solution de $x^{2} + x - 6 < 0$ , il s'agira des valeurs de x où la courbe est en dessous de l'axe des x. C'est le cas lorsque -3 <x <2. En notation ensembliste : {x : -3 <x <2}

Inégalités Maths Résolution d'inégalités quadratiques graphique courbe sous l'axe des x StudySmarter Résolution du graphique des inégalités quadratiques - courbe sous l'axe des x, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals.

Comment représenter graphiquement les inégalités ?

Tu devras peut-être représenter graphiquement la solution des inéquations en considérant les graphiques auxquels elles se rapportent.

Les règles qui s'appliquent dans ce cas sont :

Les valeurs de x pour lesquelles la courbe y = f (x) est inférieure à la courbe y = g (x) satisfont l'inégalité f (x) <g (x).
Les valeurs de x pour lesquelles la courbe y = f (x) est supérieure à la courbe y = g (x) satisfont à l'inégalité f (x)> g (x).

Exemples de représentation graphique d'inégalités

Etant donné les équations y = 3x + 10, et $y = x^{2}$ trouve la solution de l'inégalité $3 x + 10 > x^{2}$

Rends les équations égales entre elles pour trouver les points d'intersection et les valeurs critiques :

$3 x + 10 = x^{2}$

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$ factorise pour trouver les valeurs critiques

$(x + 2) (x - 5)$

Les valeurs critiques sont x = -2 et x = 5.

Substitue les valeurs critiques dans $y = x^{2}$ pour trouver les points d'intersection:

Lorsque x = -2, $y = {(- 2)}^{2} = 4$ A = (- 2, 4)

Lorsque x = 5, $y = {(5)}^{2} = 25$ B = (5, 25)

Inégalités Maths Représenter graphiquement des inégalités Points d'intersection StudySmarter Représenter graphiquement des inégalités - points d'intersection, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

La solution de $3 x + 10 > x^{2}$ sont les valeurs de x pour lesquelles le graphique de 3x + 10 est au-dessus du graphique de $x^{2}$ . C'est le cas lorsque -2 <x <5. En notation d'ensemble : {x : -2 <x <5}

Représentation des régions dans les inéquations

Parfois, lorsque tu travailles avec des inéquations, on te demandera de trouver et d'ombrer la région qui satisfait à la fois les inéquations linéaires et quadratiques.

La meilleure façon d'aborder ce type de problème est de représenter toutes les inégalités graphiquement pour trouver la région où toutes les inégalités sont satisfaites, en tenant particulièrement compte des conseils suivants :

Si les inégalités comprennent les symboles < ou>, alors la courbe n'est pas incluse dans la région, et elle doit être représentée par une ligne pointillée.
Si les inégalités comprennent les symboles $\leq$ ou $\geq$ alors la courbe est incluse dans la région et doit être représentée par un trait plein.

Exemple de représentation des régions dans les inégalités

Ombre la région qui satisfait aux inégalités :

$y + x < 5$ et $y \geq x^{2} - x - 6$

L'inégalité y + x <5 utilise le symbole <, c'est pourquoi son graphique est représenté par une ligne pointillée. L'inégalité $y \geq x^{2} - x - 6$ utilise le symbole $\geq$ c'est pourquoi elle est représentée par une ligne continue.

La région où les deux inégalités sont satisfaites en même temps a été ombrée en bleu.

Inégalités Maths Représenter graphiquement les régions dans les inégalités StudySmarter Représenter graphiquement des régions dans des inégalités, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Inégalités en maths - Principaux enseignements

Les inégalités sont des expressions algébriques qui, au lieu de représenter la façon dont deux termes sont égaux l'un à l'autre, représentent la façon dont un terme est inférieur, inférieur ou égal, supérieur ou supérieur ou égal à l'autre.
Les inégalités peuvent être manipulées de la même façon que les équations, mais il faut tenir compte de quelques règles supplémentaires.
Lorsque l'on multiplie ou divise des inégalités par un nombre négatif, le symbole doit être inversé pour que l'inégalité reste vraie.
La solution d'une inégalité est l'ensemble de tous les nombres réels qui rendent l'inégalité vraie.
Tu peux utiliser une droite numérique pour représenter deux ou plusieurs inégalités ensemble, afin de voir plus clairement les valeurs qui satisfont toutes les inégalités en même temps.
La résolution des inégalités quadratiques peut se faire en factorisant, en complétant le carré ou en utilisant la formule quadratique pour trouver les valeurs critiques nécessaires pour pouvoir dessiner le graphique correspondant et trouver la solution.

Fiches dans Inégalités Maths 7

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Qu'est-ce qu'une inégalité en mathématiques ?

Les inégalités sont des expressions algébriques qui, au lieu de représenter comment les deux côtés d'une équation sont égaux l'un à l'autre, représentent comment un terme est inférieur, inférieur ou égal, supérieur ou supérieur ou égal à l'autre.

Qu'est-ce que la propriété d'addition des inégalités ?

Si a > b, alors a + c > b + c

Qu'est-ce que la propriété de multiplication des inégalités ?

Si a > b et c > 0, alors a x c > b x c

Si a > b et c < 0, alors a x c < b x c

Qu'est-ce que la propriété transitive des inégalités ?

Si a > b et b > c, alors a > c

Comment résoudre les inégalités quadratiques ?

On peut le faire en factorisant, en complétant le carré ou en utilisant la formule quadratique pour trouver les valeurs critiques nécessaires pour pouvoir tracer le graphique correspondant et trouver la solution.

Lorsque l'on représente des régions dans des inéquations, quel type de ligne doit être utilisé pour représenter le fait que la courbe n'est pas incluse dans la région ?

Ligne en pointillé

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Questions fréquemment posées en Inégalités Maths

Qu'est-ce qu'une inégalité en maths?

Une inégalité en maths compare deux valeurs ou expressions, indiquant que l'une est plus grande, plus petite ou non égale à l'autre.

Comment résoudre une inégalité?

Pour résoudre une inégalité, isolez la variable en utilisant des opérations similaires à celles utilisées dans les équations, tout en inversant le signe de l'inégalité si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.

Quelles sont les règles des inégalités?

Les principales règles des inégalités incluent le fait que, lorsque vous ajoutez, soustrayez, multipliez ou divisez les deux côtés par le même nombre, l'inégalité reste vraie. Inversez le signe si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.

Quand utilise-t-on les inégalités en maths?

Les inégalités sont utilisées pour décrire des plages de valeurs possibles dans divers problèmes, comme les solutions d'équations, les restrictions et les optimisations.

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