Identités trigonométriques: Formules, Exemples

Q: Qu'est-ce qu'une identité trigonométrique?

Une identité trigonométrique est une équation valable pour toutes les valeurs des angles impliqués. Exemple : sin²(θ) + cos²(θ) = 1.

Q: Pourquoi utilise-t-on les identités trigonométriques?

On utilise les identités trigonométriques pour simplifier les expressions trigonométriques, résoudre des équations et comprendre les relations entre les fonctions trigonométriques.

Q: Quelle est l'identité trigonométrique fondamentale?

L'identité trigonométrique fondamentale est : sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Elle exprime la relation entre le sinus et le cosinus d'un angle.

Q: Comment prouver une identité trigonométrique?

Pour prouver une identité trigonométrique, on manipule les expressions avec des transformations algébriques et l'utilisation d'autres identités jusqu'à ce que les deux côtés de l'équation soient égaux.

Table des mateères

Quel est le principal ensemble d'identités trigonométriques ?

Il existe deux principales identités trigonométriques qu'il faut apprendre pour prouver et résoudre d'autres équations. Ce sont :

et $\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \tan x$

Prouvons ces identités en commençant par $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

Preuve :

Traçons tout d'abord un triangle dont l'angle est θ.

Identités trigonométriques Triangle StudySmarter

Triangle général d'angle θ

Maintenant, si nous écrivons les expressions pour a et b en utilisant SOHCAHTOA, nous obtenons :

a = c \sin θ b = c \cos θ

Par conséquent :

\frac{a}{c} = \sin θ \frac{b}{c} = \cos θ

Maintenant, si nous élevons au carré ces deux expressions pour sin et cos, nous obtenons :

\frac{a^{2}}{c^{2}} = \sin^{2} θ \frac{b^{2}}{c^{2}} = \cos^{2} θ

En les additionnant, on obtient :

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}

Par le théorème de Pythagore :

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Par conséquent :

\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1 \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

Passons maintenant à la preuve $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ . La première moitié de cette preuve est identique à la preuve ci-dessus.

PREUVE :

Traçons tout d'abord un triangle dont l'angle est θ.

Maintenant, si nous écrivons les expressions pour a et b en utilisant SOHCAHTOA, nous obtenons :

Donc

Maintenant, si nous divisons ces deux expressions pour sin et cos :

\frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{(\frac{a}{c})}{(\frac{b}{c})}

= \frac{a}{c} \times \frac{c}{b} = \frac{a}{b}

Il s'agit d'une expression pour le côté opposé sur le côté adjacent, donc :

\frac{a}{b} = \tan θ

Donc :

\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ

Voyons maintenant quelques exemples pratiques où les identités trigonométriques peuvent être appliquées.

Exemples d'exercices utilisant les identités trigonométriques

Résous l'équation $4 \sin^{2} x + 8 \cos x - 7 = 0$ pour $0 \leq x \leq 180 .$

SOLUTION :La première chose à faire est de substituer

1 - \cos^{2} x

par

\sin^{2} x

.L'équation est maintenant la suivante

4 (1 - \cos^{2} x) + 8 \cos x - 7 = 0

.En simplifiant davantage :

4 - 4 \cos^{2} x + 8 \cos x - 7 = 0

4 \cos^{2} x - 8 \cos x + 3 = 0

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation comme une quadratique en prenant

y = \cos x

4 y^{2} - 8 y + 3 = 0 (2 y - 1) (2 y - 3) = 0 y = 0.5 o r y = 1.5

Nous devons maintenant faire x = ^cos-1(y)Nous ne pouvons faire que ^cos-1(0,5)=60°C'est parce que 1,5 > 1 et que nous ne pouvons donc pas faire une fonction ^cos-1 de ceci.La seule réponse est donc 60°.

Voyons un autre exemple de réarrangement des identités trigonométriques.

Montre que l'équation $2 \sin x = \frac{(4 \cos x - 1)}{\tan x}$ peut s'écrire sous la forme $6 \cos^{2} x - \cos x - 2 = 0 .$

SOLUTION :Tout d'abord, réarrangeons l'équation pour éliminer les dénominateurs.

2 \sin x \tan x = 4 \cos x - 1

Remplaçons maintenant

\tan x

par

\frac{\sin x}{\cos x}

2 \sin x \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \cos x - 1

\frac{2 \sin^{2} x}{\cos x} = 4 \cos x - 1

Maintenant, débarrasse-toi du dénominateur en multipliant par

\cos x

2 \sin^{2} x = 4 \cos^{2} x - \cos x

Remplaçons maintenant

\sin^{2} x

par

1 - \cos^{2} x

2 (1 - \cos^{2} x) = 4 \cos^{2} x - \cos x 2 - 2 \cos^{2} x = 4 \cos^{2} x - \cos x

Réarrange ensuite cette équation :

2 = 6 \cos^{2} x - \cos x 6 \cos^{2} x - \cos x - 2 = 0

QED

Quelles autres identités trigonométriques pouvons-nous déduire ?

Tout d'abord, nous devons connaître trois nouveaux éléments de terminologie :

$s e c x = \frac{1}{\cos x} \cos e c x = \frac{1}{\sin x} c o t x = \frac{1}{\tan x}$

Il s'agit des réciproques des sin, cos et tan standard.

Dériver de nouvelles identités

Examinons maintenant l'identité $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ :

Si nous divisons l'équation entière par

\cos^{2} (x)

nous obtenons :

\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}

En utilisant l'identité

\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

\tan^{2} x + 1 = s e c^{2} x

C'est notre première nouvelle identité. Maintenant, si nous divisons toute notre équation par

\sin^{2} x

\frac{\sin^{2} x}{\sin^{2} x} + \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x}

En utilisant l'identité

\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

, donc :

1 + \frac{1}{\tan^{2} x} = \frac{1}{\sin^{2} x} 1 + c o t^{2} x = \cos e c^{2} x

Nous avons maintenant nos deux nouvelles identités :

\tan^{2} x + 1 = s e c^{2} x c o t^{2} x + 1 = \cos e c^{2} x

Voyons-les en action dans quelques exemples concrets.

Exemples travaillés de nouvelles identités

Résous, pour 0 ≤ θ < 360°, l'équation :

2 \tan^{2} x + s e c x = 1

à 1 dp.

Graphique de y=cosx. Image : Ruben Verhaegh, CC BY-SA 4.0

Nous pouvons voir que si nous effectuons l'identité $\cos x = \cos (360 - x)$ l'autre valeur de $x$ est $360 - 131.8 = 228.2$ .

Nous devons alors effectuer $\cos^{- 1} (1) = 0$ en utilisant à nouveau l'identité $\cos x = \cos (360 - x)$ , $x = 360$ .

Ainsi, à 1 décimale près, nos 4 solutions en degrés sont :

$x = 131.8, x = 228.2, x = 0, x = 360$

Identités trigonométriques - Principaux enseignements

Les identités trigonométriques sont utilisées pour dériver de nouvelles formules et équations.
Elles peuvent aider à résoudre des équations impliquant la trigonométrie.
Elles nous aident à visualiser géométriquement des situations de la vie réelle.
Elles ont des preuves qui peuvent être adaptées à partir de la trigonométrie de base.

Images :

Graphique de y=cos x : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cos(x).PNG

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Questions fréquemment posées en Identités trigonométriques

Qu'est-ce qu'une identité trigonométrique?

Une identité trigonométrique est une équation valable pour toutes les valeurs des angles impliqués. Exemple : sin²(θ) + cos²(θ) = 1.

Pourquoi utilise-t-on les identités trigonométriques?

On utilise les identités trigonométriques pour simplifier les expressions trigonométriques, résoudre des équations et comprendre les relations entre les fonctions trigonométriques.

Quelle est l'identité trigonométrique fondamentale?

L'identité trigonométrique fondamentale est : sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Elle exprime la relation entre le sinus et le cosinus d'un angle.

Comment prouver une identité trigonométrique?

Pour prouver une identité trigonométrique, on manipule les expressions avec des transformations algébriques et l'utilisation d'autres identités jusqu'à ce que les deux côtés de l'équation soient égaux.

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