La première identité de Pythagore
La première identité de Pythagore est \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Cette identité peut être dérivée en utilisant le théorème de Pythagore et le cercle unitaire.
Cercle unitaire montrant la dérivation de la première identité de Pythagore
Nous savons que \N ( a^2 + b^2 = c^2\N) donc \N ( \Nsin^2 \theta + \Ncos^2 \theta = 1\N).
La deuxième identité de Pythagore
La deuxième identité pythagoricienne est \N( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\cos^2\theta\) :
\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} .\]
Rappelle-toi que
\[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \mbox{ et } \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta.\N]
En simplifiant cette expression, on obtient \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).
La troisième identité pythagoricienne
La troisième identité pythagoricienne est \N( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\sin^2\theta\) :
\frac[ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} .\]
Rappelle-toi que
\[ \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \mbox{ et } \frac{1}{\sin\theta}= \csc\theta.\N]
Nous pouvons maintenant simplifier cette expression en \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).
Comment utiliser les identités de Pythagore
Nous allons maintenant examiner trois exemples d'utilisation de chacune des identités de Pythagore pour répondre à des questions.
Simplifie \(\sin x \cos^2 x = \sin x -1\) et trouve la valeur de \(x\) : \N(0 ＜ x ＜ 2\pi\N).
Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser la première identité pythagoricienne : \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) et la réarranger :
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]
Nous pouvons maintenant substituer \(1 - \sin^2 x \) dans l'expression :
\[ \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \sin^2 x ).\]
En simplifiant cette expression et en la mettant à égalité avec le côté droit, nous obtenons
\[ \sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]
ou
\N- \N -\Nsin^3 x = -1. \N]
Donc \N( \sin x = 1 \N) et \N(x = \frac{\pi}{2}\N).
Si \(\cos x = 0.78\), quelle est la valeur de \(\tan x\) ?
Pour cela, nous devons utiliser le fait que \ ( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). Nous savons également que
\N[ \Nsec x = \Nfrac{1}{\Ncos x}\N]
donc
\[ \sec x = \frac{1}{0,78} = 1,282 .\]
Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l'équation et trouver \N( \tan x\N) :
\N[ \Ntan^2 x + 1 = (1,282)^2 \N]
donc
\[ \tan^2 x = (1.282)^2 -1 \]
et \N( \Ntan x = 0,802\N).
Solve for \N(x\N) between \N(0^\circ\N) and \N(180^\circ\N) :
\N[ \Ncot^2 (2x)+ \Ncsc (2x) - 1 = 0,\N].
Dans ce cas, nous devons utiliser la troisième identité pythagoricienne, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).
Si nous réarrangeons cette identité, nous obtenons \ ( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). Dans ce cas, \(\theta = 2x\) et nous pouvons insérer cette identité réarrangée dans notre équation :
\N[ \Ngauche( \Ncsc^2(2x) - 1 \Ndroite) + \Ncsc 2x - 1 = 0 \N].
donc
\[ \csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]
Nous pouvons traiter ceci comme une quadratique que nous pouvons factoriser en
\N-(\Nc 2x + 2)(\Nc 2x - 1) = 0.\N]
Nous pouvons maintenant résoudre ce problème et obtenir \N( \Ncsc 2x = -2\N) ou \N ( \Ncsc 2x = 1\N), donc \N( \Nsin 2x = -\Nfrac{1}{2}\N) ou \N(\Nsin x = 1\N). Par conséquent, \N(2x = 210^\circons), \N(330^\circons), \N(90^\circons). et \N(x = 45^\circons), \N(105^\circons), \N(165^\circons).
Identités pythagoriciennes - Principaux enseignements
La première identité pythagoricienne est \N ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\N).
La deuxième identité de Pythagore est \N ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N).
La troisième identité pythagoricienne est \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).
La première identité est dérivée du théorème de Pythagore \N( a^2 + b^2 = c^2\N) et du cercle unitaire.
Les deuxième et troisième identités sont dérivées de la première identité.
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