Identités Pythagoriciennes

Les identités pythagoriciennes sont des équations basées sur le théorème de Pythagore ( a^2 + b^2 = c^2). Tu peux utiliser ce théorème pour trouver les côtés d'un triangle rectangle. Il existe trois identités de Pythagore.

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trigonométrie, théorème de pythagore, studysmarter

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Triangle rectangle utilisé comme base du théorème de Pythagore

La première identité de Pythagore

La première identité de Pythagore est sin2θ+cos2θ=1. Cette identité peut être dérivée en utilisant le théorème de Pythagore et le cercle unitaire.

trigonométrie, identité pythagoricienne cercle unitaire, studysmarter

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Cercle unitaire montrant la dérivation de la première identité de Pythagore

Nous savons que \N ( a^2 + b^2 = c^2\N) donc \N ( \Nsin^2 \theta + \Ncos^2 \theta = 1\N).

La deuxième identité de Pythagore

La deuxième identité pythagoricienne est \N( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par cos2θ :

\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} .\]

Rappelle-toi que

\[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \mbox{ et } \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta.\N]

En simplifiant cette expression, on obtient \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).

La troisième identité pythagoricienne

La troisième identité pythagoricienne est \N( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par sin2θ :

\frac[ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} .\]

Rappelle-toi que

\[ \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \mbox{ et } \frac{1}{\sin\theta}= \csc\theta.\N]

Nous pouvons maintenant simplifier cette expression en \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).

Comment utiliser les identités de Pythagore

Nous allons maintenant examiner trois exemples d'utilisation de chacune des identités de Pythagore pour répondre à des questions.

Simplifie sinxcos2x=sinx1 et trouve la valeur de x : \N(0 < x < 2\pi\N).

Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser la première identité pythagoricienne : \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) et la réarranger :

cos2x=1sin2x.

Nous pouvons maintenant substituer 1sin2x dans l'expression :

sinxcos2x=sinx(1sin2x).

En simplifiant cette expression et en la mettant à égalité avec le côté droit, nous obtenons

sinxsin3x=sinx1

ou

\N- \N -\Nsin^3 x = -1. \N]

Donc \N( \sin x = 1 \N) et \N(x = \frac{\pi}{2}\N).

Si cosx=0.78, quelle est la valeur de tanx ?

Pour cela, nous devons utiliser le fait que \ ( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). Nous savons également que

\N[ \Nsec x = \Nfrac{1}{\Ncos x}\N]

donc

secx=10,78=1,282.

Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l'équation et trouver \N( \tan x\N) :

\N[ \Ntan^2 x + 1 = (1,282)^2 \N]

donc

tan2x=(1.282)21

et \N( \Ntan x = 0,802\N).

Solve for \N(x\N) between \N(0^\circ\N) and \N(180^\circ\N) :

\N[ \Ncot^2 (2x)+ \Ncsc (2x) - 1 = 0,\N].

Dans ce cas, nous devons utiliser la troisième identité pythagoricienne, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).

Si nous réarrangeons cette identité, nous obtenons \ ( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). Dans ce cas, θ=2x et nous pouvons insérer cette identité réarrangée dans notre équation :

\N[ \Ngauche( \Ncsc^2(2x) - 1 \Ndroite) + \Ncsc 2x - 1 = 0 \N].

donc

csc22x+csc2x2=0.

Nous pouvons traiter ceci comme une quadratique que nous pouvons factoriser en

\N-(\Nc 2x + 2)(\Nc 2x - 1) = 0.\N]

Nous pouvons maintenant résoudre ce problème et obtenir \N( \Ncsc 2x = -2\N) ou \N ( \Ncsc 2x = 1\N), donc \N( \Nsin 2x = -\Nfrac{1}{2}\N) ou \N(\Nsin x = 1\N). Par conséquent, \N(2x = 210^\circons), \N(330^\circons), \N(90^\circons). et \N(x = 45^\circons), \N(105^\circons), \N(165^\circons).

Identités pythagoriciennes - Principaux enseignements

  • La première identité pythagoricienne est \N ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\N).

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  • La deuxième identité de Pythagore est \N ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N).

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  • La troisième identité pythagoricienne est \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).

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  • La première identité est dérivée du théorème de Pythagore \N( a^2 + b^2 = c^2\N) et du cercle unitaire.

  • Les deuxième et troisième identités sont dérivées de la première identité.

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Identités Pythagoriciennes
Questions fréquemment posées en Identités Pythagoriciennes
Qu'est-ce qu'une identité pythagoricienne ?
Une identité pythagoricienne est une équation dérivée du théorème de Pythagore. Par exemple, pour tout triangle rectangle, on a : a² + b² = c².
Quels sont des exemples d'identités pythagoriciennes ?
Un exemple classique est sin²(θ) + cos²(θ) = 1, qui dérive de l'application du théorème de Pythagore à un cercle trigonométrique.
Quel est le lien entre les identités pythagoriciennes et les fonctions trigonométriques ?
Les identités pythagoriciennes relient les carrés des fonctions trigonométriques entre elles, telle que sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
Comment prouver une identité pythagoricienne ?
Pour prouver une identité pythagoricienne, on peut utiliser le théorème de Pythagore ou les propriétés du cercle trigonométrique.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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