Identités Pythagoriciennes

Simplifie \(\sin x \cos^2 x = \sin x -1\) et trouve la valeur de \(x\) : \N(0 ＜ x ＜ 2\pi\N).

Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser la première identité pythagoricienne : \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) et la réarranger :

\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]

Nous pouvons maintenant substituer \(1 - \sin^2 x \) dans l'expression :

\[ \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \sin^2 x ).\]

En simplifiant cette expression et en la mettant à égalité avec le côté droit, nous obtenons

\[ \sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]

ou

\N- \N -\Nsin^3 x = -1. \N]

Donc \N( \sin x = 1 \N) et \N(x = \frac{\pi}{2}\N).

Si \(\cos x = 0.78\), quelle est la valeur de \(\tan x\) ?

Pour cela, nous devons utiliser le fait que \ ( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). Nous savons également que

\N[ \Nsec x = \Nfrac{1}{\Ncos x}\N]

donc

\[ \sec x = \frac{1}{0,78} = 1,282 .\]

Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l'équation et trouver \N( \tan x\N) :

\N[ \Ntan^2 x + 1 = (1,282)^2 \N]

donc

\[ \tan^2 x = (1.282)^2 -1 \]

et \N( \Ntan x = 0,802\N).

Solve for \N(x\N) between \N(0^\circ\N) and \N(180^\circ\N) :

\N[ \Ncot^2 (2x)+ \Ncsc (2x) - 1 = 0,\N].

Dans ce cas, nous devons utiliser la troisième identité pythagoricienne, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).

Si nous réarrangeons cette identité, nous obtenons \ ( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). Dans ce cas, \(\theta = 2x\) et nous pouvons insérer cette identité réarrangée dans notre équation :

\N[ \Ngauche( \Ncsc^2(2x) - 1 \Ndroite) + \Ncsc 2x - 1 = 0 \N].

donc

\[ \csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]

Nous pouvons traiter ceci comme une quadratique que nous pouvons factoriser en

\N-(\Nc 2x + 2)(\Nc 2x - 1) = 0.\N]

Nous pouvons maintenant résoudre ce problème et obtenir \N( \Ncsc 2x = -2\N) ou \N ( \Ncsc 2x = 1\N), donc \N( \Nsin 2x = -\Nfrac{1}{2}\N) ou \N(\Nsin x = 1\N). Par conséquent, \N(2x = 210^\circons), \N(330^\circons), \N(90^\circons). et \N(x = 45^\circons), \N(105^\circons), \N(165^\circons).