Identités Pythagoriciennes

Les identités pythagoriciennes sont des équations basées sur le théorème de Pythagore ( a^2 + b^2 = c^2). Tu peux utiliser ce théorème pour trouver les côtés d'un triangle rectangle. Il existe trois identités de Pythagore.

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    trigonométrie, théorème de pythagore, studysmarterTriangle rectangle utilisé comme base du théorème de Pythagore

    La première identité de Pythagore

    La première identité de Pythagore est \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Cette identité peut être dérivée en utilisant le théorème de Pythagore et le cercle unitaire.

    trigonométrie, identité pythagoricienne cercle unitaire, studysmarterCercle unitaire montrant la dérivation de la première identité de Pythagore

    Nous savons que \N ( a^2 + b^2 = c^2\N) donc \N ( \Nsin^2 \theta + \Ncos^2 \theta = 1\N).

    La deuxième identité de Pythagore

    La deuxième identité pythagoricienne est \N( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\cos^2\theta\) :

    \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} .\]

    Rappelle-toi que

    \[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \mbox{ et } \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta.\N]

    En simplifiant cette expression, on obtient \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).

    La troisième identité pythagoricienne

    La troisième identité pythagoricienne est \N( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\sin^2\theta\) :

    \frac[ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} .\]

    Rappelle-toi que

    \[ \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \mbox{ et } \frac{1}{\sin\theta}= \csc\theta.\N]

    Nous pouvons maintenant simplifier cette expression en \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).

    Comment utiliser les identités de Pythagore

    Nous allons maintenant examiner trois exemples d'utilisation de chacune des identités de Pythagore pour répondre à des questions.

    Simplifie \(\sin x \cos^2 x = \sin x -1\) et trouve la valeur de \(x\) : \N(0 < x < 2\pi\N).

    Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser la première identité pythagoricienne : \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) et la réarranger :

    \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]

    Nous pouvons maintenant substituer \(1 - \sin^2 x \) dans l'expression :

    \[ \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \sin^2 x ).\]

    En simplifiant cette expression et en la mettant à égalité avec le côté droit, nous obtenons

    \[ \sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]

    ou

    \N- \N -\Nsin^3 x = -1. \N]

    Donc \N( \sin x = 1 \N) et \N(x = \frac{\pi}{2}\N).

    Si \(\cos x = 0.78\), quelle est la valeur de \(\tan x\) ?

    Pour cela, nous devons utiliser le fait que \ ( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). Nous savons également que

    \N[ \Nsec x = \Nfrac{1}{\Ncos x}\N]

    donc

    \[ \sec x = \frac{1}{0,78} = 1,282 .\]

    Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l'équation et trouver \N( \tan x\N) :

    \N[ \Ntan^2 x + 1 = (1,282)^2 \N]

    donc

    \[ \tan^2 x = (1.282)^2 -1 \]

    et \N( \Ntan x = 0,802\N).

    Solve for \N(x\N) between \N(0^\circ\N) and \N(180^\circ\N) :

    \N[ \Ncot^2 (2x)+ \Ncsc (2x) - 1 = 0,\N].

    Dans ce cas, nous devons utiliser la troisième identité pythagoricienne, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).

    Si nous réarrangeons cette identité, nous obtenons \ ( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). Dans ce cas, \(\theta = 2x\) et nous pouvons insérer cette identité réarrangée dans notre équation :

    \N[ \Ngauche( \Ncsc^2(2x) - 1 \Ndroite) + \Ncsc 2x - 1 = 0 \N].

    donc

    \[ \csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]

    Nous pouvons traiter ceci comme une quadratique que nous pouvons factoriser en

    \N-(\Nc 2x + 2)(\Nc 2x - 1) = 0.\N]

    Nous pouvons maintenant résoudre ce problème et obtenir \N( \Ncsc 2x = -2\N) ou \N ( \Ncsc 2x = 1\N), donc \N( \Nsin 2x = -\Nfrac{1}{2}\N) ou \N(\Nsin x = 1\N). Par conséquent, \N(2x = 210^\circons), \N(330^\circons), \N(90^\circons). et \N(x = 45^\circons), \N(105^\circons), \N(165^\circons).

    Identités pythagoriciennes - Principaux enseignements

    • La première identité pythagoricienne est \N ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\N).

    • La deuxième identité de Pythagore est \N ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N).

    • La troisième identité pythagoricienne est \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).

    • La première identité est dérivée du théorème de Pythagore \N( a^2 + b^2 = c^2\N) et du cercle unitaire.

    • Les deuxième et troisième identités sont dérivées de la première identité.

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    Identités Pythagoriciennes
    Questions fréquemment posées en Identités Pythagoriciennes
    Qu'est-ce qu'une identité pythagoricienne ?
    Une identité pythagoricienne est une équation dérivée du théorème de Pythagore. Par exemple, pour tout triangle rectangle, on a : a² + b² = c².
    Quels sont des exemples d'identités pythagoriciennes ?
    Un exemple classique est sin²(θ) + cos²(θ) = 1, qui dérive de l'application du théorème de Pythagore à un cercle trigonométrique.
    Quel est le lien entre les identités pythagoriciennes et les fonctions trigonométriques ?
    Les identités pythagoriciennes relient les carrés des fonctions trigonométriques entre elles, telle que sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
    Comment prouver une identité pythagoricienne ?
    Pour prouver une identité pythagoricienne, on peut utiliser le théorème de Pythagore ou les propriétés du cercle trigonométrique.
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