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Les identités pythagoriciennes sont des équations basées sur le théorème de Pythagore ( a^2 + b^2 = c^2). Tu peux utiliser ce théorème pour trouver les côtés d'un triangle rectangle. Il existe trois identités de Pythagore.
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Équipe enseignants Identités Pythagoriciennes
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Envoyer des commentairesLa première identité de Pythagore est \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Cette identité peut être dérivée en utilisant le théorème de Pythagore et le cercle unitaire.
Cercle unitaire montrant la dérivation de la première identité de Pythagore
Nous savons que \N ( a^2 + b^2 = c^2\N) donc \N ( \Nsin^2 \theta + \Ncos^2 \theta = 1\N).
La deuxième identité pythagoricienne est \N( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\cos^2\theta\) :
\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} .\]
Rappelle-toi que
\[ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta \mbox{ et } \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta.\N]
En simplifiant cette expression, on obtient \ ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \).
La troisième identité pythagoricienne est \N( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N). On l'obtient en prenant la première identité de Pythagore et en la divisant par \(\sin^2\theta\) :
\frac[ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta} {\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} .\]
Rappelle-toi que
\[ \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \mbox{ et } \frac{1}{\sin\theta}= \csc\theta.\N]
Nous pouvons maintenant simplifier cette expression en \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).
Nous allons maintenant examiner trois exemples d'utilisation de chacune des identités de Pythagore pour répondre à des questions.
Simplifie \(\sin x \cos^2 x = \sin x -1\) et trouve la valeur de \(x\) : \N(0 ＜ x ＜ 2\pi\N).
Pour cela, nous aurons besoin d'utiliser la première identité pythagoricienne : \ ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) et la réarranger :
\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x .\]
Nous pouvons maintenant substituer \(1 - \sin^2 x \) dans l'expression :
\[ \sin x \cos^2 x = \sin x(1 - \sin^2 x ).\]
En simplifiant cette expression et en la mettant à égalité avec le côté droit, nous obtenons
\[ \sin x - \sin^3 x = \sin x -1 \]
ou
\N- \N -\Nsin^3 x = -1. \N]
Donc \N( \sin x = 1 \N) et \N(x = \frac{\pi}{2}\N).
Si \(\cos x = 0.78\), quelle est la valeur de \(\tan x\) ?
Pour cela, nous devons utiliser le fait que \ ( \tan^2x + 1 = \sec^2x \). Nous savons également que
\N[ \Nsec x = \Nfrac{1}{\Ncos x}\N]
donc
\[ \sec x = \frac{1}{0,78} = 1,282 .\]
Nous pouvons maintenant substituer cette valeur dans l'équation et trouver \N( \tan x\N) :
\N[ \Ntan^2 x + 1 = (1,282)^2 \N]
donc
\[ \tan^2 x = (1.282)^2 -1 \]
et \N( \Ntan x = 0,802\N).
Solve for \N(x\N) between \N(0^\circ\N) and \N(180^\circ\N) :
\N[ \Ncot^2 (2x)+ \Ncsc (2x) - 1 = 0,\N].
Dans ce cas, nous devons utiliser la troisième identité pythagoricienne, \ ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\).
Si nous réarrangeons cette identité, nous obtenons \ ( \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1\). Dans ce cas, \(\theta = 2x\) et nous pouvons insérer cette identité réarrangée dans notre équation :
\N[ \Ngauche( \Ncsc^2(2x) - 1 \Ndroite) + \Ncsc 2x - 1 = 0 \N].
donc
\[ \csc^2 2x + \csc 2x - 2 = 0.\]
Nous pouvons traiter ceci comme une quadratique que nous pouvons factoriser en
\N-(\Nc 2x + 2)(\Nc 2x - 1) = 0.\N]
Nous pouvons maintenant résoudre ce problème et obtenir \N( \Ncsc 2x = -2\N) ou \N ( \Ncsc 2x = 1\N), donc \N( \Nsin 2x = -\Nfrac{1}{2}\N) ou \N(\Nsin x = 1\N). Par conséquent, \N(2x = 210^\circons), \N(330^\circons), \N(90^\circons). et \N(x = 45^\circons), \N(105^\circons), \N(165^\circons).
La première identité pythagoricienne est \N ( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\N).
La deuxième identité de Pythagore est \N ( \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \N).
La troisième identité pythagoricienne est \N ( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\N).
La première identité est dérivée du théorème de Pythagore \N( a^2 + b^2 = c^2\N) et du cercle unitaire.
Les deuxième et troisième identités sont dérivées de la première identité.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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