Graphiques des fonctions trigonométriques: Sinus, Cosinus

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Rappelle-toi que lorsque nous avons étudié les rapports trigonométriques, nous avons examiné les fonctions $\sin (x)$ , $\cos (x)$ et $\tan (x)$ . Une fonction trigonométrique est une fonction qui relie la taille d'un angle dans un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés.

Propriétés des graphiques trigonométriques

Il y a trois graphiques qui nous intéressent lorsque nous étudions les graphiques des fonctions trigonométriques : les graphiques de sin(x), cos(x) et tan(x). Pour les mathématiques du GCSE, tu dois en quelque sorte mémoriser à quoi ressemblent ces graphiques. Cependant, ils ont quelques propriétés clés qui les rendent assez simples à dessiner. Nous commencerons par le graphique de $y = \sin (x)$ .

Le graphique de y=sin(x)

Graphiques de sin, cos et tan, Graphique de sin(x) , Jordan Madge

Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique de y=sin(x), Jordan Madge- StudySmarter Originals

Propriétés principales

Nous pouvons voir que le graphique de y=sin(x) a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1. Nous pouvons en conclure que la valeur de sin(x) ne peut être comprise qu'entre 1 et -1. Ainsi, si nous avons une équation où $\sin (x) = 1.4$ l'équation n'a pas de solution.
Les valeurs x augmentent par intervalles de 90 degrés etse répètent périodiquement sur un cycle de 360 degrés. En d'autres termes, tous les 360 degrés, nous remarquons que le graphique se répète.
À différents endroits, le graphique est symétrique. Par exemple, nous avons une symétrie par rapport à la ligne $x = 90 °$ . Cela nous sera utile plus tard pour trouver des solutions multiples aux équations trigonométriques.

Suppose que $\sin (x) = 1$ . En regardant le graphique, nous pouvons voir que $\sin (x) = 1$ à $x = - 270 °$ , $x = 90 °$ et $x = 450 °$ . Puisque le graphique de $\sin (x)$ continuera à osciller à l'infini, nous pourrions en conclure que l'équation $\sin (x) = 1$ a un nombre infini de solutions. Si une équation trigonométrique a une solution, elle aura un nombre infini de solutions et nous utiliserons plus tard la propriété de symétrie pour essayer de trouver de telles solutions.

Le nom officiel d'un graphique qui prend la forme d'un sinus est une onde sinusoïdale. Beaucoup de choses prennent naturellement la forme d'une onde sinusoïdale, par exemple le mouvement des planètes autour du soleil.

Le graphique de y=cos(x)

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Propriétés principales

Si tu n'as pas été très attentif dans la dernière section, tu peux penser que ce graphique est à peu près le même que celui de $\sin (x)$ . Cependant, si tu reviens en arrière et que tu joues à repérer les différences, tu remarqueras que le graphique de $\cos (x)$ est simplement le graphique de $\sin (x)$ décalé de 90 degrés vers la gauche.
De la même façon que $\sin (x)$ le graphique de $\cos (x)$ a également un maximum à $1$ un minimum à $- 1$ et une propriété de symétrie. Nous devons simplement nous rappeler que le graphique de $\cos (x)$ commence à $1$ alors que le graphique de $\sin (x)$ commence à $0$ .

Le graphique de y=tan(x)

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Propriétés principales

Le graphique de $\tan (x)$ est très différent de celui de $\cos (x)$ et $\sin (x)$ . Cependant, il est similaire en ce sens qu'il est périodique, et nous pouvons voir qu'il se répète tous les $180$ degrés.
Le graphique de $\tan (x)$ possède ce que l'on appelle des asymptotes, c'est-à-dire des points vers lesquels le graphique tend mais qu'il n'atteint jamais tout à fait. Elles sont représentées sur le graphique par des lignes en pointillés. Nous pouvons voir que la première asymptote positive apparaît à $x = 90 °$ et se répète ensuite tous les $180$ degrés.
Contrairement à $\cos (x)$ et $\sin (x)$ le graphique de $\tan (x)$ n'a pas de maximum ou de minimum de plus ou moins $1$ ; il a un maximum et un minimum de plus ou moins l'infini. Ainsi, l'équation $\tan (x) = 3.8$ peut être résolue pour obtenir un nombre infini de valeurs réelles pour x.

Graphiques des fonctions trigonométriques Méthodes

Trouver des solutions aux équations trigonométriques

Dans la section précédente, nous avons brièvement abordé le fait que si une équation trigonométrique a une solution, elle aura un nombre infini de solutions. Dans la section suivante, nous allons voir comment trouver des solutions multiples aux équations trigonométriques.

Comme les équations trigonométriques peuvent avoir un nombre infini de solutions, nous devons préciser une limite lorsque nous énonçons les réponses afin de ne pas passer un temps infini à trouver toutes les dernières solutions. Cette limite sera généralement exprimée sous la forme d'un intervalle, par exemple, $0 ° \leq x \leq 360 °$ ou $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ . Veille à tenir compte de cette limite lorsque tu réponds aux questions.

Exemples de graphiques de fonctions trigonométriques

Trouve les solutions de $\sin (x) = 0.9$ , pour l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Solution :

La première étape consiste à dessiner le graphique de $y = \sin (x)$ et $y = 0.9$ sur le même axe pour l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Graphiques de sin, cos et tan, Graphique montrant les solutions de sin(x)=0.9 , Jordan Madge Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de sin(x)=0,9, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Les points d'intersection ont été étiquetés en orange comme étant 1 et 2, ce sont les solutions dont nous cherchons à trouver les valeurs exactes.

La deuxième étape consiste à trouver la valeur exacte de la solution initiale. Pour ce faire, il suffit de taper $\sin^{- 1} (0.9)$ dans notre calculatrice. Nous obtenons alors $x = 64.2 °$ . Il s'agit clairement de la première solution indiquée sur le diagramme puisqu'elle se trouve entre $0 °$ et $90 °$ .

Il est important de noter que ta calculatrice doit être en mode degré pour calculer les valeurs trigonométriques puisque nous travaillons en degrés. Si ta calculatrice est en mode radian, la réponse peut varier et tu peux donc obtenir une réponse incorrecte. Tu sais que ta calculatrice est en mode degré lorsqu'un petit D apparaît en haut de l'écran. Si tu vois un R ou toute autre lettre, c'est qu'elle n'est pas dans le bon mode et qu'il faut la changer.

L'étape suivante consiste à trouver l'autre solution en utilisant la propriété symétrique du graphique de sin(x). Si nous le remarquons, le graphique est symétrique à propos id="5307063" role="math" $x = 90 °$ . Nous pouvons donc trouver la deuxième solution en calculant la distance entre $64.2 °$ et $90 °$ et en ajoutant cette valeur à $90 °$ . Ceci peut être illustré dans le diagramme ci-dessous :

Puisque la distance entre $64.2 °$ et $90 °$ est $25.8 °$ la deuxième solution est id="5307064" role="math" $90 + 25.8 = 115.8 °$ . Par conséquent, les deux solutions de l'équation $\sin (x) = 0.9$ dans l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ sont id="5307065" role="math" $x = 64.2 °$ et id="5307066" role="math" $x = 115.8 °$ .

Trouve les solutions de $\cos (x) = - 0.2$ pour l'intervalle $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ .

Solution :

La première étape consiste à dessiner les graphiques de $y = \cos (x)$ et id="5307067" role="math" $y = - 0.2$ sur les mêmes axes pour l'intervalle $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ afin que nous puissions voir les solutions que nous essayons de trouver.

Graphiques de sin, cos et tan, Graphique montrant les solutions de cos(x)=-0.2 , Jordan Madge Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de cos(x)=-0,2, Jordan Madge- StudySmarter Originals

L'étape suivante consiste à trouver la solution initiale en tapant $\cos^{- 1} (- 0.2)$ dans notre calculatrice. Nous obtenons id="5307068" role="math" $x = 101.5 °$ . Il est clair qu'il s'agit de la solution étiquetée 2 sur le diagramme, puisqu'elle est un peu plus grande que id="5307073" role="math" $90 °$ mais moins que id="5307074" role="math" $180 °$ .

Nous devons maintenant trouver l'autre solution représentée sur le diagramme. Puisque le graphique de $\cos (x)$ est symétrique par rapport à la droite $x = 0$ nous pouvons voir que l'autre solution doit se trouver à id="5307069" role="math" $x = - 101.5 °$ . Ainsi, les deux solutions de id="5307070" role="math" $\cos (x) = - 0.2$ dans l'intervalle $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ sont id="5307072" role="math" $x = 101.5 °$ et id="5307071" role="math" $x = - 101.5 °$ .

Trouve les solutions de $\tan (x) = 2.3$ pour l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Solution :

La première étape, comme d'habitude, consiste à esquisser les graphiques $y = \tan (x)$ et id="5307075" role="math" $y = 2.3$ sur les mêmes axes pour l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ .

Graphiques de sin, cos et tan, Graphique montrant les solutions de tan(x)=2.3 , Jordan Madge Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de tan(x)=2,3, Jordan Madge- StudySmarter Originals

Nous pouvons voir qu'il y a deux points d'intersection et donc deux solutions à $\tan (x) = 2.3$ . La première solution peut être trouvée en tapant id="5307076" role="math" $\tan^{- 1} (2.3)$ dans notre calculatrice. Nous obtenons ainsi id="5307077" role="math" $x = 66.5 °$ Il s'agit clairement de la première solution puisqu'elle se trouve entre $0$ et $90$ degrés.

Le graphique de $\tan (x)$ se répète périodiquement après $180$ degrés. Par conséquent, nous pouvons trouver la solution suivante en ajoutant des multiplications de 180 à la solution initiale. La deuxième solution se trouve donc à id="5307080" role="math" $180 + 66.5 = 246.5 °$ . Par conséquent, les deux solutions de $\tan (x) = 2.3$ dans l'intervalle $0 ° \leq x \leq 360 °$ sont id="5307078" role="math" $x = 66.5 °$ et id="5307079" role="math" $x = 246.5 °$ .

Les solutions à toutes les équations impliquant tan(x) peuvent être trouvées en ajoutant des multiples de 180 à la solution initiale.

Trouve les solutions de $4 \tan (x) = 3$ pour l'intervalle $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ .

Solution :

Nous ne pouvons pas résoudre cette équation sous sa forme actuelle. Nous devons d'abord diviser les deux côtés par $4$ pour obtenir $\tan (x)$ par lui-même. Nous obtenons $\tan (x) = \frac{3}{4}$ . Maintenant, nous pouvons trouver la première solution de l'équation en prenant l'inverse du tan des deux côtés pour obtenir $x = \tan^{- 1} (\frac{3}{4}) = 36.9 °$ .

Puisqu'il s'agit de tan, nous savons que les solutions peuvent être trouvées en ajoutant ou en soustrayant des multiples de $180 °$ à la solution initiale. Ainsi, la solution suivante sera à $36.9 + 180 = 216.9$ Cependant, cette valeur est en dehors de l'intervalle. Nous pouvons obtenir une autre solution en soustrayant $180 °$ de $36.9 °$ pour obtenir $- 143.1 °$ qui se trouve dans la plage. En soustrayant encore $180^{°}$ donnera une solution hors de l'intervalle, donc les deux solutions à $4 \tan (x) = 3$ dans l'intervalle $- 180 ° \leq x \leq 180 °$ sont $x = 36.9 °$ et $x = - 143.1 °$ .

Graphiques des fonctions trigonométriques - Points clés à retenir

Il y a trois graphiques qui nous intéressent lorsque nous étudions les graphiques des fonctions trigonométriques : les graphiques de sin(x), cos(x) et tan(x).
Les graphiques de sin(x) et cos(x) ont une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1, le graphique de tan(x) a un maximum et un minimum de plus ou moins l'infini.
Le graphique de cos(x) est simplement le graphique de sin(x) décalé de 90 degrés vers la gauche.
Les graphiques de sin(x) et de cos(x) ont des propriétés de symétrie qui nous permettent de trouver des solutions multiples lorsque nous résolvons des équations.
Pour les équations impliquant tan(x), nous pouvons obtenir chaque solution en ajoutant des multiples de 180 à chaque solution.

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Questions fréquemment posées en Graphiques des fonctions trigonométriques

Qu'est-ce qu'un graphique de fonction trigonométrique ?

Un graphique de fonction trigonométrique est une représentation visuelle des fonctions comme le sinus, le cosinus et la tangente, montrant comment les valeurs varient en fonction d'un angle.

Comment tracer un graphique de fonction sinus ?

Pour tracer un graphique de fonction sinus, dessinez une courbe ondulée qui commence à zéro, monte à 1, descend à -1, et revient à zéro, répétant ce motif sur l'axe x.

Quelle est la période des fonctions trigonométriques ?

La période des fonctions trigonométriques comme le sinus et le cosinus est de 2π, ce qui signifie que leurs valeurs se répètent tous les 2π radians.

Comment décaler un graphique trigonométrique horizontalement ?

Pour décaler un graphique trigonométrique horizontalement, ajoutez ou soustrayez une constante à l'angle. Par exemple, f(x) = sin(x + c) déplace le graphique vers la gauche de c unités.

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