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Exemple de trajectoire d'un ballon
La balle commence son voyage à partir du point A où elle monte une colline. Elle atteint ensuite le sommet de la colline et roule jusqu'au point B où elle rencontre une tranchée. Au pied de la tranchée, la balle continue finalement à monter à nouveau jusqu'au point C.
Maintenant, observe la courbe réalisée par le mouvement de cette balle. Ne te rappelle-t-elle pas le graphique d'une fonction cubique ? C'est bien cela ! Dans cette leçon, nous te présenterons les fonctions cubiques et les méthodes permettant de les représenter graphiquement.
Définition d'une fonction cubique
Pour commencer, nous allons nous pencher sur la définition d'une fonction cubique.
Unefonction cubique est une fonction polynomiale de degré trois. En d'autres termes, la puissance la plus élevée de \(x\) est \(x^3\).
La forme standard s'écrit comme suit
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\]
où \N(a,\Nb,\Nc\N) et \N(d\N) sont des constantes et \N(a ≠ 0\N).
Voici quelques exemples de fonctions cubiques.
Voici quelques exemples de fonctions cubiques
\N- [f(x)=x^3-2,\N]
\[g(x)=-2x^3+3x^2-4x,\]
\[h(x)=\frac{1}{2}x^3+4x-1.\]
Remarque que toutes ces fonctions ont \N(x^3) comme puissance la plus élevée.
Comme beaucoup d'autres fonctions que tu as étudiées jusqu'à présent, une fonction cubique mérite aussi son propre graphique.
Ungraphique cubique est une représentation graphique d'une fonction cubique.
Avant ce sujet, tu as vu des graphiques de fonctions quadratiques. Rappelle-toi qu'il s'agit de fonctions de degré deux (c'est-à-dire que la puissance la plus élevée de \(x\N) est \N(x^2\N)). Nous avons appris que ces fonctions créent une courbe en forme de cloche appelée parabole et produisent au moins deux racines.
Qu'en est-il du graphique cubique ? Dans la section suivante, nous allons comparer les graphiques cubiques aux graphiques quadratiques.
Graphiques cubiques et graphiques quadratiques Caractéristiques
Avant de comparer ces graphes, il est important d'établir les définitions suivantes.
L'axe de symétrie d'une parabole (courbe) est une ligne verticale qui divise la parabole en deux moitiés congruentes (identiques).
Le point de symétrie d'une parabole est appelé le point central auquel
- la courbe se divise en deux parties égales (qui sont à égale distance du point central) ;
- les deux parties sont orientées dans des directions différentes.
Le tableau ci-dessous illustre les différences entre le graphique cubique et le graphique quadratique.
Propriété | Graphique quadratique | Graphique cubique |
Equation de base | \N- [y=x^2\N] | \N- [y=x^3\N] |
Graphique de base |
Graphique de base de la fonction quadratique L'axe de symétrie est autour de l'origine (0,0) |
Graphique de base d'une fonction cubique Le point de symétrie est autour de l'origine (0,0) |
Nombre de racines(par Théorème fondamental de l'algèbre) | 2 solutions | 3 solutions |
Domaine | Ensemble de tous les nombres réels | Ensemble de tous les nombres réels |
Domaine | Ensemble de tous les nombres réels | Ensemble de tous les nombres réels |
Type de fonction | Pair | Impair |
Axe de symétrie | Présent | Absent |
Point de symétrie | Absent | Présent |
Un: peut être une valeur maximale ou minimale, selon le coefficient de \(x^2\) | Zéro: cela indique que la racine a une multiplicité de trois (le graphique cubique de base n'a pas de points de retournement puisque la racine x = 0 a une multiplicité de trois, x3 = 0). | |
OU | ||
Deux: cela indique que la courbe a exactement une valeur minimale et une valeur maximale. |
Représentation graphique des fonctions cubiques
Nous allons maintenant nous initier à la représentation graphique des fonctions cubiques. Il existe trois méthodes à prendre en compte pour esquisser de telles fonctions, à savoir
Transformation ;
Factorisation ;
Construction d'une table de valeurs.
En gardant cela à l'esprit, examinons chaque technique en détail.
Transformation graphique d'une fonction cubique
En géométrie, une transformation est un terme utilisé pour décrire un changement de forme. De même, ce concept peut être appliqué au tracé des graphiques. En modifiant les coefficients ou les constantes d'une fonction cubique donnée, tu peux faire varier la forme de la courbe.
Revenons à notre graphique de fonction cubique de base, \(y=x^3\).
Graphique de base d'un polynôme cubique
Il y a trois façons de transformer ce graphique. Elles sont décrites dans le tableau ci-dessous.
Forme du polynôme cubique | Changement de valeur | Variations | Tracé du graphique |
\[y=\mathbf{a}x^3\] | La variation de \(a\) modifie la fonction cubique dans la direction y, c'est-à-dire que le coefficient de \(x^3\) affecte l'étirement vertical du graphique. |
Ce faisant, le graphique se rapproche de l'axe des y et la pente augmente.
|
Transformation : changement du coefficient a |
\N-[y=x^3+\mathbf{k}\N] | La variation de \(k \ ) déplace la fonction cubique vers le haut ou vers le bas de l'axe des y de \ (k\) unités. |
|
Transformation : changement de la constante k |
\[y=(x-\mathbf{h})^3\] | La variation de \ (h\) modifie la fonction cubique le long de l'axe des x de \ (h\) unités. |
|
Transformation : changement de la constante h |
Utilisons maintenant ce tableau comme clé pour résoudre les problèmes suivants.
Trace le graphique de
\N-[y=-4x^3-3.\N]
Solution
Étape 1 : Le coefficient de \(x^3\) est négatif et a un facteur de 4. Ainsi, nous nous attendons à ce que la fonction cubique de base soit inversée et plus raide par rapport à l'esquisse initiale.
Étape 1, exemple 1
Étape 2 : Le terme -3 indique que le graphique doit se déplacer de 5 unités vers le bas de l'axe \(y\). Ainsi, en prenant notre croquis de l'étape 1, nous obtenons le graphique de \(y=-4x^3-3\) comme :
Étape 2, exemple 1
Voici un autre exemple pratique.
Trace le graphique de
\N-[y=(x+5)^3+6.\N]
Solution
Étape 1 : Le terme \((x+5)^3\) indique que le graphique cubique de base se déplace de 5 unités vers la gauche de l'axe des x.
Étape 1, exemple 2
Étape 2 : Enfin, le terme +6 nous indique que le graphique doit se déplacer de 6 unités vers le haut de l'axe des y. Par conséquent, en reprenant notre croquis de l'étape 1, nous obtenons le graphique de \(y=(x+5)^3+6\) comme suit :
Étape 2, Exemple 2
Forme du sommet des fonctions cubiques
À partir de ces transformations, nous pouvons généraliser le changement des coefficients \(a, k\) et \(h\) par le polynôme cubique
\NY[y=a(x-h)^3+k.\N]
C'est ce qu'on appelle laforme vertex des fonctions cubiques. Rappelle-toi que cela ressemble à la forme du sommet des fonctions quadratiques. Remarque que la variation de \(a, k\) et de \(h\) suit le même concept dans ce cas. La seule différence est que la puissance de \((x - h)\) est 3 au lieu de 2 !
Factorisation
En algèbre, la factorisation est une technique utilisée pour simplifier les expressions longues. Nous pouvons adopter la même idée pour représenter graphiquement les fonctions cubiques.
Cette méthode comporte quatre étapes.
Étape 1 : Factorise la fonction cubique donnée.
Si l'équation se présente sous la forme \(y=(x-a)(x-b)(x-c)\), nous pouvons passer à l'étape suivante.
Étape 2 : Identifie les ordonnées \(x\) en mettant \(y=0\).
Étape 3: Identifie l'ordonnée à l'origine de \(y\) en réglant \(x=0\).
Étape 4 : Trace les points et esquisse la courbe.
Voici un exemple de travail illustrant cette approche.
La factorisation demande beaucoup d'entraînement. Il y a plusieurs façons de factoriser des fonctions cubiques données en remarquant simplement certains schémas. Pour te familiariser avec une telle pratique, passe en revue plusieurs exercices.
Trace le graphique de
\[y=(x+2)(x+1)(x-3).\]
Solution
Observe que la fonction donnée a été complètement factorisée. Nous pouvons donc sauter l'étape 1.
Étape 2: Trouver les ordonnées à l'origine
En fixant \N(y=0\N), nous obtenons \N((x+2)(x+1)(x-3)=0\N).
En résolvant ce problème, nous obtenons trois racines, à savoir
\N-[x=-2,\N-x=-1,\N-x=3]
Étape 3: Trouver l'ordonnée à l'origine
En branchant \N(x=0\N), nous obtenons
\[y=(0+2)(0+1)(0-3)=(2)(1)(-3)=-6\]
L'ordonnée à l'origine est donc \N(y=-6\N).
Étape 4: Esquisse du graphique
Comme nous avons maintenant identifié les ordonnées \N(x) et \N(y), nous pouvons les reporter sur le graphique et tracer une courbe pour relier ces points.
Graphique de l'exemple 3
Les points roses représentent les points d'intersection avec \(x).
Le point jaune représente l'ordonnée à l'origine.
Remarque que nous obtenons deux points d'inflexion pour ce graphique :
- une valeur maximale entre les racines \(x=-2\) et \(x=1\). Ce point est indiqué par le point vert .
- une valeur minimale entre les racines \(x=1\) et \(x=3\). Cette valeur est indiquée par le point bleu .
La valeur maximale est la plus grande valeur de \(y\) que prend le graphique. La valeur minimale est la plus petite valeur de \(y\N) que prend le graphique.
Jetons un coup d'œil à un autre exemple.
Trace le graphique de
\[y=(x+4)(x^2–2x+1).\]
Solution
Étape 1 : remarque que le terme \(x^2-2x+1\) peut être factorisé en un carré d'un binôme. Nous pouvons utiliser la formule ci-dessous pour factoriser les équations quadratiques de cette nature.
Un binôme est un polynôme à deux termes.
Le carré d'un binôme
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
En utilisant la formule ci-dessus, nous obtenons \((x-1)^2\).
Ainsi, le polynôme cubique donné devient
\N- y=(x+4)(x-1)^2\N]
Étape 2: En réglant \N(y=0\N), nous obtenons
\N-(x+4)(x-1)^2=0\N]
En résolvant ce problème, nous obtenons la racine unique \N(x=-4\N) et la racine répétée \N(x=1\N).
Note ici que \(x=1\) a une multiplicité de 2.
Étape 3 : En branchant \(x=0\), nous obtenons
\[y=(0+4)(0–1)^2=(4)(1)=4\]
L'ordonnée à l'origine est donc \N(y=4\N).
Étape 4 : En traçant ces points et en joignant la courbe, nous obtenons le graphique suivant.
Graphique de l'exemple 4
Les pointsroses représentent l'ordonnée à l'origine.
Le point bleu est l'autre ordonnée à l'origine, qui est aussi le point d'inflexion (voir ci-dessous pour plus de détails).
Le pointjaune représente l'ordonnée à l'origine.
Une fois de plus, nous obtenons deux points d'inflexion pour ce graphique :
- une valeur maximale entre les racines \(x=-4\) et \(x=1\). Ce point est indiqué par lepoint vert .
- une valeur minimale à \(x=1\). Cette valeur est indiquée par lepoint bleu .
Dans ce cas, comme nous avons une racine répétée à \(x=1\), la valeur minimale est connue sous le nom de point d'inflexion. Remarque qu'à partir de la gauche de \(x=1\), le graphique se déplace vers le bas, ce qui indique une pente négative, tandis qu'à partir de la droite de \(x=1\), le graphique se déplace vers le haut, ce qui indique une pente positive.
Un point d'inflexion est un point de la courbe où elle passe d'une pente ascendante à une pente descendante ou d'une pente descendante à une pente ascendante.
Construire un tableau de valeurs
Avant de commencer cette méthode de représentation graphique, nous allons présenter le principe de localisation.
Le principe de localisation
Supposons que \(y = f(x)\) représente une fonction polynomiale. Soit \N(a) et \N(b) deux nombres dans le domaine de \N(f) tels que \N(f(a) < 0\N) et \N(f(b) > 0\N). Alors la fonction a au moins un zéro réel entre \N(a) et \N(b).
Le principe de localisation nous aidera à déterminer les racines d'une fonction cubique donnée puisque nous ne factorisons pas explicitement l'expression. Pour cette technique, nous utiliserons les étapes suivantes.
Étape 1 : Évaluer \(f(x)\) pour un domaine de \(x\) valeurs et construire un tableau de valeurs (nous ne considérerons que les valeurs entières) ;
Étape 2: Localise les zéros de la fonction ;
Étape 3: Identifie les points maximum et minimum ;
Étape 4: Trace les points et esquisse la courbe.
Cette méthode de représentation graphique peut être quelque peu fastidieuse car nous devons évaluer la fonction pour plusieurs valeurs de \(x\). Cependant, cette technique peut être utile pour estimer le comportement du graphique à certains intervalles.
Note que dans cette méthode, il n'est pas nécessaire de résoudre complètement le polynôme cubique. Nous traçons simplement le graphique de l'expression à l'aide du tableau de valeurs construit. L'astuce consiste ici à calculer plusieurs points à partir d'une fonction cubique donnée et à les reporter sur un graphique que nous relierons ensuite pour former une courbe lisse et continue.
Trace le graphique de la fonction cubique
\[f(x)=2x^3+5x^2-1.\]
Solution
Étape 1 : Évaluons cette fonction entre le domaine \(x=-3\) et \(x=2\). En construisant la table des valeurs, nous obtenons la plage de valeurs suivante pour \(f(x)\).
| \(x\) | \N-(f(x)\N) |
| -3 | -10 |
| -2 | 3 |
| -1 | 2 |
| 0 | -1 |
| 1 | 6 |
| 2 | 35 |
Étape 2 : Remarque qu'entre \(x=-3\) et \(x=-2\), la valeur de \(f(x)\) change de signe. Le même changement de signe se produit entre \( x=-1\) et \(x=0\). Et de nouveau entre \ (x=0\) et \(x=1\).
Le principe de localisation indique qu'il y a un zéro entre ces deux paires de valeurs de \(x\).
Étape 3 : Nous observons d'abord l'intervalle entre \(x=-3\) et \(x=-1\). La valeur de \(f(x)\) à \ (x=-2\) semble être plus grande par rapport à ses points voisins. Cela indique que nous avons un maximum relatif.
De même, remarque que l'intervalle entre \(x=-1\) et \(x=1\) contient un minimum relatif puisque la valeur de \(f(x)\) à \(x=0\) est inférieure à celle des points environnants.
Nous utilisons ici le terme de maximum ou de minimum relatif car nous ne faisons que deviner l'emplacement du point maximum ou minimum à partir de notre tableau de valeurs.
Étape 4 : Maintenant que nous avons ces valeurs et que nous avons conclu le comportement de la fonction entre ce domaine de \(x\), nous pouvons esquisser le graphique comme indiqué ci-dessous.
Graphique de l'exemple 5
Les points roses représentent les points d'intersection avec \(x\).
Le point vert représente la valeur maximale.
Le point bleu représente la valeur minimale.
Exemples de graphiques de fonctions cubiques
Dans cette dernière section, nous allons passer en revue quelques exemples de travail supplémentaires impliquant les composants que nous avons appris tout au long des graphiques de fonctions cubiques.
Trace le graphique de
\N-[y=x^3-7x-6\N]
sachant que \(x=-1\) est une solution de ce polynôme cubique.
Solution
Étape 1 : En vertu du théorème des facteurs, si \N(x=-1\N) est une solution de cette équation, alors \N((x+1)\N) doit être un facteur. Ainsi, nous pouvons réécrire la fonction comme suit
\N[y=(x+1) (ax^2+bx+c)\N]
Note que dans la plupart des cas, il se peut que l'on ne nous donne aucune solution pour un polynôme cubique donné. Nous devons donc procéder par essais et erreurs pour trouver une valeur de \(x\) où le reste est nul après avoir résolu \(y\). Les valeurs courantes de \(x\) à essayer sont 1, -1, 2, -2, 3 et -3.
Pour trouver les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de l'équation quadratique \(ax^2+bx+c\), nous devons effectuer une division synthétique comme indiqué ci-dessous.
Division synthétique pour l'exemple 6
En regardant les trois premiers nombres de la dernière ligne, nous obtenons les coefficients de l'équation quadratique et donc, notre polynôme cubique donné devient
\N-[y=(x+1)(x^2-x-6)\N]
Nous pouvons factoriser l'expression \(x^2-x-6) en \N((x-3)(x+2)\N).
Ainsi, la forme factorisée complète de cette fonction est
\[y=(x+1)(x–3)(x+2)\]
Étape 2 : En fixant \(y=0\), nous obtenons
\[(x+1)(x–3)(x+2)=0\]
En résolvant ce problème, nous obtenons trois racines :
\N[x=-2,\Nx=-1,\Nx=3]\N]
Étape 3 : En branchant \(x=0\), nous obtenons
\[y = (0 + 1) (0 - 3) (0 + 2) = (1) (-3) (2) = -6\]
Ainsi, l'ordonnée à l'origine est \N(y = -6\N).
Étape 4 : Le graphique de ce polynôme cubique est représenté ci-dessous.
Graphique de l'exemple 6
Les points roses représentent les ordonnées à l'origine.
Le point jaune représente l'ordonnée à l'origine.
Une fois de plus, nous obtenons deux points d'inflexion pour ce graphique :
- une valeur maximale entre les racines \(x = -2\) et \(x = -1\). Ce point est indiqué par le point vert .
- une valeur minimale entre les racines \(x = -1\) et \(x = 3\). Cette valeur est indiquée par le point bleu .
Voici notre dernier exemple pour cette discussion.
Trace le graphique de
\[y=-(2x–1)(x^2–1).\]
Solution
Tout d'abord, remarque qu'il y a un signe négatif avant l'équation ci-dessus. Cela signifie que le graphique prendra la forme d'un graphique polynomial cubique inversé (standard). En d'autres termes, cette courbe s'ouvrira d'abord vers le haut, puis vers le bas.
Étape 1 : Nous remarquons tout d'abord que le binôme \((x^2-1)\) est un exemple de binôme carré parfait.
Nous pouvons utiliser la formule ci-dessous pour factoriser les équations quadratiques de cette nature.
Le binôme carré parfait
\[(a^2-b^2)^2=(a+b)(a-b)\]
En utilisant la formule ci-dessus, on obtient \((x+1)(x-1)\).
Ainsi, la forme factorisée complète de cette équation est
\N- y = - (2x - 1)(x + 1) (x - 1)\N]
Étape 2 : En fixant \(y=0\), nous obtenons
\[(2x-1)(x+1)(x-1)=0\]
En résolvant ce problème, nous obtenons trois racines :
\N[x=-1,\Nx=frac{1}{2},\Nx=1].
Étape 3 : En branchant \(x=0\), nous obtenons
\[y=-(2(0)-1)(0+1)(0-1)=-(-1)(1)(-1)=-1\]
L'ordonnée à l'origine est donc \N(y=-1\N).
Étape 4 : Le graphique de ce polynôme cubique donné est esquissé ci-dessous. Fais attention et n'oublie pas le signe négatif de notre équation initiale ! Le graphique du polynôme cubique est inversé ici.
Graphique de l'exemple 7
Les pointsroses représentent les points d'intersection de \(x\).
Le point jaune représente l'ordonnée à l'origine.
Dans ce cas, nous obtenons deux points d'inflexion pour ce graphique :
- une valeur minimale entre les racines \(x = -1\) et \(x=\frac{1}{2}\). Ce point est indiqué par lepointvert .
- une valeur maximale entre les racines \( x=\frac{1}{2}\) et \(x = 1\). Ceci est indiqué par le point bleu .
Graphiques de fonctions cubiques - Points clés à retenir
- Un graphique cubique a trois racines et deux points d'inflexion
- Esquisse par la transformation des graphes cubiques
Forme du polynôme cubique Description Changement de valeur y = ax3
La variation de a modifie la fonction cubique dans le sens des ordonnées. - Si a est grand (> 1), le graphique s'étire verticalement.
- Si a est petit (0 < a < 1), le graphique s'aplatit.
- Si a est négatif, le graphique s'inverse.
y = x3 + k
La variation de k déplace la fonction cubique vers le haut ou vers le bas de l'axe des ordonnées de k unités. - Si k est négatif, le graphique descend de k unités.
- Si k est positif, le graphique se déplace de k unités vers le haut.
y = (x - h)3
La variation de h modifie la fonction cubique le long de l'axe des x de h unités. - Si h est négatif, le graphique se déplace de h unités vers la gauche.
- Si h est positif, le graphique se déplace de h unités vers la droite.
- Graphique par factorisation de polynômes cubiques
- Factorise le polynôme cubique donné
- Identifie l'ordonnée à l'origine (x) en fixant l'ordonnée à l'origine (y = 0)
- Identifie l'ordonnée à l'origine en réglant \(x = 0\)
- Trace les points et esquisse la courbe
- Tracer en construisant un tableau de valeurs
- Évaluer \(f(x)\) pour un domaine de \(x\) valeurs et construire un tableau de valeurs
- Localise les zéros de la fonction
- Identifie les points maximum et minimum
- Trace les points et esquisse la courbe
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