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Utilisation des graphiques pour les relations algébriques
Tu peux utiliser le plan de coordonnées, que tu peux voir ci-dessous, pour représenter graphiquement n'importe quelle relation algébrique. Le plan de coordonnées comprend une ligne horizontale (axe des x) et une ligne verticale (axe des y), et il est divisé en quatre quadrants nommés à l'aide de chiffres romains (I, II, III et IV).
Les différents points d'un graphique ont des coordonnées écrites sous forme de paires ordonnées (paires de nombres entre parenthèses séparées par une virgule). Le premier nombre d'une paire ordonnée (x, y) représente la valeur de x, et le second représente la valeur de y pour un point donné. Par exemple, le point central où les axes x et y se rencontrent est appelé l'origine, et ses coordonnées sont (0, 0).
Les graphiques nous aident à analyser le comportement des variables et peuvent être utilisés pour faire des déductions à leur sujet et faciliter l'interprétation des données.
Plan de coordonnées
Tracé ou croquis
Lorsque tu fais des graphiques, tu peux soit les tracer, soit les esquisser. Pour le tracé, tu utilises normalement du papier millimétré et tu dresses un tableau de valeurs pour les coordonnées x et y et tu les reporte le plus précisément possible.
Si tu as l'équation y = x, tu peux tracer son graphique comme ceci :
Tracer un graphique
| x | y |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Lorsque tu fais un croquis, tu n'as pas besoin d'être aussi précis. Tu dois dessiner les axes x et y et esquisser la forme générale de la courbe, y compris les points où elle croise les axes x et y. Dans le cas d'un graphique linéaire, tu n'as besoin que de quelques points pour dessiner la ligne qui croise ces deux points. Lorsque tu esquisses le graphique de la ligne y = x, tu n'as besoin que d'un seul point supplémentaire, car tu sais que la ligne traverse l'origine (0, 0).
Esquisser un graphique
Quels sont les différents types de graphiques ?
Selon le type de fonction dont tu fais le graphique, tu obtiendras différentes formes caractéristiques pour leur courbe. Les principaux types de graphiques sont décrits ci-dessous.
Graphiques linéaires
Les graphiqueslinéaires sont constitués d'une ligne droite. Ils représentent le graphique des fonctions dont l'exposant le plus élevé de son équation est 1.
Pentes et ordonnées
Dans les graphiques linéaires, la pente est le taux de changement de la ligne dans la direction verticale. La pente peut être faible ou forte, selon sa valeur. Plus la valeur de la pente est grande, plus la ligne est raide, et plus la valeur de la pente est petite, moins la ligne est profonde. Tu dois aussi te rappeler que la pente d'une ligne horizontale est nulle et que la pente d'une ligne verticale est indéfinie.
Toute équation linéaire peut être représentée sous la forme de l'ordonnée à la pente, comme ceci :
\[y = m x + b]
x = variable indépendante
y = variable dépendante
m = pente (degré d'inclinaison de la ligne)
b = ordonnée à l'origine (coordonnée du point où la ligne traverse l'axe des y)
La pente peut être calculée à l'aide de la formule :
\(m = \frac{levée}{course}\)
\(m = \frac{\text{changement en y}}{\text{changement en x}} = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}\)
où \N((x_1, y_1)\N) et \N((x_2, y_2)\N) sont deux points quelconques de la ligne.
Si tu n'as pas l'équation du graphique de la droite, mais que tu peux identifier deux points sur la droite A = (2, 2) et B = (5, 5).
Calcul de la pente
Tu peux alors calculer la pente comme suit :
\(m = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5-2}{5-2} = \frac{3}{3} = 1\)
m = 1
Peu importe lequel tu choisis comme point 1 et point 2. La pente obtenue sera la même.
Si tu as l'équation linéaire \(y = mx + b\), tu n'as pas besoin de calculer la pente. Tu peux identifier dans l'équation la valeur de m, qui sera la pente de la ligne. De même, la valeur de b sera l'ordonnée à l'origine.
Pour l'équation \(y = 2x + 3\), m = 2 et b = 3.
La lecture des graphiques en ligne droite élargira tes connaissances sur ce sujet.
Graphiques quadratiques
Si la fonction que nous voulons représenter graphiquement est quadratique, généralement représentée par \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors la forme de y = f (x) sera une parabole.
Si le coefficient de \(x^2(a)\) est positif, la parabole sera à l'endroit.
Graphique quadratique avec coefficient positif
Si le coefficient de \(x^2(a)\) est négatif, alors la parabole sera à l'envers.
Graphique quadratique avec coefficient négatif
En plus d'identifier si la parabole sera à l'endroit ou à l'envers,pour esquisser un graphique quadratique , tu dois procéder comme suit :
Substitue x = 0 dans la fonction \(f(x) = ax^2 + bx +c\), pour obtenir la coordonnée y où la parabole croise l'axe des y, qui est égale à c.
Rends la fonction \(f(x) = ax^2 + bx +c\) égale à zéro, et trouve les racines de la fonction f(x). Les racines seront les coordonnées x où la parabole croise l'axe des x. Tu peux trouver les racines en factorisant, en complétant le carré ou en utilisant la formule quadratique.
Trouve le point d'inflexion de la parabole (minimum ou maximum), soit en complétant le carré, soit en utilisant la symétrie.
Si tu complètes le carré, le point d'inflexion sera (-p, q) si \(f(x) = a(x + p)^2 + q\) .
Si tu utilises la symétrie, la coordonnée x du point d'inflexion sera au milieu des deux racines trouvées à l'étape précédente (additionne-les puis divise-les par 2). Après cela, tu dois substituer la valeur résultante de x dans la fonction originale pour trouver la coordonnée y du point d'inflexion.
Dessine le graphique.
Esquisse le graphique de \(f(x) = x^2 + 3x +2\), et trouve les coordonnées de son point d'inflexion.
- Le coefficient de \(x^2 (a)\) est positif, donc la parabole sera à l'endroit, et elle aura un point minimum.
- Lorsque x = 0, y = 2, la parabole croise donc l'axe des y au point (0, 2).
- \N(x^2 + 3x +2 = 0\N) Trouve les racines de la fonction en la factorisant.
\N((x+1)(x+2) = 0\N)
Les racines sont x = -1 et x = -2
- Utilise la symétrie pour trouver le point d'inflexion :
\(x = \frac{-1 + (-2)}{2} = \frac{-3}{2}\)
\(y = \big(\frac{-3}{2} \big)^2 + 3\big(\frac{-3}{2} \big) + 2\)
Substitue x dans l'équation originale
\(y = \frac{9}{4} + \frac{-9}{2} + 2\)
\(y = \frac{-1}{4}\)
Le point minimum est \(\big( \frac{-3}{2} \frac{-1}{4}\big)\)
- Tu peux maintenant dessiner le graphique :
Dessiner un graphique quadratique
Graphiques cubiques
Si la fonction que tu es en train de représenter graphiquement est cubique, représentée de façon générique par \(f(x) = ax^3 + bx^2 +cx +d\), alors la forme de y = f (x) est illustrée ci-dessous si le coefficient de \(x^3(a)\) est positif.
Graphique cubique avec un coefficient positif
Si le coefficient de \(x^3(a)\) est négatif, alors la forme sera comme ceci :
Graphique cubique avec un coefficient négatif
Pour esquisser le graphique des fonctions cubiques, tu dois trouver les racines de la fonction.
Esquisse la courbe de \(y=(x+1)(x+2)(x+3)\) en montrant les points où ils croisent les axes de coordonnées.
- Lorsque y = 0,
\N-(x+1)(x+2)(x+3) = 0\N- (x+1)(x+2)(x+3) = 0\N)
Les racines sont \N(x = -1\N), \N(x = -2\N), et \N(x = -3\N).
Par conséquent, la courbe croise l'axe des x à (-1, 0), (-2, 0) et (-3, 0).
- Lorsque x = 0,
\(y = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\c)
La courbe croise l'axe des ordonnées à (0, 6)
- Esquisse le graphique :
Esquisser un graphique cubique
Graphiques quartiques
Si la fonction que tu es en train de représenter graphiquement est une quartique, représentée de façon générique par \(f(x) = ax^4 +bx^3 +cx^2+dx+e\), alors la forme de y = f (x) peut avoir différentes formes en fonction de ses racines. L'une des formes possibles, si le coefficient de \(x^4(a)\) est positif, est représentée ci-dessous.
Graphique quartique avec coefficient positif
Si le coefficient de (x^4(a)\) est négatif, sa courbe peut prendre la forme suivante :
Graphique quartique à coefficient négatif
Encore une fois, pour esquisser le graphique des fonctions quartiques, tu dois trouver les racines de la fonction.
Esquisse la courbe de \(y = x(x-1)(x+3)(x-2)\) en montrant les points où ils croisent les axes de coordonnées.
- Lorsque y = 0,
\N(x(x-1)(x+3)(x-2) = 0\N)
Les racines sont x = 0, x = 1, x = -3 et x = 2.
Par conséquent, la courbe croise l'axe des x à (0, 0), (1, 0), (-3, 0) et (2, 0).
- Lorsque x = 0, y = 0
La courbe croise l'axe des ordonnées à (0, 0).
- Esquisse le graphique :
Esquisser le graphique d'une quartique
Tu peux te référer à l'article sur les graphiques polynomiaux pour plus de détails et d'exemples sur les graphiques quadratiques, cubiques et quartiques.
Graphiques de la fonction module
La fonction module, également connue sous le nom de fonction valeur absolue, est représentée de façon générique. Le module d'un nombre x sera le même nombre mais positif. La forme typique d'une fonction de module est illustrée ci-dessous.
Graphique de la fonction module
Si tu as une expression à l'intérieur de la fonction module, calcule la valeur à l'intérieur, puis trouve la version positive du résultat.
Si tu as la fonction \(f(x) = |x-3| +1\) trouve \(f(-2))\)
\(f(-2) = |-2 -3| + 1 = |-5| +1 = 5+1 = 6\)
Pour dessiner le graphique de la fonction de module \(y = |ax+b\), tu dois dessiner \(y = ax+b\), et refléter la partie de la ligne qui va en dessous de l'axe des x dans l'axe des x.
Esquisse le graphique de \(y = |x-1|\) en montrant les points où ils croisent les axes de coordonnées.
En ignorant le module, tu dois dessiner le graphique de \(y = |x-1|\).
- Lorsque y = 0, x = 1
La ligne croise l'axe des x à (1, 0)
- Lorsque x = 0, y = -1
La ligne croise l'axe des y à (0, -1)
- Esquisse le graphique de \(y = |x-1|\) :
Esquisser le graphique d'une fonction de module
- Pour les valeurs négatives de y, réfléchis sur l'axe des x. Dans ce cas, (0, -1) devient (0, 1).
Esquisse du graphique d'une fonction de module
Lis la fonction de module pour en savoir plus sur ce type de graphique.
Graphiques réciproques
Les fonctions réciproques sont généralement représentées par \(y = \frac{a}{x}\), et \(y = \frac{a}{x^2}\). Pour dessiner ce type de graphique, tu dois tenir compte de ses asymptotes. Une asymptote est une ligne dont la courbe se rapproche beaucoup, mais qu'elle ne touche jamais. Le graphique des fonctions réciproques a des asymptotes à x = 0 et y = 0. La forme d'une fonction réciproque où \(a = 1\), \(y = \frac{1}{x}\), est illustrée ci-dessous.
Graphique réciproque avec un coefficient positif
La forme d'une fonction réciproque où \(a = 1\), \(y = \frac{1}{x^2}\), est la suivante.
Graphique réciproque au carré
Esquisse le graphique de \(y = \frac{4}{x}\)
Esquisse d'un graphique réciproque
Pour plus d'informations et d'exemples sur ce type de graphique, consulte la rubrique Graphiques réciproques.
Graphiques circulaires
Un autre type de graphique important que tu trouveras en géométrie des coordonnées est celui des cercles. Un cercle est un ensemble de points qui sont à la même distance d'un point fixe appelé centre. L'équation d'un cercle de centre (0, 0) et de rayon r est \(x^2 + y^2 = r^2\). Si le centre est (a, b), l'équation devient \N((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
Graphique du cercle
Écris l'équation du cercle de centre (6, 5) et de rayon 3, puis dessine son graphique.
\N- (x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2\N)
\N- (x-6)^2 + (y-5)^2 = 9\N- (x-6)^2 + (y-5)^2 = 9\N- (y-5)^2 = 9\N)
Esquisse d'un graphique circulaire
En savoir plus sur les mathématiques circulaires.
Graphiques - points clés à retenir
Les graphiques sont des représentations visuelles d'équations qui peuvent nous aider à comprendre la relation entre deux variables.
Lorsque tu fais un croquis, tu n'as pas besoin d'être aussi précis que lorsque tu fais un tracé ; tu dois dessiner les axes x et y et esquisser la forme générale de la courbe, y compris les points où elle croise les axes x et y.
La pente d'une ligne et l'ordonnée à l'origine peuvent être utilisées pour tracer une équation linéaire.
Pour esquisser des équations quadratiques, cubiques et quartiques, les racines de la fonction doivent être identifiées, ainsi que le point où la courbe croise l'axe des y.
Pour dessiner le graphique de la fonction de module \(y = |ax+b\), tu dois dessiner \(y = ax + b\), puis refléter la partie de la ligne qui se trouve sous l'axe des x dans l'axe des x.
Dans les graphiques de fonctions réciproques, une asymptote est une ligne dont la courbe se rapproche beaucoup, mais qu'elle ne touche jamais.
Un cercle est un ensemble de points qui se trouvent à la même distance d'un point fixe appelé centre.
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