Gradient et intercept: Maths, Algèbre

Sauter à un chapitre clé

Lesgradients et les intercepts sont les seules informations dont nous avons besoin pour tracer le graphique d'une droite et connaître ses propriétés. Explorons ce qu'ils sont dans cet article.

Signification du gradient et des ordonnées d'une droite

Signification du gradient d'une ligne

Supposons qu'un homme marche en haut d'une colline, et pour rester simple, la colline est droite dans sa trajectoire, sans bosses ni courbes.

Si l'homme parcourt 100 mètres dans le sens horizontal et se retrouve à 200 mètres au-dessus du sol, comment pouvons-nous mesurer l'inclinaison de la colline, c'est-à-dire son degré d'inclinaison ?

Gradient et intercepts, Un homme au sommet d'une colline, StudySmarter Un homme debout au sommet d'une colline, StudySmarter Originals

Pour être plus rigoureux, le degré d'inclinaison, en termes mathématiques, est connu sous le nom de Gradient de la colline.

Legradient d'une ligne droite est la mesure de sa pente, ou de son manque de rigueur.

Signification des ordonnées d'une droite

Une fonction linéaire de la forme $a x + b y + c = 0$ est représentée par une ligne droite qui s'étend à l'infini dans l'une ou l'autre direction. Par conséquent, en un point, elle coupe soit l'axe des y, soit l'axe des x, ou plus communément, les deux axes du plan de coordonnées.

Les coordonnées du point d'intersection d'une ligne droite avec l'un ou l'autre des axes sont appelées l'ordonnée à l'origine de cette ligne droite.

Types d'intersections d'une droite

Comme il y a deux axes dans le plan de coordonnées, une ligne droite peut avoir des intersections avec l'axe des x ou avec l'axe des y, ou avec les deux.

Les abscisses sont les points d'intersection d'une droite avec l'axe des abscisses.

Les ordonnées à l'origine sont les points où une ligne droite coupe l'axe des ordonnées.

Calcul et formule du gradient et des intercepts

Calcul et formule du gradient

La pente d'une ligne est le rapport entre le changement dans la direction des y et le changement dans la direction des x.

Pour mesurer la pente d'une colline, une façon intuitive est de savoir comment le changement dans la direction verticale est par rapport au changement dans une direction horizontale, ce qui est essentiellement ce que nous voulons savoir. Et c'est exactement ainsi que le gradient est défini mathématiquement.

En traduisant cette définition en une équation, où m représente le gradient, on obtient

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{f} - y_{i}}{x_{f} - x_{i}}$

où $y_{f}$ , $y_{i}$ représentent les coordonnées y finales et initiales, et $x_{f}, x_{i}$ désignent les coordonnées x finales et initiales.

Interprétation géométrique du gradient

En y regardant de près, on peut observer que la formule du gradient qui est égale au rapport entre la variation de y sur la variation de x, n'est rien d'autre que la tangente de l'angle formé entre la droite et l'axe des x positifs.

$m = \tan θ$

Si nous revenons à notre homme au sommet de la colline, nous pouvons calculer la pente de la colline à l'aide de notre formule,

$m = \frac{200 - 0}{100 - 0} = \frac{200}{100} = 2$

La pente de la colline est donc de 2.

Mais comment pouvons-nous trouver la pente d'une ligne si nous ne disposons que de l'équation de la ligne ? D'après la définition du gradient, nous rappelons que

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{f} - y_{i}}{x_{f} - x_{i}}$ .

Nous avons donc besoin des coordonnées de deux points quelconques de la droite pour calculer le gradient.

Mais il y a une infinité de coordonnées à choisir, et comment savoir lesquelles choisir ? Rappelle-toi que nous connaissons les coordonnées de deux points spécifiques de la ligne, les ordonnées x et y !

Nous pouvons donc choisir ces deux points comme étant $(x_{i}, y_{i}) = (\frac{- c}{a}, 0)$ et $(x_{f}, y_{f}) = (0, \frac{- c}{b})$ . Après substitution, nous obtenons ,

$m = \frac{\frac{- c}{b} - 0}{0 - (\frac{- c}{a})} = \frac{\frac{- c}{b}}{\frac{c}{a}} = \frac{- c}{b} \times \frac{a}{c} = \frac{- a}{b}$

Par conséquent, le gradient (ou la pente) d'une ligne donnée par $a x + b y + c = 0$ est $m = - \frac{a}{b}$ .

Rappelle-toi que slope et gradient ont la même signification dans le contexte d'une ligne droite.

Calcul des ordonnées

Nous considérons le graphique d'une droite interceptant les axes du plan de coordonnées.

Gradient et intercepts, Le graphique d'une fonction linéaire ax+by+c=0, StudySmarter Le graphique d'une fonction linéaire ax+by+c=0, StudySmarter Originals

Nous remarquons que, conformément à la définition, les intercepts sont formés sur les axes eux-mêmes.

L'ordonnée à l'origine se trouve sur l'axe des x et la coordonnée y est donc égale à 0 en ce point.

Pour calculer l'ordonnée à l'origine, mets y=0 et résous x.

Considérons une ligne droite, modélisée par l'équation linéaire, où a, b et c sont des constantes à valeurs réelles, a et b n'étant pas simultanément 0.

Pour trouver l'ordonnée à l'origine de cette droite, nous devons remplacer y par 0 puisque la coordonnée y s'évanouit en ce point. Nous obtenons donc

$a x + b (0) + c = 0 a x + c = 0 a x = - c x = - \frac{c}{a}$

Ainsi, l'ordonnée à l'origine de la droite $a x + b y + c = 0$ est $(- \frac{c}{a}, 0)$ .

Pour calculer l'ordonnée à l'origine, mets x=0 et résous le problème par y.

Pour trouver l'ordonnée à l'origine de la droite, nous devons remplacer x par 0, ce qui donne

$a (0) + b y + c = 0 b y + c = 0 b y = - c y = \frac{- c}{b}$

Ainsi, l'ordonnée à l'origine de la droite $a x + b y + c = 0$ est $(0, \frac{- c}{b})$ .

Exemples de gradients et d'ordonnées

Trouve l'ordonnée à l'origine et l'abscisse à l'origine de la droite d'équation $2 x + 4 y - 1 = 0$ .

Solution

En comparant l'équation donnée de la droite avec la forme générale : $a x + b y + c = 0$ ,

Nous obtenons $a = 2, b = 4, c = - 1$ .

Et nous savons que l'ordonnée à l'origine est donnée par

- \frac{c}{b} = - (\frac{- 1}{4})

= \frac{1}{4}

Par conséquent, l'ordonnée à l'origine se trouve à $(0, \frac{1}{4})$ .

De même, l'ordonnée à l'origine est donnée par

$- \frac{c}{a} = - (\frac{- 1}{2}) = \frac{1}{2}$ .

L'ordonnée à l'origine se situe donc à $(\frac{1}{2}, 0)$ .

Si nous devions tracer la droite, nous localiserions les ordonnées à l'origine et les ordonnées à l'origine, puis nous les relierions pour obtenir la droite souhaitée.

Gradient et Intercepts, Le tracé de la droite 2x+4y-1=0, StudySmarter Le tracé de la droite 2x+4y-1=0, StudySmarter Originals

Trouve le gradient de la droite d'équation $3 x - y + 1 = 0$ .

Solution

En comparant l'équation de la droite donnée à la forme générale $a x + b y + c = 0$ on obtient $a = 3, b = - 1, c = 1$ .

La pente ou le gradient de la ligne peut être calculé par ,

$m = \frac{- a}{b} = \frac{- 3}{- 1} = \frac{3}{1} = 3$

Ainsi, la pente de la ligne donnée est 3.

Le graphique de cette droite serait ,

Gradient et intercepts, Le graphique de la droite donnée par 3x-y+1=0, StudySmarter Le graphique de la ligne droite donnée par 3x-y+1=0, StudySmarter Originals

où A et B se trouvent aux points d'intersection x et y de la droite.

Rappelle-toi que les coordonnées de l'ordonnée à l'origine sont $(- \frac{c}{a}, 0)$ et pour l'ordonnée à l'origine $(0, \frac{- c}{b})$ .

Ainsi, l'ordonnée à l'origine de notre ligne $3 x - y + 1 = 0$ est $(- \frac{c}{a}, 0) = (- \frac{1}{3}, 0)$ et l'ordonnée à l'origine est $(0, - \frac{c}{b}) = (0, 1)$ .

Applications de la pente et de l'ordonnée à l'origine : Forme de la pente et de l'ordonnée à l'origine d'une ligne

Tout comme une ligne droite peut être exprimée de façon générale par la forme $a x + b y + c = 0$ nous pouvons aussi dériver une forme générale déterminée par la pente et l'ordonnée à l'origine de la ligne.

Si nous réarrangeons l'équation donnée pour obtenir y d'un côté de l'équation, nous obtenons

$b y = - a x - c$

$y = \frac{- a}{b} x - \frac{c}{b}$

où nous observons que $- \frac{a}{b}$ est la pente de la ligne, comme nous l'avons découvert dans la section précédente. Et nommons $- \frac{c}{b} = d$ où d est juste une autre constante renommée en termes de c et b. Rappelle que $- \frac{c}{b}$ est l'ordonnée à l'origine, qui sera ici d. Par conséquent, notre équation se réduit à

$y = \underset{s l o p e}{\underset{⏟}{m}} x + \underset{y - i n t e r c e p t}{\underset{⏟}{d}}$

Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite $3 x - 2 y + 1 = 0$ .

Solution

Pour comparer l'équation donnée de la droite avec la forme pente-intercept, nous devons la résoudre explicitement pour y, nous avons...

$2 y = 3 x + 1$

En divisant par 2, on obtient

$y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$

En comparant cette équation avec la forme standard $y = m x + d$ où m est la pente et d l'ordonnée à l'origine, nous obtenons $m = \frac{3}{2}, d = \frac{1}{2}$ .

La pente est donc $\frac{3}{2}$ et l'ordonnée à l'origine est $(0, \frac{1}{2})$ .

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous fixons y=0, et nous résolvons pour x, et dans ce cas, nous obtenons ,

$3 x + 1 = 0 3 x = - 1 x = - \frac{1}{3}$

et donc l'ordonnée à l'origine est $(\frac{- 1}{3}, 0)$ .

Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite $x + 2 y = 0$ .

Solution

En comparant l'équation donnée à la forme générale $a x + b y + c = 0$ on obtient $a = 1, b = 2, c = 0$ .

La forme de l'ordonnée à l'origine est donnée par $y = \frac{- a}{b} x - \frac{c}{b}$ , ce qui nous donne $y = - \frac{x}{2}$ .

La pente est donc $\frac{- 1}{2}$ et l'ordonnée à l'origine est (0,0).

Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous fixons y=0 et résolvons x. Ainsi, nous obtenons

$x = 0$

et l'ordonnée à l'origine est donc (0,0).

Gradient et ordonnées - Points clés à retenir

Les coordonnées non nulles du point où une droite coupe les deux axes sont appelées les ordonnées de cette droite.
Pour une droite donnée par $a x + b y + c = 0$ l'ordonnée à l'origine est donnée par $- \frac{c}{a}$ et l'ordonnée à l'origine par $- \frac{c}{b}$ .
Le gradient d'une ligne est une mesure de sa pente (ou de son manque de précision). Un autre terme pour désigner le gradient est la pente.
Le gradient d'une ligne droite est donné par $m = \tan θ = - \frac{a}{b}$ où $θ$ est l'angle que fait la ligne avec l'axe positif des x.
Une ligne droite peut également être exprimée sous la forme d'une pente et d'une ordonnée à l'origine, ce qui permet de déduire directement la pente et l'ordonnée à l'origine.

Apprends avec 0 fiches de Gradient et intercept dans l'application gratuite StudySmarter

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Gradient et intercept

Qu'est-ce qu'un gradient en mathématiques?

Le gradient est la pente de la droite qui représente la variation d'une variable par rapport à une autre dans un graphique.

Comment calculer le gradient d'une droite?

Pour calculer le gradient, divisez la différence des valeurs en y par la différence des valeurs en x (delta y / delta x).

Qu'est-ce qu'un intercept en mathématiques?

L'intercept est le point où la droite coupe l'axe des y, souvent noté b dans l'équation y = mx + b.

Comment déterminer l'intercept d'une droite?

Pour trouver l'intercept, il suffit de trouver la valeur de y lorsque x = 0 dans l'équation de la droite.

Sauvegarder l'explication

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

Temps de lecture: 10 minutes
Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Gradient et intercept

Équipe éditoriale StudySmarter