Fractions et facteurs: Maths, Concepts

Table des mateères

Nous pouvons utiliser les facteursa> pour nous aider à simplifier les fractionsa> dans leur forme la plus simple. Cet article explore les concepts clés des fractions et des facteurs ainsi que certaines applications.

Signification des fractions et des facteurs : Une introduction

Commençons par définir et introduire les concepts de fractions et de facteurs.

Composants d'une fraction : Numérateur et dénominateur.

Commençons par la définition d'une fraction.

La valeur numérique qui représente la partie de toute valeur ou chose entière est appelée fraction. Les fractions sont connues sous le nom de nombres rationnels (par la théorie des ensembles). En mathématiques, on dit que les nombres rationnels sont dans un ensemble. $ℚ .$

Les fractions peuvent être représentées par $\frac{a}{b}$ avec a comme numérateur et b comme dénominateur. En fait, le numérateur est divisé par le dénominateur.

Essayons de voir cela d'un point de vue plus visuel. Imagine une pizza avec 8 parts.

Fractions et facteurs tranches de pizza StudySmarter Pizza avec 8 tranches, pixabay.com

Si je prends 1 part de pizza, j'ai pris $\frac{1}{8}$ de la pizza. En effet, nous avons 1 pizza, et nous l'avons divisée en 8 parts. On voit donc que la part de pizza singulière (1) est le numérateur, et que le nombre total de parts (8) est le dénominateur.

On peut aussi considérer qu'une fraction est la division d'un numérateur par un dénominateur. Prenons un exemple pour voir ce qu'il en est.

J'ai une tarte avec 8 parts. Je veux la partager équitablement entre 4 personnes. Quelle fraction de la tarte chaque personne recevra-t-elle ?

Solution :

La tarte comporte 8 parts, et nous voulons la partager équitablement entre 4 personnes. Par conséquent, nous calculons que $8 \div 4 = 2 .$ Cela signifie que chaque personne reçoit 2 parts de tarte.

Si chaque personne reçoit 2 parts, cela signifie qu'elle reçoit $\frac{2}{8}$ de la tarte. C'est le nombre de parts que chaque personne reçoit (2) divisé par le nombre total de parts de la tarte (8), le numérateur étant divisé par le dénominateur.

Utilisation des facteurs pour les nombres entiers

Les nombres entiers sont également connus sous le nom de nombres entiers. En mathématiques, ils sont représentés par $ℤ .$ Tous les nombres entiers contiennent desfacteurs.

Lesfacteurs d'un nombre entier sont des nombres qui se divisent exactement par ce nombre entier.

Cela signifie que si tu fais une division longue, en divisant le nombre entier par son facteur, tu ne trouveras aucun reste.

Par exemple, 10 peut être divisé par 2 pour être égal à 5, $10 \div 2 = 5,$ ce qui signifie que 2 est un facteur de 10. De même, 10 peut être divisé par 5 pour être égal à 2, $10 \div 5 = 2,$ ce qui signifie que 5 est également un facteur de 10. Ainsi, 2 et 5 sont une paire de facteurs de 10.

Tous les entiers sont divisibles par 1, donc 1 est un facteur de tous les entiers. Le nombre entier lui-même est toujours aussi un facteur de lui-même, car lorsque tu divises un nombre par lui-même, tu obtiens 1. Comme ce processus ne laisse aucun reste, nous savons que le nombre est un facteur de lui-même.

Tous les nombres entiers sont divisibles par 1 et par eux-mêmes, et ont donc au moins deux facteurs. Les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers.

La seule exception au fait que tous les nombres entiers ont au moins deux facteurs est le nombre 1. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier puisqu'il est divisible par 1 et lui-même, mais comme 1 est lui-même, c'est le seul nombre à contenir un facteur.

Prenons un petit exemple.

Fais la liste de tous les facteurs du nombre 24.

Solution :

Par combien de nombres 24 est-il divisible ? Nous avons :

$24 \div 1 = 24, 24 \div 2 = 12, 24 \div 3 = 8, 24 \div 4 = 6, 24 \div 6 = 4, 24 \div 8 = 3, 24 \div 12 = 2, 24 \div 24 = 1$

À part les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24, tous les autres nombres, lorsqu'ils sont divisés par 24, ne donnent pas de nombres entiers. Cela signifie que nos facteurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

Les facteurs

Maintenant que nous comprenons les idées et les concepts de base des fractions et des facteurs, examinons de plus près les facteurs en particulier. Comprendre les facteurs nous aidera plus tard lorsque nous apprendrons les méthodes de simplification des fractions en leurs formes les plus simples et les plus petites.

Qu'est-ce qu'une décomposition en facteurs premiers ?

Une décomposition en facteurs premiers consiste simplement à analyser un nombre entier comme un produit de facteurs premiers. En d'autres termes, nous déterminons tous les facteurs premiers qui, une fois multipliés, donnent le nombre entier donné.

Un facteur premier est simplement un facteur d'un nombre entier qui est également un nombre premier. Nous pouvons trouver la décomposition en facteurs premiers en dessinant un arbre factoriel. Un arbre factoriel nous montre exactement comment nous pouvons décomposer un nombre entier en ses facteurs, puis décomposer encore ces facteurs jusqu'à ce que nous atteignions finalement les facteurs premiers.

Voyons un exemple visuel de cette méthode.

Dessine un arbre factoriel pour 100, et écris la décomposition en facteurs premiers de 100.

Solution :

Dans un premier temps, nous pouvons décomposer 100 en $50 \times 2$ qui ressemble à ceci :

Fractions et facteurs, exemple de factorisation des nombres premiers, StudySmarter Facteur premier de 100, StudySmarter Originals

Maintenant, nous pouvons arrêter de décomposer 2 en facteurs car c'est un facteur premier, ce qui signifie qu'il ne peut être divisé que par 1 et lui-même. Cependant, 50 n'est pas un facteur premier ; nous devons donc le décomposer davantage. Nous pouvons décomposer 50 en $25 \times 2$ . Nous pouvons l'ajouter à notre arbre factoriel comme suit :

Fractions et facteurs, exemple de factorisation des nombres premiers, StudySmarter Facteurs premiers de 50, StudySmarter Originals

Encore une fois, 2 est un facteur premier, donc nous ne le décomposons pas davantage. Cependant, nous pouvons décomposer 25 en $5 \times 5$ . Et nous pouvons l'ajouter à notre arbre factoriel comme ceci :

Fractions et facteurs, exemple de factorisation des nombres premiers, StudySmarter Arbre factoriel pour 100, StudySmarter Originals

Maintenant, comme 5 est premier, nous pouvons nous arrêter là, car nous ne pouvons plus décomposer aucun de ces nombres. Cela signifie que nous avons fini de dessiner notre arbre factoriel !

Lorsque nous écrivons la décomposition en facteurs premiers, nous pouvons entourer tous les facteurs que nous avons identifiés comme étant premiers afin de pouvoir nous y référer facilement.

Fractions et facteurs, exemple de factorisation des nombres premiers, StudySmarter Nombres premiers encerclés après la décomposition, StudySmarter Originals

Lorsque ces nombres sont multipliés les uns par les autres, ils donnent 100. Notre décomposition en facteurs premiers est donc la suivante

$2 \times 2 \times 5 \times 5$

Nous pouvons rendre cette décomposition plus agréable à l'aide d'indices : $2^{2} \times 5^{2}$ .

Qu'est-ce que le plus grand facteur commun ?

Le plus grand facteur commun (plus grand diviseur commun) est quelque chose que nous pouvons trouver lorsque nous utilisons la méthode de décomposition en facteurs premiers sur deux ou plusieurs nombres différents. Le plus grand diviseur commun est un nombre qui est un facteur de tous les nombres considérés. Plus précisément, il s'agit du plus grand diviseur possible.

Il existe une méthode pour y parvenir, que nous allons étudier à travers un exemple.

Trouve le plus grand diviseur commun de 100 et 120.

Solution :

ÉTAPE	EXEMPLE
ÉTAPE 1 : Trouve la décomposition en facteurs premiers des deux nombres.	La décomposition en facteurs premiers de 100, que nous connaissons d'après ce qui précède, est la suivante $2^{2} \times 5^{2} .$ Si nous utilisons un arbre factoriel pour trouver la décomposition en facteurs premiers de 120, nous obtenons ce qui suit : Arbre factoriel de 120, StudySmarter Originals Par conséquent, la décomposition en facteurs premiers du nombre 120 est la suivante $2^{3} \times 3 \times 5 .$
ÉTAPE 2 : Écris ces deux nombres en notation de puissance (donc s'il n'y a qu'un seul nombre, écris-le avec une puissance de 1).	$100 = 2^{2} \times 5^{2} 120 = 2^{3} \times 3^{1} \times 5^{1}$
ÉTAPE 3 : S'il manque un facteur à l'un des nombres dans la décomposition en facteurs premiers d'un autre nombre, écris ce facteur manquant à la puissance 0 dans la décomposition en facteurs premiers.	Il manque 3 à 100, alors nous inscrivons un 3 à la puissance 0 : $100 = 2^{2} \times 5^{2} \times 3^{0}$
ÉTAPE 4 : Compare les mêmes nombres de base et choisis celui dont la puissance est la plus faible.	Entre $5^{1}$ et $5^{2}$ Sélectionne $5^{1}$ Entre $2^{2}$ et $2^{3}$ sélectionner $2^{2}$ Entre $3^{0}$ et $3^{1}$ , sélectionne $3^{0}$
ÉTAPE 5 : Multiplie les nombres sélectionnés ensemble.	$2^{2} \times 3^{0} \times 5^{1} = 20$ Notre plus grand diviseur commun est donc 20.

Fractions

Nous avons appris que les fractions sont composées de numérateurs en haut et de dénominateurs en bas. Les fractions ont des valeurs entières dans leur numérateur et leur dénominateur, mais le dénominateur ne doit pas être nul. Lorsqu'une fraction a les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur, nous pouvons simplifier la forme de la fraction.

Comparer les fractions et les facteurs : Comment pouvons-nous utiliser les facteurs pour simplifier les fractions ?

Lorsque nous déterminons qu'une fraction peut être simplifiée, cela signifie que nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre pour obtenir une fraction plus simple ou plus petite. Cela n'est possible que si le numérateur et le dénominateur partagent un facteur.

Si nous prenons notre réponse précédente de $\frac{2}{8}$ 2 et 8 partagent le facteur 2. Par conséquent, si nous divisons 2 et 8 par 2, nous obtenons $2 \div 2 = 1, 8 \div 2 = 4 .$ Par conséquent, nous pouvons simplifier notre fraction en $\frac{1}{4}$ .

Parfois, dans les questions d'examen, on te demande de fournir ta réponse sous sa forme la plus simple. Cela signifie que tu dois simplifier la fraction avant de donner une réponse. Prenons des exemples.

Simplifie $\frac{56}{96} .$

Solution :

Tout d'abord, nous devons penser au facteur que 56 et 96 partagent. Ils partagent tous les deux le facteur 8. Par conséquent, il nous suffit de diviser chacun d'entre eux (le numérateur et le dénominateur) par 8.

$\Rightarrow \frac{56 \div 8}{96 \div 8} = \frac{7}{12}$

Cela signifie que notre nouvelle fraction simplifiée est $\frac{7}{12} .$

Simplifie $\frac{5}{65} .$

Solution : Ici, 5 et 65 partagent 5 comme facteur. Nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 5.

$\Rightarrow \frac{5 \div 5}{65 \div 5} = \frac{1}{13}$

La fraction simplifiée est donc $\frac{1}{13} .$

Les fractions et les facteurs sont importants dans de nombreuses situations. Lorsque nous apprenons d'autres sujets, nous constatons souvent que nous devons déterminer un facteur commun ou simplifier une fraction dans le cadre de la résolution d'un problème.

Règles dans les fractions

Il existe certaines règles qui s'appliquent lors de l'utilisation des opérations mathématiques de base sur les fractions. Nous verrons les règles dans les fractions pour les opérations suivantes :

Addition et soustraction
Multiplication
Division

Addition et soustraction

L'addition ou la soustraction de fractions s'effectue en fonction du type de dénominateur qu'elles ont. Nous devons vérifier si les dénominateurs des fractions données sont identiques ou différents. Voyons les étapes à suivre pour effectuer une addition ou une soustraction si le dénominateur est le même pour toutes les fractions.

Additionne/soustractionne les numérateurs et garde le dénominateur tel quel.
Réduis la fraction si possible.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$

Lorsque a, b et c sont des nombres entiers.

Lorsque les dénominateurs ne sont pas les mêmes, il faut suivre les étapes suivantes.

Fais en sorte que le dénominateur de toutes les fractions soit le même. Pour cela, tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction avec le dénominateur d'une autre fraction et vice versa.
Après avoir rendu le dénominateur identique, ajoute/soustrait les numérateurs sans changer le dénominateur.
Utilise simplement la fraction lorsque c'est possible.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} \pm \frac{c \times b}{d \times b}$

Multiplication

Lors de la multiplication des fractions, il n'est pas nécessaire que les dénominateurs soient les mêmes, contrairement à ce qui se passe pour l'addition/soustraction. Il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et de multiplier les dénominateurs entre eux. Réduis ensuite la fraction sous une forme simplifiée. N'oublie pas que les fractions ne doivent pas être des fractions mixtes. S'il s'agit d'une fraction mixte, il faut d'abord la convertir en fractions propres ou impropres.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

La division

Lorsque l'on divise les fractions, on les convertit sous forme de multiplication pour trouver la réponse. Pour les convertir sous forme de multiplication, il faut inverser la deuxième fraction (c'est-à-dire inverser le numérateur et le dénominateur) et remplacer le signe de division par le signe de multiplication. Tu peux maintenant effectuer les étapes de la multiplication comme d'habitude.

$\Rightarrow \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Exemple de fractions et de facteurs

Voyons quelques exemples résolus pour les fractions et les facteurs.

Trouve le plus grand facteur commun (FCC) de 48, 108 et 140.

Solution :

ÉTAPE	EXEMPLE
ÉTAPE 1 : Trouve la décomposition en facteurs premiers des trois nombres donnés.	La décomposition en facteurs premiers de 48 à l'aide de l'arbre factoriel est la suivante $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \times 3 = 2^{4} \times 3 .$ Arbre factoriel de 48, StudySmarter Originals De même, la décomposition en facteurs premiers de $108 = 2^{2} \times 3^{3}$ .La décomposition en facteurs premiers de 140 est $2^{2} \times 5 \times 7 .$
ÉTAPE 2 : Écris les trois nombres en notation de puissance.	$48 = 2^{4} \times 3^{1}, 108 = 2^{2} \times 3^{3}, 140 = 2^{2} \times 5^{1} \times 7^{1}$
ÉTAPE 3 : Écris le nombre manquant d'un facteur de la décomposition en facteurs premiers des autres nombres à la puissance 0.	$48 = 2^{4} \times 3^{1} \times 5^{0} \times 7^{0} 108 = 2^{2} \times 3^{3} \times 5^{0} \times 7^{0} 140 = 2^{2} \times 3^{0} \times 5^{1} \times 7^{1}$
ÉTAPE 4 : Compare les mêmes nombres de base et choisis celui dont la puissance est la plus faible.	À partir de $2^{2} a n d 2^{4}$ , sélectionne $2^{2}$ À partir de $3^{0}, 3^{1}, 3^{3}$ , sélectionne $3^{0}$ A partir de $5^{0}, 5^{1}$ sélectionner $5^{0}$ De $7^{0}, 7^{1}$ sélectionner $7^{0}$
ÉTAPE 5 : Multiplie les nombres sélectionnés.	$2^{2} \times 3^{0} \times 5^{0} \times 7^{0}$ Ainsi, l'HCF (ou le GCD) est de 4 pour les trois nombres donnés.

L'amie de Hailey habite à 25 miles de chez elle. Elle a déjà parcouru 11 miles. Représente la distance parcourue à l'aide d'une fraction.

Solution : La distance totale entre la maison de Hailey et celle de son amie est de 25 miles. Le dénominateur sera donc 25.

Hailey a parcouru 11 miles. Le numérateur sera donc 11.

Par conséquent, la distance parcourue en fractions sera la suivante $\frac{11}{25} .$

Résous les fractions suivantes.

$1) \frac{6}{7} + \frac{2}{7} 2) \frac{6}{7} - \frac{1}{3} 3) \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} 4) \frac{2}{3} \div \frac{1}{2}$

Solution:

1) $\frac{6}{7} + \frac{2}{7}$

Pour $\frac{6}{7}$ et $\frac{2}{7}$ , les deux fractions ont les mêmes dénominateurs. Nous pouvons donc effectuer l'addition sans changer le dénominateur. Ici, nous allons additionner le numérateur et garder le dénominateur tel quel.

$\Rightarrow \frac{6}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6 + 2}{7} = \frac{8}{7}$

2) $\frac{6}{7} - \frac{1}{3}$

Ici, les deux fractions $\frac{6}{7}, \frac{1}{3}$ ont des dénominateurs différents. Nous allons d'abord rendre leurs dénominateurs identiques, puis soustraire les fractions obtenues.

$\Rightarrow \frac{6}{7} - \frac{1}{3} = \frac{6 \times 3}{7 \times 3} - \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{18}{21} - \frac{7}{21} = \frac{18 - 7}{21} = \frac{11}{21}$

3) $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$

Pour la multiplication des fractions, nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$\Rightarrow \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{3}$

4) $\frac{2}{3} \div \frac{1}{2}$

Pour la division des fractions, nous retournons la deuxième fraction pour convertir l'expression en une expression de multiplication. Ensuite, nous pouvons multiplier les fractions pour obtenir notre réponse.

$\Rightarrow \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2 \times 2}{3 \times 1} = \frac{4}{3}$

Fractions et facteurs - Principaux enseignements

Le numérateur est la partie supérieure d'une fraction, tandis que le dénominateur est la partie inférieure.
Les facteurs sont des nombres par lesquels d'autres nombres se divisent exactement.
Les nombres qui n'ont que deux facteurs sont appelés nombres premiers.
La décomposition en facteurs premiers est utilisée pour nous aider à calculer les plus grands diviseurs communs.
Les fractions peuvent être simplifiées si le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun.

Fiches dans Fractions et facteurs 12

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Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit sous forme de fraction.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un nombre qui contient exactement 2 facteurs.

Quels sont les deux facteurs d'un nombre premier ?

Les deux facteurs d'un nombre premier sont 1 et le nombre lui-même.

Qu'est-ce que le plus grand diviseur commun ?

Le plus grand diviseur commun est un nombre qui est le plus grand facteur commun de deux nombres.

Qu'est-ce qu'un arbre à facteurs ?

Un arbre factoriel est un moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers.

Comment simplifier une fraction ?

Nous simplifions une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

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Questions fréquemment posées en Fractions et facteurs

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Une fraction représente une partie d'un tout, exprimée sous la forme a/b où a est le numérateur et b est le dénominateur.

Comment simplifier une fraction ?

Pour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Qu'est-ce qu'un facteur en mathématiques ?

Un facteur est un nombre qui divise un autre nombre sans laisser de reste. Par exemple, 3 est un facteur de 12.

Comment convertir une fraction en nombre décimal ?

Pour convertir une fraction en nombre décimal, divisez le numérateur par le dénominateur.

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