Fractions et Décimales: 'Tuto', 'Exercices'

Q: Qu'est-ce qu'une fraction en mathématiques ?

Une fraction représente une partie d'un tout et est notée comme a/b où 'a' est le numérateur et 'b' le dénominateur.

Q: Comment convertir une fraction en nombre décimal ?

Pour convertir une fraction en décimal, divisez le numérateur par le dénominateur. Par exemple, 1/4 = 0,25.

Q: Quelle est la différence entre une fraction et un nombre décimal ?

Une fraction exprime une partie d'un ensemble, tandis qu'un nombre décimal exprime la même valeur en base 10.

Q: Comment additionner des fractions ?

Pour additionner des fractions, rendez les dénominateurs égaux, puis ajoutez les numérateurs. Simplifiez si possible.

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Lesfractions et les décimales sont deux types de nombres rationnels très utiles que tu rencontreras fréquemment en mathématiques. Ils sont tous deux utilisés pour représenter des valeurs précises que nous ne pouvons pas obtenir en utilisant uniquement des nombres entiers.

Mais comment représenter une fraction sous forme de nombre décimal ? Sais-tu quelle est la relation entre les fractions et les nombres décimaux ?

Dans cet article, nous allons définir ce que sont les fractions et les décimales. Nous te montrerons comment convertir les fractions en décimales et vice-versa, et comment effectuer des opérations de base avec elles.

Signification des fractions et des décimales

Tout d'abord, définissons les concepts de fractions et de décimales.

Fractions

Les fractions sont des nombres qui représentent des parties d'un tout. Les fractions s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b \neq 0$ . Le nombre en haut de la fraction est appelé le numérateur, et le nombre en bas est appelé le dénominateur.

Le dénominateur représente le nombre de parties en lesquelles le tout est divisé, et le numérateur représente le nombre de ces parties que tu as sélectionnées. Voyons cela plus clairement à l'aide d'un exemple.

La fraction $\frac{1}{8}$ peut être représentée comme suit,

$Fractions et décimales, Graphique de la fraction 1/8, StudySmarter$ Représentation graphique de la fraction 1/8, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Fractions et décimales Un huitième StudySmarter

Représentons encore quelques fractions.

Représente les fractions $\frac{3}{8}, \frac{5}{8},$ et $\frac{8}{8}$ .

$Fractions et décimales Graphique de la fraction 3/8 StudySmarter$ Représentation graphique de la fraction 3/8, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

$= \frac{3}{8}$

$Fractions et décimales Graphique de la fraction 5/8 StudySmarter$ Représentation graphique de la fraction 5/8, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

$= \frac{5}{8}$

$Fractions et décimales Graphique de la fraction 8/8 StudySmarter$ Représentation graphique de la fraction 8/8, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

$= \frac{8}{8} = 1$

Toutes les fractions qui ont le même nombre au numérateur et au dénominateur seront égales à un.

Décimales

Les nombresdécimaux sont des nombres dont la virgule sépare la partie entière de la partie fractionnaire du nombre.

Pour pouvoir comprendre le fonctionnement des nombres décimaux, il est important de saisir le concept de valeur de place. Chaque place se comporte comme un emplacement qui ne peut contenir qu'un seul chiffre. Dans l'exemple ci-dessous, tu peux voir ce que chaque place représente.

Le nombre décimal 342,87 peut être représenté comme suit :

Fractions et décimales, Valeurs de place, StudySmarter Valeurs de place d'un nombre décimal, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Relation entre les fractions et les nombres décimaux

Lesfractions et les nombres décimaux sont étroitement liés car ils représentent tous deux des nombres rationnels et tu peux convertir l'un en l'autre. Les fractions sont écrites sous la forme d'un problème de division. Lorsque nous divisons le numérateur par le dénominateur, nous obtenons la valeur de la fraction, qui est normalement un nombre rationnel qui peut être un entier ou un décimal, selon que le numérateur peut être exactement divisé par le dénominateur ou non.

Une autre relation importante entre les fractions et les décimales qu'il est utile de se rappeler est la suivante :

Dans une fraction $\frac{a}{b}$ si le numérateur est plus grand que le dénominateur $(a > b)$ alors la valeur de la fraction sera supérieure à 1.

a) $\frac{5}{2} = 2.5$

b) $\frac{25}{8} = 3.125$

c) $\frac{35}{4} = 8.75$

Si le numérateur est inférieur au dénominateur $(a < b)$ , alors la valeur des fractions sera inférieure à 1.

a) $\frac{1}{2} = 0.5$

b) $\frac{3}{20} = 0.15$

c) $\frac{4}{25} = 0.16$

Importance des fractions et des décimales

Les fractions et les décimales sont essentielles lorsque des valeurs précises sont nécessaires. Par exemple, elles sont nécessaires lorsque nous mesurons la taille et la longueur, mais aussi lorsque nous traitons de l'argent pour calculer les paiements hypothécaires, les salaires, les impôts et le coût de nos achats hebdomadaires. Les fractions et les décimales sont également utilisées dans de nombreux domaines qui nécessitent des calculs précis comme l'ingénierie, la science, l'architecture et l'économie, entre autres.

Conversion des fractions et des décimales

Tu peux convertir des fractions en décimales, et vice-versa. Voyons comment procéder dans chaque cas.

Conversion de fractions en décimales

Convertir des fractions en nombres décimaux est assez simple - il te suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Tu peux le faire facilement à l'aide d'une calculatrice ou utiliser la méthode de la division longue lorsque tu travailles à la main.

\frac{1}{8}

Lorsque tu divises le numérateur par le dénominateur, tu peux obtenir des nombres avec desdécimales sans terminaison qui se répètent dans un schéma. Par exemple, $\frac{4}{9} = 0.444444 . . .$ Dans ce cas, tu peux utiliser la notation en barres pour représenter ce type de nombre décimal. Par exemple, $\frac{1}{9} = 0.111111 . . . = 0 . \bar{1}$ la barre au-dessus de la décimale 1 signifie qu'elle se répète indéfiniment.

Voyons quelques autres exemples de répétition de décimales,

a) $\frac{1}{3} = 0.3333333333 . . .$ nous pouvons donc l'écrire sous la forme $0 . \bar{3}$

b) $\frac{5}{11} = 0.4545454545 . . .$ dans ce cas, nous avons deux nombres qui se répètent, donc la barre doit couvrir les deux décimales : $0 . \bar{45}$

c) $\frac{7}{27} = 0.259259259 . . .$ dans cet exemple, nous avons trois décimales qui se répètent, donc la barre couvre les trois décimales qui se répètent : $0 . \bar{259}$

Les nombres mélangés en décimales

Rappelons le concept des nombres mixtes.

Les nombres mixtes sont des nombres composés de deux parties, un nombre entier et une fraction propre. Par exemple, dans le nombre mixte $5 \frac{1}{3}$ , $5$ représente la partie entière, et $\frac{1}{3}$ est la fraction appropriée.

Une fraction propre est une fraction $\frac{a}{b}$ où le nombre au numérateur $a$ est plus petit que le nombre au dénominateur $b$ .

Que se passe-t-il si tu as un nombre mixte ? Peux-tu aussi le convertir en décimal ? La réponse est oui.

Pour convertir des nombres mixtes en décimales, tu dois te rappeler que les nombres mixtes représentent la somme d'un nombre entier et d'une fraction,

Ecris le nombre mixte comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction.
Convertis la fraction en un nombre décimal.
Ajoute le nombre entier au nombre décimal calculé à l'étape précédente.

Ecris le nombre mixte $5 \frac{1}{4}$ sous forme décimale.

5 \frac{1}{4} = 5 + \frac{1}{4} = 5 + 0.25 = 5.25

Ecris le nombre mixte comme la somme du nombre entier et de la fraction.

Convertis la fraction en un nombre décimal.

Additionne le nombre entier et le nombre décimal.

Le nombre mixte $5 \frac{1}{4}$ est équivalent au nombre décimal $5.25$ .

Conversion des nombres décimaux en fractions

Pour convertir des nombres décimaux en fractions, tu peux suivre les étapes suivantes.

Écris le nombre décimal en omettant la virgule. Ce sera le numérateur de la fraction.
Le dénominateur sera un nombre en base 10 avec autant de zéros que le nombre de décimales du nombre décimal original.
Simplifie la fraction obtenue sous sa forme la plus simple.

a) Écris le nombre décimal 4,50 sous forme de fraction.

450 sera le numérateur.

4,50 a deux décimales, le dénominateur sera donc 100.

La fraction obtenue est $\frac{450}{100}$ .

Nous devons maintenant simplifier la fraction sous sa forme la plus simple,

$\frac{450}{100} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$

Le nombre décimal 4,50 est égal à la fraction $\frac{9}{2}$ .

b) Écris le nombre décimal 1,8 sous forme de fraction.

18 sera le numérateur.

1,8 a une décimale, le dénominateur sera donc 10.

La fraction obtenue est $\frac{18}{10}$ .

Nous allons maintenant simplifier la fraction sous sa forme la plus simple,

$\frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

Le nombre décimal 1,8 est égal à la fraction $\frac{9}{5}$ .

c) Écris le nombre décimal 4,225 sous forme de fraction.

4225 sera le numérateur.

4,225 a trois décimales, donc dans ce cas, le dénominateur est 1000.

La fraction obtenue est $\frac{4225}{1000}$

Simplifie la fraction sous sa forme la plus simple,

$\frac{4225}{1000} = \frac{169}{40}$

Le nombre décimal 4,225 est égal à la fraction $\frac{169}{40}$ .

Comment simplifier les fractions et les décimales ?

Dans les exemples précédents, nous avons simplifié la fraction en sa forme la plus simple. Qu'est-ce que cela signifie exactement ?

Une fraction est sous sa forme la plus simple si son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autres facteurs communs que 1. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être plus petits, ils ne peuvent être divisés que par 1, tout en restant des nombres entiers.

Expliquons plus en détail comment y parvenir. Le processus de simplification des fractions est le suivant.

Divise le numérateur et le dénominateur par le plus grand nombre qui les divise exactement. Le résultat des deux divisions doit être un nombre entier.
Répète l'étape 1 jusqu'à ce que la fraction soit sous sa forme la plus simple.

Simplifie la fraction $\frac{120}{48}$ en sa forme la plus simple.

$\frac{120}{48} = \frac{15}{6}$ Divise le numérateur et le dénominateur par 8, car 120 et 48 sont tous deux divisibles par 8.

$= \frac{5}{2}$ Divise le numérateur et le dénominateur par 3.

La fraction obtenue $\frac{5}{2}$ est sous sa forme la plus simple, car son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autres facteurs communs que 1.

Un autre cas particulier que tu peux rencontrer est celui d'une fraction qui contient un nombre décimal comme numérateur ou dénominateur, dans ce cas, tu peux la simplifier comme suit.

Convertis le nombre décimal en fraction. Tu obtiendras ainsi une fraction en une fraction.
Divise le numérateur par le dénominateur, ce qui, dans ce cas, revient à multiplier le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Simplifie la fraction obtenue sous sa forme la plus simple.

Simplifie la fraction $\frac{0.8}{2}$

$\frac{0.8}{2} = \frac{\frac{8}{10}}{2} \frac{8}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Convertit la décimale en fraction.

Multiplie le numérateur par la réciproque du dénominateur (la réciproque de 2 est $\frac{1}{2}$ ).

Simplifie la fraction sous sa forme la plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par 4, puisque 8 et 20 sont tous deux divisibles par 4.

Addition et soustraction de décimales et de fractions

Pour additionner et soustraire des nombres décimaux et des fractions, tu peux procéder de deux manières différentes,

En utilisant lesdécimales : convertis la fraction en un nombre décimal, puis additionne ou soustrais les nombres décimaux ensemble.
Enutilisant des fractions : convertis le nombre décimal en une fraction, puis additionne ou soustrais les fractions ensemble. Ensuite, simplifie la fraction obtenue sous sa forme la plus simple.

a) Additionne $\frac{1}{4} + 1.25$

En utilisant des décimales,

$\frac{1}{4} + 1.25 = 0.25 + 1.25 = 1.5$

En utilisant des fractions,

$\frac{1}{4} + 1.25 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4}$ 1,25 converti en fraction est égal à $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$ .

= \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

b) Soustrais $\frac{3}{4} - 0.25$ .

En utilisant des décimales,

$\frac{3}{4} - 0.25 = 0.75 - 0.25 = 0.5$ .

En utilisant des fractions,

$\frac{3}{4} - 0.25 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ 0,25 converti en fraction est égal à $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ .

$= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ Simplifie la fraction sous sa forme la plus simple.

Comment multiplier les décimales et les fractions ?

Pour multiplier des nombres décimaux et des fractions, tu peux suivre les deux mêmes méthodes que celles que tu utilises pour les additionner et les soustraire.

En utilisant desdécimales : convertis la fraction en un nombre décimal, puis multiplie les nombres décimaux ensemble.
En utilisant desfractions : convertis le nombre décimal en une fraction, puis multiplie les numérateurs et les dénominateurs des fractions ensemble. Ensuite, simplifie la fraction obtenue sous sa forme la plus simple.

Multiplier $\frac{3}{2} \cdot 0.25$

1. Utiliser les décimales,

$\frac{3}{2} \cdot 0.25 = 1.5 \cdot 0.25$ Convertir la fraction en décimale $(\frac{3}{2} = 1.5)$

Tu peux ensuite utiliser une calculatrice pour multiplier $1.5 \cdot 0.25$ ou le calculer à la main, comme suit,

Multiplie comme tu le ferais normalement, mais ignore les décimales.

15 \times 25 75 + 30 375

Pour déterminer le nombre de décimales de la réponse, tu dois additionner les décimales des deux nombres multipliés.

1,5 a 1 décimale et 0,25 en a 2. La réponse aura donc 3 décimales :

\frac{3}{2} \cdot 0.25 = 0.375

2. Utiliser des fractions:

$\frac{3}{2} \cdot 0.25 = \frac{3}{2} . \frac{1}{4}$ Convertis le nombre décimal en fraction.

$= \frac{3}{8}$ Multiplie les numérateurs et les dénominateurs des fractions.

La fraction est déjà sous sa forme la plus simple, puisque 3 et 8 n'ont pas de diviseur commun, à part 1.

Résoudre des équations linéaires avec des fractions et des décimales

Pour résoudre des équations linéaires avec des fractions et des décimales, tu peux suivre les mêmes règles que celles que tu utilises pour résoudre des équations avec des nombres entiers.

Voici quelques exemples.

a) Résoudre $3.2 = x - 1.5$

$3.2 = x - 1.5$

$3.2 + 1.5 = x - 1.5 + 1.5$ Ajoute 1,5 aux deux côtés de l'équation pour isoler x

$x = 4.7$

b) Résoudre $x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

$x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$

$x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$ Soustrais $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l'équation pour isoler x

x = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}

Comme les dénominateurs sont différents, tu dois trouver un dénominateur commun en utilisant le plus petit dénominateur commun (PDC), qui est 6. Donc, pour obtenir 6 comme dénominateur commun, tu dois multiplier la première fraction par 2 (en haut et en bas), et la deuxième fraction par 3 (également en haut et en bas).

x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}

$x = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

c) Résoudre $\frac{1}{4} x = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{4} x = \frac{5}{2}$

$4 \cdot \frac{1}{4} x = \frac{5}{2} \cdot 4$ Multiplie les deux côtés de l'équation par 4 pour isoler x (4 est la réciproque de $\frac{1}{4}$ )

$x = \frac{20}{2} = 10$

Fractions et décimales - Principaux points à retenir

Les fractions sont des nombres qui représentent des parties d'un tout. Les fractions s'écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$ où a et b sont des nombres entiers et $b \neq 0$ .
Les décimales sont des nombres dont la virgule sépare la partie entière de la partie fractionnaire du nombre.
Les fractions et les décimales sont étroitement liées car elles représentent toutes deux des nombres rationnels, et tu peux convertir l'une en l'autre.
Les fractions et les décimales sont essentielles lorsque des valeurs précises sont nécessaires.
Une fraction est dans sa forme la plus simple si son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autres facteurs communs que 1.
Pour additionner, soustraire et multiplier des décimales et des fractions, tu peux procéder de deux manières différentes : en utilisant des décimales ou des fractions.
Pour résoudre des équations linéaires avec des fractions et des décimales, tu peux suivre les mêmes règles que celles que tu utilises pour résoudre des équations avec des nombres entiers.

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Questions fréquemment posées en Fractions et Décimales

Qu'est-ce qu'une fraction en mathématiques ?

Une fraction représente une partie d'un tout et est notée comme a/b où 'a' est le numérateur et 'b' le dénominateur.

Comment convertir une fraction en nombre décimal ?

Pour convertir une fraction en décimal, divisez le numérateur par le dénominateur. Par exemple, 1/4 = 0,25.

Quelle est la différence entre une fraction et un nombre décimal ?

Une fraction exprime une partie d'un ensemble, tandis qu'un nombre décimal exprime la même valeur en base 10.

Comment additionner des fractions ?

Pour additionner des fractions, rendez les dénominateurs égaux, puis ajoutez les numérateurs. Simplifiez si possible.

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