Formules des angles doubles et des demi-angles

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Math input error

et

cosθ2cosθ2?

Dans cet article, tu comprendras ce qui se passe lorsque les identités trigonométriques sont doublées ou divisées par deux.

Formules à double angle

Les fonctions trigonométriques peuvent être doublées mais pas de la même manière que les nombres normaux.

Si tu as l'expression 3y et que tu dois la doubler, il est facile de multiplier 3y par 2 pour obtenir 6y. Note que sin30° est 0,5 et que doubler l'angle donne 60°, mais sin60° ne te donnerait pas 1. Comme les opérations mathématiques normales multiplient 0,5 par 2 pour donner 1, les identités trigonométriques ont besoin de leur propre formule pour doubler leur fonction.

Dériver la formule de l'angle double pour la fonction sinusoïdale

Nous avons l'intention de trouver la formule pour sin2θ. Note que

sin2θ=sin(θ+θ)

Rappelle que,

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

Prends maintenantA=B=θ, nous obtenons

sin2θ=sinθcosθ+sinθcosθ=2sinθcosθ

La formule du double angle pour la fonction sinus est donnée par sin(2θ)=2sinθcosθ.

Trouvesin60°en utilisant la formule de l'angle double.

Solution :

Nous avons

60°=2(30°)

Ainsi

sin60°=sin(2×30°)=2sin30°cos30°

mais,

sin30°=12,cos30°=32

Alors ,

sin60°=2×12×32sin60°=32

Étant donné que90°<θ<180°trouve sin2θ si

sinθ=45

Solution :

Nous avons sinθ dans la donnée, mais pour appliquer notre formule, nous devons trouver cosθ.

Rappelle que,

cos2θ+sin2θ=1

Ainsi ,

cos2θ=1-sin2θ=1-(45)2=1-1625cos2θ=925

Nous prenons la racine carrée des deux côtés pour obtenir,

cosθ=±35

Note que l'étendue de l'angle est comprise entre 90° et 180°, cela signifie que θ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi ,

cosθ=-35

Il nous faut maintenant appliquer notre formule de l'angle double,

sin2θ=2sinθcosθ=2×45×(-35)=-2425

Dériver la formule du double angle pour la fonction Cosinus

Nous allons maintenant développer une formule d'angle double pour la fonction cosinus. Nous déduisons trois formules égales.

Nous notons d'abord que

cos2θ=cos(θ+θ)

Maintenant, rappelle-toi que

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

En prenantA=B=θ,nous obtenons

cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ=cos2θ-sin2θ

Ainsi, nous obtenons la première formule pour cos2θ,

cos2θ=cos2θ-sin2θ

Rappelons maintenant l'identité cos2θ+sin2θ=1et nous avons donccos2θ=1-sin2θ.

Remplaçons maintenant cette formule par la formule obtenue pourcos2θ,pour obtenir

cos2θ=1-sin2θ-sin2θ=1-2sin2θ

Ainsi, la deuxième formule pour cos2θ est

cos2θ=1-2sin2θ

De la même façon, nous avons sin2θ=1-cos2θ.

En substituant la valeur de sin2θ dans la formule de cos2θon obtient

cos2θ=cos2θ-(1-cos2θ)=cos2θ-1+cos2θ=2cos2θ-1

Ainsi, la troisième formule pour cos2θ est

cos2θ=2cos2θ-1

Les formules de l'angle double pour la fonction cosinus sont données par ,

cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ

Étant donné que 90°<θ<180°, trouve cos2θ si

sinθ=45

Solution :

Méthode 1.

La façon directe de trouver cos2θ est d'utiliser la formule cos2θ=1-2sin2θPuisqu'on nous donne la valeur de sinθ.

Donc ,

cos2θ=1-2sin2θ=1-2452=1-21625=1-3225=25-3225=-725

Méthode 2.

Nous pouvons utiliser l'une ou l'autre des autres formules pour trouver id="5218379" role="math" cos2θNous utiliserons donc id="5218380" role="math" cos2θ=2cos2θ-1.Il nous faut donc trouver cosθ.

Nous rappelons que cos2θ+sin2θ=1, donc

cos2θ=1-sin2θ=1-452=1-1625=925

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons

cosθ=±35

Notons que 90°<θ<180°, ce qui signifie que θ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi,

cosθ=-35

Nous pouvons donc appliquer notre formule

cos2θ=2cos2θ-1=2-352-1=2×925-1=1825-1=-725

Pour 180°<θ<270°trouver cos2θ lorsque

cosθ=-13

Solution :

Pour résoudre ce problème, il est plus rapide d'utiliser la formulecos2θ=2cos2θ-1.

Ainsi ,

cos2θ=2×-132-1=2×19-1=29-1=-79

Calcul de la formule de l'angle double de la fonction tangente

Nous allons développer une formule pour un angle double de la fonction tangente.

Nous rappelons que

tanθ=sinθcosθ

et ,

sin2θ=2sinθcosθ

cos2θ=cos2θ-sin2θ

Ainsi ,

tan2θ=sin2θcos2θ

En substituant sin2θ et cos2θ par leurs expressions, nous obtenons

tan2θ=2sinθcosθcos2θ-sin2θ

Pour simplifier davantage, nous divisons le numérateur et le dénominateur du côté droit de l'équation par cos2θpour obtenir

tan2θ=2sinθcosθcos2θcos2θ-sin2θcos2θ=2sinθcosθcos2θcos2θ-sin2θcos2θ=2tanθ1-tan2θ

La formule de l'angle double pour la fonction tangente est donnée par ,

tan2θ=2tanθ1-tan2θ

Étant donné que 90°<θ<180°, trouve tan2θ si

sinθ=45

Solution :

Nous devons trouvertanθCela signifie que nous devons d'abord trouver cosθ.

Nous rappelons que cos2θ+sin2θ=1, donc cos2θ=1-sin2θ. En remplaçant sinθ par sa valeur, nous obtenons

cos2θ=1-452=1-1625=925

On prend la racine carrée des deux côtés, pour obtenir

cosθ=±35

Note que 90°<θ<180°ce qui signifie que θ se trouve dans le deuxième quadrant. Les cosinus des angles dans le deuxième quadrant ont des valeurs négatives. Ainsi , cosθ=-35.

Par conséquent,

tanθ=sinθcosθ=45-35=45×(-53)-43

Donc,

tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2×-431--432=-831-169=-83-79=-83×-97=247

Dérivation des formules de l'angle double pour les fonctions sécante, cosécante et cotangente

Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont respectivement les réciproques du cosinus, du sinus et de la tangente. Pour dériver leurs formules de double angle, il te suffit de trouver l'inverse multiplicatif des formules de double angle correspondantes.

Formule du double angle pour la sécante

Nous rappelons par la définition de la fonction sécante que

secθ=1cosθ donc sec2θ=1cos2θ

mais d'après la formule du double angle pour le cosinus, nous avons cos2θ=cos2θ-sin2θ donc

sec2θ=1cos2θ-sin2θ

Exprimons maintenant sec2θen termes de secθ et cscθ.

En fait, cosθ=1secet cscθ=1sinθet nous avons donc

sec2θ=11secθ2-1cscθ2=11sec2θ-1csc2θ=1csc2θ-sec2θsec2θcsc2θ=sec2θcsc2θcsc2θ-sec2θ.

La formule du double angle pour la fonction sécante est donnée par,

sec2θ=sec2θcsc2θcsc2θ-sec2θ

Formule de l'angle double pour la cosécante

On rappelle par la définition de la fonction sécante que

cscθ=1sinθdonc csc2θ=1sin2θ

mais d'après la formule de l'angle double pour la fonction sinus, on asin2θ=2sinθcosθ, donc

csc2θ=12sinθcosθ=12×1sinθ×1cosθ=12×cscθ×secθcsc2θ=12cscθsecθ

La formule de l'angle double pour la fonction cosécante est donnée par ,

csc2θ=12cscθsecθ

Formule de l'angle double pour la cotangente

Nous rappelons par la définition de la fonction sécante que

cotθ=1tanθdonc cot2θ=1tan2θ

On rappelle par la formule de l'angle double pour la fonction tangente que tan2θ=2tanθ1-tan2θon a

cot2θ=12tanθ1-tan2θ=1-tan2θ2tanθ

La formule du double angle pour la fonction cotangente est donnée par ,

cot2θ=1-tan2θ2tanθ

Etant donné que 90°<θ<180°, trouve sec2θ,csc2θ et cot2θ étant donné que

sinθ=45

Solution :

Nous avons la valeur de sinθ, mais pour appliquer ces formules, nous devons trouver cosθ.

Nous rappelons que,cos2θ+sin2θ=1

cos2θ=1-sin2θ=1-452=1-1625=925

Donccosθ=±35mais puisque90°<θ<180°,donccosθ=-35.

Donc

secθ=-53,cscθ=54

Par conséquent, nous avons

sec2θ=sec2θcsc2θcsc2θ-sec2θ=-532542542--532=259×25162516-259=625144225-400144=625-175=-257

csc2θ=1sin2θ=12cosθsinθ=12-3545=1-2425=-2524cot2θ=1-tan2θ2tanθ, mais tanθ=sinθcosθ=45-35=-43, donc on a cot2θ=1--4322-43=1-169-83=-79-83=-79×(-38)=724.

Formules de demi-angle

Les fonctions trigonométriques peuvent être divisées par deux, mais pas de la même manière que les nombres normaux. Si tu as l'expression 6y et que tu dois la diviser par deux, il est facile de multiplier 6y par 0,5 pour obtenir 3y. Note que sin30° est 0,5 et que diviser l'angle par deux donne 15 degrés, mais sin15° ne donnerait pas 0,25. Comme les opérations mathématiques normales multiplient 0,5 par 0,5 (moitié) pour obtenir 0,25, les identités trigonométriques nécessitent leur propre formule pour diviser leur fonction par deux.

Dérivation de la formule du demi-angle pour le sinus

Pour trouver sinθ2nous rappelons d'abord que

cos2θ=1-2sin2θ

Soit θ=2, donc

cos2×ϕ2=1-2sin2ϕ2cosϕ=1-2sin2ϕ2

Pour isoler sin2ϕ2on soustrait 1 des deux côtés, ce qui donne

coϕ-1=1-2sin2ϕ2-1-2sin2ϕ2=cosϕ-1

En divisant les deux côtés de l'équation par -2, on obtient

sin2ϕ2=1-cosϕ2

En prenant la racine carrée des deux côtés de l'équation, on obtient

sinϕ2=±1-cosϕ2

La formule du demi-angle pour la fonction sinus est donnée par ,

sinϕ2=±1-cosϕ2

Si sinθ=23et 90°<θ<180°, trouve sinθ2.

Solution :

Puisque 90°<θ<180°,45°<θ2<90°, donc sinθ>0.D'où ,

sinθ2=1-cosθ2

Ainsi, pour trouversinθ2, il faut trouver cosθ. Rappelle que

cos2θ=1-sin2θcosθ=1-sin2θ

Puisque

sinθ=23

Alors ,

cosθ=1-(23)2cosθ=1-49cosθ=59=53

Nous pouvons maintenant substituer la valeur de cosθ dans notre équation.

sinθ2=1-cosθ2sinθ2=1-532sinθ2=3-532sinθ2=3-53×12sinθ2=3-56

Dériver la formule du demi-angle pour le cosinus

Rappelle-toi que

cos2θ=2cos2θ-1

Où ,

θ=2

Par conséquent

cos(2×2)=(2×cos22)-1cos=(2×cos22)-1

Ajoute 1 aux deux côtés de l'équation

cos+1=(2×cos22)-1+1cos+1=2×cos22

Divise les deux côtés par 2

cos+12=cos22

Trouve la racine carrée des deux côtés de l'équation.

cos+12=cos2

Donc

cosθ2=±cosθ+12

Étant donné que

sinθ=-34

pour 180°<θ<270°, trouve cosθ2.

Solution :

Pour commencer, obtiens la valeur de cosθ.

Note que

cos2θ=1-sin2θ

Ainsi

cos2θ=1-(-34)2cos2θ=1-916cos2θ=716cosθ=±74

Rappelle dans la question que θ se trouve dans le troisième quadrant, donc que les valeurs du cosinus seraient négatives. Ainsi

cosθ=-74

Note avant

cosθ2=±cosθ+12

En substituant la valeur de cosθ, on obtient donc

cosθ2=±1-742cosθ2=±4-742cosθ2=±4-74×12cosθ2=±4-78cosθ2=±4-722

Multiplie le côté droit de l'équation par 22 (rationalisation des surds)

cosθ2=±4-722×22cosθ2=±8-274

Maintenant que θ a été divisé par deux, les conditions changeraient aussi par

180°<θ<270°

Les angles tombent ici dans le troisième quadrant.

En divisant cela par 2, tu obtiens

90°<θ2<135°

θ2 tombe dans le deuxième quadrant et cosθ est négatif dans le deuxième quadrant.

cosθ2=-8-274

Dériver la formule du demi-angle pour les tangentes

Sachant que

tanθ=sinθcosθsinθ2=±1-cosθ2cosθ2=±cosθ+12

Alors

tanθ2=1-cosθ2cosθ+12tanθ2=1-cosθ2cosθ+12tanθ2=1-cosθ2×2cosθ+1tanθ2=1-cosθcosθ+1

Multiplie le côté droit de l'équation par cosθ+1cosθ+1 et tu obtiendras

tanθ2=1-cos2θcosθ+1

Rappelle-toi que

1-cos2θ=sin2θ

Dans ce cas

tanθ2=sin2θcosθ+1tanθ2=sinθcosθ+1

Trouve tan2 lorsque tan=43.

Solution :

Avec la valeur donnée, l'opposée et l'adjacente sont respectivement 4 et 3. En utilisant le théorème de Pythagore, nous arriverons à une valeur pour l'hypoténuse.

hypotenuse2=opposite2+adjacent2hypotenuse2=42+32hypotenuse2=25hypotenuse=5

Nous avons maintenant la valeur de l'hypoténuse, alors

sin=45cos=35

Tu peux maintenant appliquer la formule

tanθ2=sinθcosθ+1θ=tan2=sincos+1tan2=4535+1tan2=4585tan2=45×58tan2=12

Calcul de la formule du demi-angle pour la sécante, la cosécante et la cotangente

Comme nous l'avons déjà mentionné, la sécante, la cosécante et la cotangente sont respectivement l'inverse du cosinus, du sinus et de la tangente. Pour dériver leurs formules de demi-angle, il te suffit donc de trouver l'inverse multiplicatif des formules de demi-angle correspondantes. Ainsi, la formule du demi-angle de la sécante devient :

secθ=1cosθcosθ2=±cosθ+12secθ2=±2cosθ+1

la formule du demi-angle de la cosécante devient :

cosecθ=1sinθsinθ2=±1-cosθ2cosecθ2=±21-cosθ

et la formule du demi-angle de la cotangente devient :

cotθ=1tanθtanθ2=sinθcosθ+1cotθ2=cosθ+1sinθ

C'est la même chose que

cotθ2=cosθ+1sinθcotθ2=cosθsinθ+1sinθcotθ2=cotθ+cosecθ

Si secθ=1312, trouve les valeurs de secθ2, cosecθ2 et cotθ2.

Solution :

Puisque ,

secθ=1312

et

secθ=1cosθ

Alors ,

cosθ=1213

Sachant que ;

sin2θ=1-cos2θsinθ=1-cos2θ

Par conséquent ;

sinθ=1-(1213)2sinθ=1-144169sinθ=25169sinθ=513

Les valeurs de cosθ ainsi que de sinθ ayant été trouvées, il est plus facile de trouver les demi-angles de sec, cosec et cot. Ainsi, le demi-angle de sec devient :

secθ2=±2cosθ+1secθ2=21213+1secθ2=22513secθ2=2×1325secθ2=2625secθ2=265

Pour le demi-angle de cosec

cosecθ2=±21-cosθcosecθ2=21-1213cosecθ2=2113cosecθ2=2×131cosecθ2=26

Et pour le demi-angle de cot

cotθ2=cosθ+1sinθcotθ2=1213+1513cotθ2=2513513cotθ2=2513×135cotθ2=5

Applications des formules du double angle et du demi-angle

Voici quelques exemples qui montrent l'application des formules du double angle et du demi-angle.

Résous la pour θ dans

sin(2θ)+4sinθ+2cosθ=-4

Solution :

Rappelle que

sin2θ=2sinθcosθ

Substitue dans l'équation. Par conséquent ,

2sinθcosθ+4sinθ+2cosθ=-42sinθcosθ+4sinθ+2cosθ+4=0(2sinθcosθ+4sinθ)+(2cosθ+4)=02sinθ(cosθ+2)+2(cosθ+2)=0(2sinθ+2)(cosθ+2)=0

Cela signifie que

2sinθ+2=02sinθ=-22sinθ2=-22sinθ=-1

ou

cosθ+2=0cosθ=-2

Maintenant, pour trouver θ, nous devons trouver à la fois arcsinθ et arccosθ. Par conséquent,

θ=sin-1-1θ=270°

Cependant, -2 dépasse les valeurs possibles pour arccosθ. Par conséquent,

cosθ=-2

n'est pas valide

La valeur de θ est donc de 270°.

Si

sinϕ=15

trouver

cosϕ2

Solution :

La première chose à faire est de trouver cosϕ. Sachant que

cos2ϕ+sin2ϕ=1cos2ϕ=1-sin2ϕcosϕ=1-sin2ϕ

Maintenant, substitue la valeur de sinϕ pour trouver cosϕ.

cosϕ=1-sin2ϕcosϕ=1-15cosϕ=45cosϕ=25cosϕ=25×55cosϕ=255

Rappelle que

cosϕ2=±cosθ+12

D'où ,

cosϕ2=±255+12cosϕ2=±25+552cosϕ2=±25+55×12cosϕ2=±25+510

Formules de l'angle double et du demi-angle - Principaux enseignements

  • Une fonction trigonométrique ne peut pas être divisée par deux ou doublée à l'aide de méthodes arithmétiques normales. Il faut plutôt utiliser certaines formules pour effectuer ces opérations.
  • Pour doubler l'angle des fonctions sinus :sin2θ=2sinθcosθ
  • Pour doubler l'angle des fonctions cosinus, on peut utiliser l'une des formules suivantes.cos2θ=cos2θ-sin2θ oucos2θ=1-2sin2θ ou cos2θ=2cos2θ-1.
  • Pour doubler l'angle des fonctions tangentes : tan2θ=2tanθ1-tan2θ.
  • Pour doubler l'angle des fonctions sécantes : sec2θ=1cos2θ-sin2θ.
  • Pour doubler l'angle des fonctions cosécantes : cosec2θ=12sinθcosθ.
  • Pour doubler l'angle des fonctions cotangentes : cot2θ=1-tan2θ2tanθ.
  • Pour trouver le demi-angle des fonctions sinus, utilise : sinθ2=±1-cosθ2.
  • Pour trouver le demi-angle de la fonction cosinus, utilise : : cosθ2=±cosθ+12
  • Pour trouver le demi-angle des fonctions tangentes, utilise : : tanθ2=sinθcosθ+1.
  • Pour trouver le demi-angle des fonctions sécantes, utilise : :secθ2=±2cosθ+1.
  • Pour trouver le demi-angle des fonctions cosécantes, utilise : :cosecθ2=±21-cosθ.
  • Pour trouver le demi-angle des fonctions cotangentes, utilise : :cotθ2=cosθ+1sinθ.
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Formules des angles doubles et des demi-angles
Questions fréquemment posées en Formules des angles doubles et des demi-angles
Quelles sont les formules des angles doubles?
Les formules des angles doubles sont : sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) ou cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1 ou cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ).
Quelles sont les formules des demi-angles?
Les formules des demi-angles sont : sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2) et cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2).
Comment utiliser les formules des angles doubles?
Pour utiliser les formules des angles doubles, remplacez θ par la valeur de l'angle initial pour trouver les valeurs de sin(2θ) et cos(2θ).
Quel est l'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles?
L'intérêt des formules des angles doubles et des demi-angles est de simplifier le calcul des fonctions trigonométriques pour des angles multiples ou sous-multiples.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.

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Gabriel Freitas

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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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