Formules des angles doubles et des demi-angles

Trouve$\sin 60°$en utilisant la formule de l'angle double.

Solution :

Nous avons

$60°=2(30°)$

Ainsi

$$\begin{gathered} \sin 60°=\sin (2\times 30°) \\ =2\sin 30°\cos 30° \end{gathered}$$

mais,

$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Alors ,

$$\begin{gathered} \sin 60°=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Étant donné que$90°<\theta <180°$trouve $\sin 2\theta$ si

$\sin \theta =\frac{4}{5}$

Solution :

Nous avons sinθ dans la donnée, mais pour appliquer notre formule, nous devons trouver cosθ.

Rappelle que,

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

Ainsi ,

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2 \\ =1-\frac{16}{25} \\ {\cos }^2\theta =\frac{9}{25} \end{gathered}$$

Nous prenons la racine carrée des deux côtés pour obtenir,

$\cos \theta =\pm \frac{3}{5}$

Note que l'étendue de l'angle est comprise entre 90° et 180°, cela signifie que θ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi ,

$\cos \theta =-\frac{3}{5}$

Il nous faut maintenant appliquer notre formule de l'angle double,

$$\begin{gathered} \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \\ =2\times \frac{4}{5}\times (-\frac{3}{5}) \\ =-\frac{24}{25} \end{gathered}$$

Étant donné que $90°<\theta <180°$, trouve $\cos 2\theta$ si

$\sin \theta =\frac{4}{5}$

Solution :

Méthode 1.

La façon directe de trouver $\cos 2\theta$ est d'utiliser la formule $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$Puisqu'on nous donne la valeur de $\sin \theta$.

Donc ,

$$\begin{gathered} \cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta \\ =1-2{\left(\frac{4}{5}\right)}^2 \\ =1-2\left(\frac{16}{25}\right) \\ =1-\frac{32}{25} \\ =\frac{25-32}{25} \\ =-\frac{7}{25} \end{gathered}$$

Méthode 2.

Nous pouvons utiliser l'une ou l'autre des autres formules pour trouver id="5218379" role="math" $\cos 2\theta$Nous utiliserons donc id="5218380" role="math" $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1.$Il nous faut donc trouver $\cos \theta$.

Nous rappelons que ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, donc

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta \\ =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2 \\ =1-\frac{16}{25} \\ =\frac{9}{25} \end{gathered}$$

En prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons

$\cos \theta =\pm \frac{3}{5}$

Notons que $90°<\theta <180°$, ce qui signifie que $\theta$ se trouve dans le deuxième quadrant. Le cosinus des angles dans le deuxième quadrant a des valeurs négatives. Ainsi,

$\cos \theta =-\frac{3}{5}$

Nous pouvons donc appliquer notre formule

$$\begin{gathered} \cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1 \\ =2{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2-1 \\ =2\times \frac{9}{25}-1 \\ =\frac{18}{25}-1 \\ =-\frac{7}{25} \end{gathered}$$

Pour $180°<\theta <270°$trouver $\cos 2\theta$ lorsque

$\cos \theta =-\frac{1}{3}$

Solution :

Pour résoudre ce problème, il est plus rapide d'utiliser la formule$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$.

Ainsi ,

$$\begin{gathered} \cos 2\theta =2\times {\left(\frac{-1}{3}\right)}^2-1 \\ =2\times \frac{1}{9}-1 \\ =\frac{2}{9}-1 \\ =-\frac{7}{9} \end{gathered}$$

Étant donné que $90°<\theta <180°,$ trouve $\tan 2\theta$ si

$\sin \theta =\frac{4}{5}$

Solution :

Nous devons trouver$\tan \theta$Cela signifie que nous devons d'abord trouver $\cos \theta$.

Nous rappelons que ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, donc ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$. En remplaçant $\sin \theta$ par sa valeur, nous obtenons

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2 \\ =1-\frac{16}{25} \\ =\frac{9}{25} \end{gathered}$$

$\cos \theta =\pm \frac{3}{5}$

Note que $90°<\theta <180°$ce qui signifie que $\theta$ se trouve dans le deuxième quadrant. Les cosinus des angles dans le deuxième quadrant ont des valeurs négatives. Ainsi , $\cos \theta =-\frac{3}{5}$.

Par conséquent,

$$\begin{gathered} \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta } \\ =\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} \\ =\frac{4}{5}\times (-\frac{5}{3}) \\ -\frac{4}{3} \end{gathered}$$

Donc,

$$\begin{gathered} \tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta } \\ =\frac{2\times \left(\frac{-4}{3}\right)}{1-{\left(\frac{-4}{3}\right)}^2} \\ =\frac{-\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}} \\ =\frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} \\ =-\frac{8}{3}\times \left(\frac{-9}{7}\right) \\ =\frac{24}{7} \end{gathered}$$

Etant donné que $90°<\theta <180°,$ trouve $sec2\theta ,csc2\theta$ et $cot2\theta$ étant donné que

$\sin \theta =\frac{4}{5}$

Solution :

Nous avons la valeur de sinθ, mais pour appliquer ces formules, nous devons trouver cosθ.

Nous rappelons que,${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

Donc$\cos \theta =\pm \frac{3}{5}$mais puisque$90°<\theta <180°,$donc$\cos \theta =-\frac{3}{5}$.

Donc

$sec\theta =-\frac{5}{3},csc\theta =\frac{5}{4}$

Par conséquent, nous avons

$sec2\theta =\frac{se{c}^2\theta cs{c}^2\theta }{cs{c}^2\theta -se{c}^2\theta }=\frac{{\left(\frac{-5}{3}\right)}^2{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{-5}{3}\right)}^2}=\frac{\frac{25}{9}\times \frac{25}{16}}{\frac{25}{16}-\frac{25}{9}}=\frac{\frac{625}{144}}{\frac{225-400}{144}}=\frac{625}{-175}=-\frac{25}{7}$

Si $\sin \theta =\frac{2}{3}$et 90°<θ<180°, trouve $\sin \frac{\theta }{2}$.

Solution :

Puisque $90°<\theta <180°,$$45°<\frac{\theta }{2}<90°$, donc $\sin \theta >0.$D'où ,

Ainsi, pour trouver$\sin \frac{\theta }{2}$, il faut trouver cosθ. Rappelle que

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta \\ \cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta } \end{gathered}$$

Puisque

$\sin \theta =\frac{2}{3}$

Alors ,

$$\begin{gathered} \cos \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2} \\ \cos \theta =\sqrt{1-\frac{4}{9}} \\ \cos \theta =\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3} \end{gathered}$$

Nous pouvons maintenant substituer la valeur de cosθ dans notre équation.

$$\begin{gathered} \sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}} \\ \sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{5}}{3}}{2}} \\ \sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{3}}{2}} \\ \sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3}\times \frac{1}{2}} \\ \sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{6}} \end{gathered}$$

Étant donné que

$\sin \theta =-\frac{3}{4}$

pour $180°<\theta <270°$, trouve $\cos \frac{\theta }{2}$.

Solution :

Pour commencer, obtiens la valeur de cosθ.

Note que

${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$

Ainsi

$$\begin{gathered} {\cos }^2\theta =1-{(-\frac{3}{4})}^2 \\ {\cos }^2\theta =1-\frac{9}{16} \\ {\cos }^2\theta =\frac{7}{16} \\ \cos \theta =\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \end{gathered}$$

Rappelle dans la question que θ se trouve dans le troisième quadrant, donc que les valeurs du cosinus seraient négatives. Ainsi

$\cos \theta =-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Note avant

$\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{\cos \theta +1}{2}}$

En substituant la valeur de cosθ, on obtient donc

$$\begin{gathered} \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{\frac{4-\sqrt{7}}{4}}{2}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{4-\sqrt{7}}{4}\times \frac{1}{2}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{4-\sqrt{7}}{8}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Multiplie le côté droit de l'équation par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ (rationalisation des surds)

$$\begin{gathered} \cos \frac{\theta }{2}=\pm \frac{\sqrt{4-\sqrt{7}}}{2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \frac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{4} \end{gathered}$$

Maintenant que θ a été divisé par deux, les conditions changeraient aussi par

$180°<\theta <270°$

En divisant cela par 2, tu obtiens

$90°<\frac{\theta }{2}<135°$

$\cos \frac{\theta }{2}=-\frac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{4}$

Trouve $\tan \frac{\varnothing }{2}$ lorsque $\tan \varnothing =\frac{4}{3}$.

Solution :

Avec la valeur donnée, l'opposée et l'adjacente sont respectivement 4 et 3. En utilisant le théorème de Pythagore, nous arriverons à une valeur pour l'hypoténuse.

$$\begin{gathered} hypotenus{e}^2=opposit{e}^2+adjacen{t}^2 \\ hypotenus{e}^2=4^2+3^2 \\ hypotenus{e}^2=25 \\ hypotenuse=5 \end{gathered}$$

Nous avons maintenant la valeur de l'hypoténuse, alors

$$\begin{gathered} \sin \varnothing =\frac{4}{5} \\ \cos \varnothing =\frac{3}{5} \end{gathered}$$

Tu peux maintenant appliquer la formule

$$\begin{gathered} t\mathrm{an}\frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1} \\ \theta =\varnothing \\ \tan \frac{\varnothing }{2}=\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing +1} \\ \tan \frac{\varnothing }{2}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}+1} \\ \tan \frac{\varnothing }{2}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{8}{5}} \\ \tan \frac{\varnothing }{2}=\frac{4}{5}\times \frac{5}{8} \\ \tan \frac{\varnothing }{2}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Si $sec\theta =\frac{13}{12}$, trouve les valeurs de $sec\frac{\theta }{2}$, $\cos ec\frac{\theta }{2}$ et $cot\frac{\theta }{2}$.

Solution :

Puisque ,

$sec\theta =\frac{13}{12}$

et

$sec\theta =\frac{1}{\cos \theta }$

Alors ,

$\cos \theta =\frac{12}{13}$

Sachant que ;

$$\begin{gathered} {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta \\ \sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta } \end{gathered}$$

Par conséquent ;

$$\begin{gathered} \sin \theta =\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2} \\ \sin \theta =\sqrt{1-\frac{144}{169}} \\ \sin \theta =\sqrt{\frac{25}{169}} \\ \sin \theta =\frac{5}{13} \end{gathered}$$

Les valeurs de cosθ ainsi que de sinθ ayant été trouvées, il est plus facile de trouver les demi-angles de sec, cosec et cot. Ainsi, le demi-angle de sec devient :

$$\begin{gathered} sec\frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{2}{\cos \theta +1}} \\ sec\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{2}{\frac{12}{13}+1}} \\ sec\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{2}{\frac{25}{13}}} \\ sec\frac{\theta }{2}=\sqrt{2\times \frac{13}{25}} \\ sec\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{26}{25}} \\ sec\frac{\theta }{2}=\frac{\sqrt{26}}{5} \end{gathered}$$

Pour le demi-angle de cosec

$$\begin{gathered} \cos ec\frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }} \\ \cos ec\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{2}{1-\frac{12}{13}}} \\ \cos ec\frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{13}}} \\ \cos ec\frac{\theta }{2}=\sqrt{2\times \frac{13}{1}} \\ \cos ec\frac{\theta }{2}=\sqrt{26} \end{gathered}$$

Et pour le demi-angle de cot

$$\begin{gathered} cot\frac{\theta }{2}=\frac{\cos \theta +1}{\sin \theta } \\ cot\frac{\theta }{2}=\frac{\frac{12}{13}+1}{\frac{5}{13}} \\ cot\frac{\theta }{2}=\frac{\frac{25}{13}}{\frac{5}{13}} \\ cot\frac{\theta }{2}=\frac{25}{13}\times \frac{13}{5} \\ cot\frac{\theta }{2}=5 \end{gathered}$$

Résous la pour θ dans

$\sin \left(2\theta \right)+4\sin \theta +2\cos \theta =-4$

Solution :

Rappelle que

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

Substitue dans l'équation. Par conséquent ,

$$\begin{gathered} 2\sin \theta \cos \theta +4\sin \theta +2\cos \theta =-4 \\ 2\sin \theta \cos \theta +4\sin \theta +2\cos \theta +4=0 \\ (2\sin \theta \cos \theta +4\sin \theta )+(2\cos \theta +4)=0 \\ 2\sin \theta (\cos \theta +2)+2(\cos \theta +2)=0 \\ (2\sin \theta +2)(\cos \theta +2)=0 \end{gathered}$$

Cela signifie que

$$\begin{gathered} 2\sin \theta +2=0 \\ 2\sin \theta =-2 \\ \frac{2\sin \theta }{2}=\frac{-2}{2} \\ \sin \theta =-1 \end{gathered}$$

ou

$$\begin{gathered} \cos \theta +2=0 \\ \cos \theta =-2 \end{gathered}$$

Maintenant, pour trouver θ, nous devons trouver à la fois arcsinθ et arccosθ. Par conséquent,

$$\begin{gathered} \theta ={\sin }^{-1}\left(-1\right) \\ \theta =270° \end{gathered}$$

Cependant, -2 dépasse les valeurs possibles pour arccosθ. Par conséquent,

$\cos \theta =-2$

n'est pas valide

La valeur de θ est donc de 270°.

Si

$\sin \varphi =\sqrt{\frac{1}{5}}$

trouver

$\cos \frac{\varphi }{2}$

Solution :

La première chose à faire est de trouver cosϕ. Sachant que

$$\begin{gathered} {\cos }^2\varphi +{\sin }^2\varphi =1 \\ {\cos }^2\varphi =1-{\sin }^2\varphi \\ \cos \varphi =\sqrt{1-{\sin }^2\varphi } \end{gathered}$$

Maintenant, substitue la valeur de sinϕ pour trouver cosϕ.

$$\begin{gathered} \cos \varphi =\sqrt{1-{\sin }^2\varphi } \\ \cos \varphi =\sqrt{1-\frac{1}{5}} \\ \cos \varphi =\sqrt{\frac{4}{5}} \\ \cos \varphi =\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos \varphi =\frac{2}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ \cos \varphi =\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Rappelle que

$\cos \frac{\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{\cos \theta +1}{2}}$

D'où ,

$$\begin{gathered} \cos \frac{\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}+1}{2}} \\ \cos \frac{\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{\frac{2\sqrt{5}+5}{5}}{2}} \\ \cos \frac{\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{5}+5}{5}\times \frac{1}{2}} \\ \cos \frac{\varphi }{2}=\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{5}+5}{10}} \end{gathered}$$