Puisque tu as la longueur et la largeur de ton plancher, tu peux simplement utiliser la formule de l'aire d'un rectangle pour déterminer la quantité de matériau dont tu as besoin. La surface d'un rectangle est donnée par le produit de sa longueur et de sa largeur. Dans ce cas, tu auras besoin d'un total de \(20\) mètres carrés de panneaux de bois pour couvrir ton plancher. Ceci est un exemple de formule mathématique.
Dans cet article, tu vas étudier les formules mathématiques et la façon dont tu peux les exprimer afin de les utiliser pour résoudre des problèmes de nombres.
Définition d'une formule en mathématiques
Une formule en mathématiques est un outil utile utilisé pour déterminer des solutions à travers une expression donnée. En connaissant la recette générale nécessaire pour résoudre un problème particulier, tu serais en mesure de reproduire le même style de travail si tu rencontres une situation similaire. Ce processus s'effectue par le biais de diverses opérations mathématiques.
Une formule mathématique est une règle qui se présente sous la forme d'un énoncé exprimé sous forme de symboles pour aider à résoudre facilement les problèmes.
Les formules sont constituées de différentes quantités reliées entre elles par le signe égal. Elles contiennent des variables et parfois des constantes. Cela signifie que si tu as les valeurs de certaines variables dans une formule, tu peux trouver la valeur des variables restantes.
Exemple de formule mathématique
Pour mieux comprendre ce qu'est une formule mathématique, montre-la à l'aide d'un exemple.
Considère qu'un rectangle est un terrain appartenant à M. Parker. Il veut en faire un parc où les enfants du quartier pourront venir jouer. Il veut connaître la mesure exacte autour de ce terrain en particulier, le total de toutes les longueurs et de toutes les largeurs. Cette mesure est connue sous le nom de périmètre.
Une façon de mesurer le périmètre du rectangle ci-dessus est de mesurer manuellement l'ensemble du terrain. Cependant, on peut le faire mathématiquement si l'on connaît certains côtés. Si tu sais que la longueur est de \(100\) mètres et la largeur de \(55\) mètres, tu peux simplement utiliser une formule mathématique qui te donne une recette générale permettant de calculer le périmètre d'un rectangle.
En examinant attentivement les propriétés du rectangle, tu remarqueras que les deux côtés opposés sont égaux. Cela signifie que si la longueur en dessous est de \(100\) mètres, la longueur au-dessus sera également de \(100\) mètres. Tu peux donc écrire la formule pour trouver son périmètre. La lettre \N(l\N) représente la longueur et \N(w\N) représente la largeur :
\[ \N-texte{Périmètre d'un rectangle } = l + l + w+w.\N-texte{-texte{Périmètre d'un rectangle } = l + l + w+w.\N].
On peut encore simplifier en ajoutant les termes similaires
\[ \text{Périmètre du rectangle } = 2l + 2w.\]
Tu peux factoriser \(2\) pour obtenir
\[ \text{Perimeter of rectangle } = 2(l + w).\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Avec cette formule pour trouver le périmètre d'un rectangle, tu peux aller de l'avant et y substituer des nombres pour voir si cela aide M. Parker à résoudre son problème efficacement.
\[ \begin{align} \text{Périmètre du rectangle } &= 2(l + w) \\\N &= 2(100 + 55) \N &= 2(155) \N &= 310 \N, m. \Nend{align}\N]
Grâce à cette formule, M. Parker peut simplement connaître le périmètre de son terrain sans avoir à le mesurer manuellement.
Dans plusieurs domaines mathématiques, différentes formules sont appliquées. Pour savoir où et comment les formules peuvent être appliquées, tu dois comprendre le problème que tu traites et savoir quelles variables sont significatives.
Comment écrire une formule mathématique
Comme nous l'avons déjà mentionné, les formules se présentent sous la forme d'équations ou d'identités. Elles se composent de variables et parfois de constantes. La tâche fondamentale de l'écriture des formules est de savoir ce qu'il faut représenter comme variable pertinente.
Par exemple, si tu veux écrire une formule pour le périmètre d'un rectangle, tu dois savoir que la longueur a une relation étroite avec le périmètre. Tu peux prendre un exemple de la façon dont les formules sont écrites.
Suppose que tu saches que 3 chats mangent autant de nourriture qu'un gros chien. Écris une formule pour déterminer le volume de nourriture dont tu auras besoin pour nourrir \(27\) chats et \(10\) gros chiens en fonction du nombre de chiens que tu as.
Solution
C'est une bonne idée de décider d'abord ce que tu essaies de faire ! Tu cherches à trouver une formule pour un volume donné en fonction du nombre de chats et du nombre de chiens. Donnons donc des variables à ces éléments.
- \(c\) est le nombre de chats
- \(d\) est le nombre de chiens
- \N(V\N) est le volume de nourriture
On te demande de trouver une formule pour le volume de nourriture pour \(27\) chats et \(10\) chiens. Qu'est-ce que tu sais ? Tu sais que 3 chats mangent autant qu'un gros chien. Donc
\N- 3c = 1d.\N]
Tu veux la formule pour \(27\) chats et \(10\) chiens, ou en d'autres termes la formule pour
\N[ V = 27c + 10d,\N]
mais tu la veux en termes de chiens, pas de chiens et de chats ! Qu'est-ce qu'il faut faire ? Eh bien, tu n'as pas utilisé le fait que \(3c = d\). Tu peux faire une petite factorisation pour obtenir
\[ \N- V &=27c + 10d \N- &= 9(3c) + 10d, \N- \N- \N- \N- \N]
et remplace ensuite \N (3c = d\N) pour obtenir
\[ \begin{align} V &=9(3c) + 10d \\N- 9d+ 10d \N- 19d, \Nend{align}\N]
Il s'agit d'une formule qui permet de calculer la quantité de nourriture nécessaire pour les chats et les grands chiens en fonction du nombre de chiens que tu as.
Formules mathématiques les plus importantes
Le terme "les plus importantes" est un peu trompeur, car cela dépend vraiment de la personne à qui tu le demandes ! Cependant, dans cette section, tu discuteras de quelques formules courantes qui sont utilisées dans toutes les mathématiques.
Surfaces des formes
La surface d'une forme est définie par une région bidimensionnelle délimitée par la forme donnée.
Concept | Formule |
Surface d'un rectangle | Surface = longueur \(\\Nfréquence) largeur |
Surface d'un parallélogramme | Surface = base \(\times\) hauteur |
Surface du triangle | Surface = \( \dfrac{1}{2} \times\) base \(\times\) hauteur |
Aire du cercle | Surface = \N(\Npi\Nfois \N) rayon \N(\Nfois\N) rayon |
Volumes des solides
Le volume d'un solide est l'espace tridimensionnel occupé par un objet, un récipient ou une surface fermée.
Mesure composée
Les mesures composées sont des expressions qui contiennent plus d'une quantité.
Concept | Formule |
Vitesse | \( \text{Vitesse } = \dfrac{ \text{Distance}}{\text{temps}}\) |
Densité | \( \text{Densité } = \dfrac{ \text{Masse}}{\text{Volume}\) |
Pression | \( \text{Pression } = \dfrac{ \text{Force}}{\text{Surface}}\) |
Algèbre de réécriture des formules
Il est utile de savoir comment réécrire les formules, car on peut te donner la surface d'un rectangle et te demander d'en trouver la longueur. Lorsque tu réécris une formule, l'objectif est de créer une équation équivalente à la formule, mais avec la variable manquante seule.
La règle fondamentale utilisée pour ce faire est la règle d'or de la manipulation des équations. Elle dit qu'il faut faire au côté d'une équation ce que l'on fait à l'autre. Cela signifie que si la manipulation exige que tu ajoutes des valeurs à un côté de l'équation, fais la même addition du côté gauche de l'équation. Voici un exemple.
Si les valeurs de la masse et de la densité sont données, quelle sera la formule pour le volume ?
Solution
Une formule où toutes les quantités mentionnées sont présentes est la formule de la masse volumique.
\[\text{Densité } = \dfrac{ \text{Masse}}{\text{Volume}}\]
Pour trouver la formule du volume, tu devras faire du volume le sujet de l'équation. Cela signifie que toute forme de manipulation sur l'un des côtés de l'équation devra être reproduite sur l'autre côté. Pour ce faire, tu devras d'abord multiplier les deux côtés de l'équation par le volume,
\[\text{Densité }\times \text{ Volume } = \dfrac{ \text{ Masse}{\text{ Volume}} \text{Volume}\]
puis annule pour obtenir
\[\text{Densité}\time \text{ Volume } = \text{ Masse}.\]
Tu peux maintenant diviser les deux côtés par la densité
\[\dfrac{\text{Densité }\times \text{ Volume }}{\text{Densité }]. } = \dfrac{\text{ Masse}{\text{Densité} }\]
et annule à nouveau pour obtenir
\[\text{Volume } = \dfrac{\text{Masse}}{text{Densité} }.\]
Voyons un autre exemple.
Trouve la longueur d'un rectangle dont la surface est \N(42\N, cm^2\N) et la largeur \N(6\N, cm\N).
Solution
Tout d'abord, tu peux écrire la formule pour trouver la surface d'un rectangle :
\N- A = lw.\N- A = lw.\N- A = lw.\N- A = lw.
Pour trouver la longueur, tu devras en faire le sujet de l'équation. Cela signifie que tu dois effectuer quelques manipulations. Ce que tu fais d'un côté devra être fait de l'autre. Pour isoler la longueur afin qu'elle soit seule d'un côté de l'équation, tu devras diviser les deux côtés de l'équation par la largeur
\[ \frac{A}{w} = \frac{lw}{w}\]
puis annuler pour obtenir
\[ l = \frac{A}{w}.\]
Tu as maintenant une formule pour trouver la longueur dans ce scénario. Tu peux maintenant trouver la solution du problème en la substituant à la formule :
\[ \begin{align} l &= \frac{A}{w}\\ &= \frac{42}{6} \N- &= 7.\Nend{align}\N]
N'oublie pas les unités ! La longueur est de \(7\, cm\).
Substitution dans les formules
La substitution dans les formules consiste à remplacer une variable par sa valeur dans une formule. Dans cette section, l'utilisation des formules devient extrêmement évidente. Les valeurs correctes des variables permettent de trouver les variables inconnues.
Tout le processus de substitution dans les formules consiste à remplacer les lettres (variables) par leurs valeurs données. Tu prendras de nombreux exemples pour voir comment les différents types de situations possibles peuvent être abordés.
Trouve \(z\N) lorsque \N(x=7\N) dans la formule donnée
\N- [z = x+2.\N]
Solution
Tout ce que tu as à faire ici, c'est de remplacer \N(x) dans la formule par \N(7) puisque le problème dit que \N(x) est la même chose que \N(7).
\[ \begin{align} z &= x+2 \\ &= 7 + 2 \\ &= 9.\end{align}\]
Voici un autre exemple pour toi !
Trouve \N(l\N) quand \N(m=5\N) dans la formule donnée
\N- [l = 7m.\N]
Solution
Ici, tu vas remplacer la lettre \(m\) par le nombre \(5\) comme indiqué dans le problème, puis tu pourras trouver \(l\). Donc
\N- [l = 7m.\N]
La relation entre \N(7\N) et \N(m\N) est ici une multiplication. Toute cette formule peut être fondamentalement écrite comme suit
\N- [l = 7 \Ncdot m,\N]
ou
\N- [l = 7(m).\N]
En remplaçant \N(5\N) par \N(m\N), tu obtiens
\[ \begin{align} l &= 7(5) \\ &= 35.\end{align}\]
Formule mathématique - Points clés
- Une formule mathématique est une règle sous forme d'énoncé exprimé sous forme de symboles pour aider à résoudre facilement les problèmes.
- Les formules sont constituées de différentes quantités reliées entre elles par le signe égal.
- La règle fondamentale utilisée pour réécrire les formules est la règle d'or de la manipulation des équations, qui dit qu'il faut faire au côté d'une équation ce que l'on fait à l'autre.
- La substitution dans les formules consiste à remplacer une variable par sa valeur dans une formule.
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