Pour dire les choses dans le jargon mathématique, Sarah et Mary sont congruentes l'une à l'autre puisqu'elles se ressemblent exactement. Fiona et Michelle sont semblables l'une à l'autre car elles ne partagent que certaines caractéristiques.
Les mots "congruent" et "semblable" sont deux termes importants en géométrie utilisés pour comparer des formes ou des figures. Cet article traite de ce concept et de ses applications.
Définition des formes similaires et congruentes
Pour entamer cette discussion, commençons par examiner le diagramme ci-dessous.
Exemple des carrés A et B et des rectangles C et D
Que remarques-tu à propos des carrés A et B et des rectangles C et D ?
Pour répondre à cette question, les carrés A et B sont identiques puisque leurs deux côtés ont exactement la même mesure. De plus, ils ontla même forme . Cependant, le rectangle C et le rectangle D ne sont pas identiques, bien qu'ils aient la même forme. Dans ce cas, leurs hauteurs et leurs largeurs sont toutes deux différentes. Nous pouvons donc tirer la conclusion suivante :
Le carré A est congruent au carré B ;
Le rectangle C est semblable au rectangle D.
À partir de là, nous pouvons définir les formes similaires et congruentes comme suit.
Deux formes sont congruentes si elles ont exactement la même forme et la même taille.
Deux formes sont similaires si elles ont exactement la même forme mais des tailles différentes.
Le terme forme fait ici référence à la forme générale de deux (ou plusieurs) formes données dans le plan. Comme dans notre exemple ci-dessus, les formes A et B sont classées comme des carrés tandis que les formes C et D sont classées comme des rectangles. D'autre part, le terme taille fait référence aux dimensions ou aux mesures de la figure.
Le test de similitude et de congruence
Voici maintenant une question intéressante : Comment prouver qu'une paire de formes est similaire ou congruente ?
Eh bien, la réponse se trouve dans les transformations ! Rappelle qu'une transformation est un mouvement dans le plan par lequel tu peux changer la taille ou la position d'une forme. Les exemples incluent la réflexion, la rotation, la translation et la dilatation (agrandissement). Le test de similitude et de congruence des formes comporte deux idées :
Si une image reprend sa forme initiale après une rotation, une translation ou une réflexion, alors elle est congruente.
Des formes similaires peuvent avoir des orientations différentes. L'image d'une forme après dilatation est similaire à sa forme d'origine.
Veille à te familiariser avec ces idées afin de pouvoir identifier efficacement les formes similaires et congruentes. Voici un exemple qui en témoigne.
Nous avons ici deux trapèzes isocèles appelés M et N.
Les trapèzes isocèles M et N
Identifie s'ils sont similaires ou congruents.
Solution
Compte tenu des informations ci-dessus, M et N ont exactement les mêmes formes. Cependant, ils semblent avoir des orientations différentes. Essayons de faire pivoter le trapèze N de 180o vers la droite.
Les trapèzes isocèles M et N après la rotation
Après cette rotation, nous constatons que M et N ont la même orientation.Nous allons maintenant observer les dimensions données. Les pattes de M et de N mesurent 8 cm. De plus, leurs bases supérieure et inférieure sont identiques, avec des mesures respectives de 3 cm et 5 cm.
Comme le trapèze N a exactement la même forme et la même taille que le trapèze M après rotation, nous pouvons en déduire que les deux formes sont congruentes l'une à l'autre.
Supposons que M et N soient présentés dans les orientations suivantes. Leurs dimensions d'origine sont restées les mêmes que ci-dessus. Sont-elles toujours congruentes ?
Les trapèzes isocèles M et N après réflexion
Il s'agit simplement d'un cas où une réflexion est impliquée. Remarque que M et N sont des reflets l'un de l'autre. Ils produisent la même forme après réflexion. Ainsi, M et N conservent leur congruence.
Examinons maintenant un problème de similitude.
Nous avons ici deux autres trapèzes isocèles P et Q.
Les trapèzes isocèles P et Q, Study Smarter Originals
Détermine s'ils sont similaires ou congruents.
Solution
Comme indiqué dans la description, nous avons deux trapèzes isocèles P et Q. Ils ont la même forme mais ont des orientations différentes. De plus, remarque que les dimensions du trapèze Q sont deux fois supérieures à celles du trapèze P. Ainsi, Q est deux fois plus grand que P puisque
Jambe de P = 5 cm = 2 Jambe de Q = 2 × 5 cm = 10 cm
Base supérieure de P = 2 cm = 2 × Base supérieure de Q = 2 × 2 cm = 4 cm
Base inférieure de P = 4 cm = 2 × Base supérieure de Q = 2 × 4 cm = 8 cm
En d'autres termes, le trapèze Q est une dilatation de magnitude 2 du trapèze P. Ils sont donc similaires.
Triangles congruents
Dans cette section, nous allons observer les propriétés de congruence des triangles.
On dit qu'une paire de triangles est congruente si la longueur de ses trois côtés et la mesure de ses trois angles sont exactement les mêmes.
Un triangle peut changer de position mais conserver la longueur de ses côtés et la mesure de ses angles par rotation, réflexion et translation.
Rotation | Réflexion | Traduction |
Rotation |
Réflexion |
Traduction |
Lorsque tu résous des triangles congruents, fais attention à l'emplacement des côtés ou des angles égaux. Lorsque l'on compare deux triangles, l'orientation joue un rôle très important !
Il existe cinq façons d'identifier si une paire de triangles donnés est congruente. Note que les lettres A, S, H et L représentent respectivement les termes Angle, Côté, Hypoténuse et Jambe.
La jambe d'un triangle rectangle décrit la longueur des côtés adjacents et opposés.
Théorème de congruence | Concept | Exemple |
SSS Congruence | Si trois côtés d'un triangle sont égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents. |
Congruence SSS |
Congruence SAS | Si deux côtés et un angle inclus d'un triangle sont égaux aux deux côtés et à l'angle inclus correspondants d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents. |
Congruence SAS |
Congruence ASA | Si deux angles et un côté inclus d'un triangle sont égaux aux deux angles et au côté inclus correspondants d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents. |
Congruence ASA |
Congruence AAS | Si deux angles et un côté non inclus d'un triangle sont égaux aux deux angles correspondants et au côté non inclus d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents. |
Congruence AAS |
Congruence HL (Ne s'applique qu'aux triangles rectangles) | Si l'hypoténuse et une branche d'un triangle rectangle sont égales à l'hypoténuse et à la branche correspondantes d'un autre triangle rectangle, alors les deux triangles sont congruents. |
Congruence HL |
Si trois angles d'un triangle sont égaux à trois angles d'un autre triangle, les deux triangles peuvent pas nécessairement être congruents car ils peuvent être de tailles différentes.
Triangles semblables
En restant dans le domaine des triangles, nous allons maintenant étudier leurs propriétés de similitude.
On dit d'une paire de triangles qu'ils sont similaires si leurs trois angles sont égaux et que les côtés correspondants ont le même rapport.
Essentiellement, deux triangles sont semblables s'ils ne varient que par leur taille. Cela signifie que toutes les transformations mentionnées précédemment - réflexion, rotation, translation et dilatation - sont autorisées entre deux triangles semblables.
Théorèmes de similitude
Il existe quatre façons de déterminer si une paire de triangles donnés est similaire.
Théorème de similitude | Concept |
AA Similitude | Si deux triangles ont deux angles égaux, alors les triangles sont similaires.
Similitude AA |
Similitude SAS | Si deux triangles ont deux paires de côtés de même rapport et un angle inclus égal, alors les triangles sont semblables.
Similitude SAS |
Similitude SSS | Si deux triangles ont trois paires de côtés de même rapport, alors les triangles sont similaires.
Similitude SSS |
Théorème de la séparation des côtés |
Théorème du séparateur de côtés Pour un triangle ADE, si BC est parallèle à DE, alors \(\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}\) |
Théorème de la bissectrice |
Théorème de la bissectrice Pour un triangle ABC, si AD coupe l'angle BAC, alors \ (\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}\ ) |
Une bissectrice divise un angle en deux moitiés égales.
Surfaces de formes similaires
Pour en revenir à la définition concernant deux formes semblables, tu dois avoir à l'esprit ce mot important : rapports. Les rapports entre les longueurs des deux côtés correspondants de deux formes données permettent d'établir une relation entre leurs surfaces. Cela nous amène à l'énoncé suivant pour l'aire des formes semblables.
Étant donné une dilatation (ou un agrandissement) d'un facteur d'échelle \(n\), l'aire de la forme plus grande est \(n^2\) fois l'aire de la forme plus petite.
En général,si deux formes similaires ont des côtés dans le rapport \(x:y\), alors le rapport de leurs surfaces est \(x^2:y^2\) .
Remarque que le facteur d'échelle a un exposant égal à 2. Démontrons-le à l'aide du diagramme suivant. Nous avons ici deux formes, M et N.
L'aire des formes similaires M et N
L'aire de la forme M est
\N-[\N-texte{Aire de M}=a \Nfois b\N]
et l'aire de la forme N est
\[\text{Aire de N}=na \times nb=n^2 ab\]
où \(n\) est le facteur d'échelle dans ce cas. Voici un exemple qui illustre cette idée.
Les rectangles A et B sont semblables. L'aire du rectangle A est de 10 cm2 et l'aire du rectangle B est de 360 cm2. Quel est le facteur d'échelle de l'agrandissement ?
Exemple 1, StudySmarter Originals
Solution
Nous pouvons utiliser la formule \(\text{Area A}n^2=\text{Area B}\) pour déterminer le facteur d'échelle \(n\) (réfère-toi aux formes M et N montrées précédemment). Étant donné les aires de A et B, nous obtenons
\[10n^2=360\]
En divisant 10 des deux côtés,
\[n^2=36\]
En prenant la racine carrée de 36, on obtient ,
\[n=6\]
Note que le facteur d'échelle est toujours considéré comme positif !
Le facteur d'échelle est donc de 6.
Prenons un autre exemple.
Les carrés X et Y sont semblables. Les côtés des carrés X et Y ont des longueurs données par le rapport \(3:5\). Le carré X a un côté de 6 cm.
Exemple 2, StudySmarter Originals
- Trouve la longueur du côté de Y.
- Calcule l'aire de Y.
- Déduis le rapport entre l'aire X et l'aire Y.
Solution
Question 1 : Ici, nous pouvons simplement utiliser le rapport donné.
\[\text{Longueur du côté X}:\text{Longueur du côté Y}=3:5\]
En exprimant ce rapport en fractions, on obtient
\[\frac{3}{5}=\frac{6}{\text{Longueur du côté Y}}\]
En résolvant ce problème, on obtient
\[\text{Longueur du côté Y}=\frac{6{fois 5}{3}=10\]
La longueur du côté Y est donc de 10 cm.
Question 2 : Ensuite, nous allons utiliser la formule de l'aire du carré. Puisque nous avons trouvé la longueur du côté Y dans la question 1, qui est de 10 cm, nous pouvons évaluer l'aire comme suit
\[\texte{Aire Y}=10\\Nfois 10=100\N]
L'aire de Y est donc de 100 cm2.
Question 3 : Ici, nous devons d'abord déduire l'aire du carré X. Étant donné que la longueur de son côté est de 6 cm, alors
\N-[\N-texte{Aire X}=6\Nfois 6=36\N]
L'aire du carré X est donc de 36cm2. Comme nous avons maintenant trouvé les aires de X et de Y, nous pouvons écrire le rapport de \(\text{Area X}:\text{Area Y}\) comme suit
\[36:100\]
Pour simplifier, nous devons diviser le rapport par 4 des deux côtés. Nous obtenons ainsi ,
\[9:25\]
Ainsi, le rapport entre la surface X et la surface Y est \N(9:25\N).
Volumes de formes similaires
Le volume des formes similaires suit la même idée que la surface des formes similaires. Comme précédemment, les rapports entre les longueurs de deux côtés correspondants de deux formes données établiront une relation entre leurs volumes. À partir de là, nous pouvons déduire une idée générale pour le volume des formes similaires.
Étant donné une dilatation (ou un agrandissement) d'un facteur d'échelle \(n\), le volume de la forme plus grande est \(n^3\) fois le volume de la forme plus petite.
Essentiellement,si deux formes similaires ont des côtés dans le rapport \(x:y\), alors le rapport de leurs volumes est \(x^3:y^3\) .
Observe que le facteur d'échelle est de puissance 3. Nous allons maintenant illustrer ce concept dans la figure ci-dessous. Nous avons ici deux formes, P et Q.
Le volume des formes similaires P et Q, StudySmarter Originals
Le volume de la forme P est
\[\text{Volume de P}=a \times b\times c\]
et le volume de la forme Q est
\[\text{Volume de Q}=na \times nb\times nc=n^3 abc\]
où \(n\) est le facteur d'échelle dans ce cas. Pour obtenir une vision plus claire, regardons quelques exemples travaillés.
Nous avons ici deux prismes triangulaires similaires M et N. Le volume de M est de 90 cm3. Quel est le volume de N ? Quel est le rapport entre le volume M et le volume N ?
Exemple 3
Solution
Pour aborder ce problème, nous devons d'abord trouver le facteur d'échelle de l'agrandissement. Remarque qu'une paire de longueurs de côté correspondantes de M et N est donnée dans la figure ci-dessus. Nous pouvons utiliser cette information pour trouver le facteur d'échelle inconnu.
\N- [\Nfrac{21}{7}=3\N]
Ainsi, \(n=3\) est le facteur d'échelle. À partir de là, nous pouvons utiliser la formule \(\text{Volume M}n^3=\text{Volume N}\) (se référer aux formes P et Q montrées précédemment) pour trouver le volume de N. Ainsi ,
\[90\times 3^3=\text{Volume N}\]
En résolvant ce problème, on obtient
\[\text{Volume N}=2430\]
Par conséquent, le volume de N est de 2430 cm3.
Puisque nous avons déduit les volumes de M et de N, nous pouvons écrire le rapport de \(\text{Volume M}:\text{Volume N}\) comme suit
J'ai quelques minutes de retard ; ma réunion précédente se prolonge.
\[90:2430\]
En simplifiant ce résultat en divisant les deux côtés par 90, nous obtenons
\[1:27\]
Ainsi, le rapport entre le volume M et le volume N est \N(1:27\N).
Voici un autre exemple pratique.
Nous avons ici deux prismes rectangulaires P et Q. Les volumes de P et Q sont donnés par 30 cm3 et 3750 cm3 respectivement. Détermine les dimensions de Q.
Exemple 4
Solution
La première chose à faire ici est de trouver le facteur d'échelle de l'agrandissement, \(n\N). Comme on nous donne le volume de P et de Q, nous pouvons utiliser la formule \ (\text{Volume P}n^3=\text{Volume Q}\). Ce faisant, nous obtenons
\[30n^3=3750\]
En divisant les deux côtés par 30, on obtient
\[n^3=125\]
En prenant la racine cubique de 125, on obtient
\[n=5\]
Le facteur d'échelle est donc égal à 5. Étant donné que la hauteur, la largeur et la longueur de P sont respectivement de 1 cm, 5 cm et 7 cm, il suffit de multiplier chacun de ces éléments par le facteur d'échelle que nous avons trouvé pour en déduire les dimensions de Q.
Hauteur de Q (=1 fois 5=5)
Largeur de Q (=5 fois 5=25)
Longueur de Q (=7 fois 5=35)
Par conséquent, la hauteur, la largeur et la longueur de Q sont respectivement de 5 cm, 25 cm et 35 cm.
La surface et le volume des formes congruentes sont toujours les mêmes !
Exemples de formes similaires et congruentes
Dans cette dernière section, nous allons observer quelques exemples plus travaillés qui résument tout ce que nous avons appris tout au long de cette discussion.
Les formes similaires A, B et C ont des surfaces dans le rapport \(16:36:81\). Quel est le rapport de leur hauteur ?
Exemple 5
Solution
Désignons les surfaces de A, B et C par \(a^2\), \(b^2\) et \(c^2\) respectivement. Le rapport de ces surfaces est donné par \ (16:36:81\). Ce rapport peut également être exprimé par \N(a^2:b^2:c^2\).
Rappelle-toi que si deux formes similaires ont des côtés dans le rapport \N(x:y\N), alors le rapport de leurs surfaces est \N(x^2:y^2\N). Dans ce cas, nous avons trois côtés !
Le rapport de leur hauteur est \ (a:b:c\). Il suffit donc de trouver la racine carrée de chaque composante du rapport des surfaces de A, B et C pour déterminer le rapport de leurs hauteurs. Étant donné le rapport des surfaces \ (16:36:81\), la racine carrée de 16, 36 et 81 est 4, 6 et 9 . Par conséquent, le rapport des hauteurs de A, B et C est le suivant
\[4:6:9\]
Voici un autre exemple.
Les formes X et Y sont similaires. Calcule la surface de B.
Exemple 6
Solution
Pour commencer, calculons d'abord la surface de X.
\[\texte{Surface de X}=2\times[(8\times 4)+(4\times 20)+(8\times 20)]=2\times 272=544\]
La surface de X est donc de 544 cm2. Nous allons maintenant comparer les longueurs correspondantes afin de trouver le facteur d'échelle de l'agrandissement. On nous donne ici les longueurs de X et de Y.
\N- [\N- \Nfrac{40}{20}=2\N]
Le facteur d'échelle est donc \(n=2\). Nous pouvons maintenant utiliser ces informations pour trouver la surface de Y en utilisant la formule \(\text{Surface Area X}n^2=\text{Surface Area Y}\)
\[544\Nfois 2^2=\text{Surface Y}\N]
En résolvant ce problème, on obtient
\[\text{Surface Area Y}=544\times 4=2176\]
Par conséquent, la surface de Y est de 2174 cm2.
Examinons l'exemple suivant.
Tu trouveras ci-dessous 3 paires de triangles congruents. Détermine le type de congruence qu'elles présentent et explique ta réponse.
| A | B | C |
Exemple 7(a) |
Exemple 7(b) |
Exemple 7(c) |
Solution
La paire A est une congruence SAS puisque deux côtés et un angle inclus du triangle bleu sont égaux aux deux côtés et à l'angle inclus correspondants du triangle jaune.
La paire B est une congruence AAS puisque deux angles et un côté non inclus du triangle blanc sont égaux aux deux angles et au côté non inclus du triangle orange.
La paire C est une congruence ASA puisque deux angles et un côté inclus du triangle vert sont égaux aux deux angles et au côté inclus correspondants du triangle rose.
Tu as presque terminé ! Voici un autre exemple pour toi.
Deux solides similaires ont des longueurs de côté dans le rapport \(4:11\).
- Quel est le rapport de leurs volumes ?
- Le plus petit solide a un volume de 200 cm3. Quel est le volume du plus grand solide ?
Solution
Désignons le plus petit solide par X et le plus grand par Y, etles longueurs latérales de X et Y par \(x\) et \(y\) respectivement. Le rapport de leurs longueurs latérales s'écrit \N (x:y\N) et est donné par \N (4:11\N).
Question 1 : Rappelle-toi que si deux formes similaires ont des côtés dans le rapport \N(x:y\N), alors le rapport de leurs surfaces est \N(x^2:y^2\N). Il suffit donc de mettre au carré les composantes du rapport des longueurs des côtés X et Y pour calculer le rapport de leurs volumes. Le carré de 4 et 11 est respectivement 16 et 121. Ainsi, le rapport entre le volume X et le volume Y est le suivant
\[16:121\]
Question 2 : En exprimantce rapport sous forme defractions , on obtient
\[\frac{\text{Volume X}}{\text{Volume Y}}=\frac{16}{121}\]
Notons maintenant le volume donné de X,
\[\frac{200}{\text{Volume Y}}=\frac{16}{121}\]
En réarrangeant cette expression, on obtient
\[\text{Volume Y}=\frac{200{fois 121}{16}\]
En résolvant ce problème, on obtient
\[\text{Volume Y}=\frac{3025}{2}=1512.5\]
Le volume de Y est donc de 1512,5 cm3.
Formes similaires et congruentes - Principaux enseignements
- Deux formes sont congruentes si elles ont exactement la même forme et la même taille.
- Deux formes sont similaires si elles ont exactement la même forme mais des tailles différentes.
- Si une image reprend sa forme initiale après une rotation, une translation ou une réflexion, alors elle est congruente.
- Des formes similaires peuvent avoir des orientations différentes.
- L'image d'une forme après dilatation est similaire à sa forme d'origine.
- Deux triangles sont dits congruents si la longueur de leurs trois côtés et la mesure de leurs trois angles sont exactement les mêmes.
- On dit que deux triangles sont semblables si leurs trois angles sont égaux et que les côtés correspondants ont le même rapport.
- Si deux formes semblables ont des côtés dans le rapport \(x:y\), alors le rapport de leurs surfaces est \ (x^2:y^2\).
- Si deux formes similaires ont descôtés dans le rapport \N(x:y\N), alors le rapport de leurs volumes est \N (x^3:y^3\N) .
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