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Sauter à un chapitre clé
On trouve des trajectoires arquées pour d'autres activités impliquant des projectiles, notamment tirer un boulet de canon et frapper une balle de golf. Dans ces scénarios, tu peux utiliser les fonctions quadratiques pour savoir à quelle hauteur l'objet va voyager et où il va atterrir.
Dans cette explication, nous allons explorer les différentes formes de fonctions quadratiques, et voir comment les convertir de l'une à l'autre.
Quelles sont les formes de fonctions quadratiques ?
Il existe trois formes de fonctions quadratiques couramment utilisées.
- Forme standard ou générale: \(y=ax^2+bx+c\)
- Forme factorisée ou d'ordonnée à l'origine: \(y=a(bx+c)(dx+e)\)
- Forme du sommet: \N(y=a(x-h)^2+k\N)
Chacune de ces formes peut être utilisée pour déterminer différentes informations sur la trajectoire d'un projectile. Comprendre les avantages de chaque forme d'une fonction quadratique te sera utile pour analyser les différentes situations qui se présenteront à toi.
Forme standard (forme générale) d'une fonction quadratique
Le graphique d'une fonction quadratique est une courbe appelée parabole. Toutes les paraboles sont symétriques avec un point maximum (le plus haut) ou minimum (le plus bas). Le point où une parabole rencontre son axe de symétrie est appelé le sommet. Ce sommet sera soit le point maximum, soit le point minimum du graphique.
Forme standard d'une fonction quadratique: \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a, b\), et \(c\) sont des constantes avec \(a\neq 0\).
L'un des avantages de la forme standard est que tu peux rapidement identifier le comportement final et la forme de la parabole en regardant la valeur de \(a\) dans l'équation de la fonction. Cette valeur de a est également appelée coefficient directeur de l'équation de forme standard. Si la valeur de a est positive, la parabole s'ouvre vers le haut. Si la valeur de \(a\) est négative, la parabole s'ouvre vers le bas.
Fig. 1. Parabole ascendante et descendante.
Voici le graphique de la fonction quadratique, \(f(x)=3x^2+2x-1\). Comme il s'agit d'une équation quadratique sous forme standard, nous pouvons voir que \(a=3\). Remarque qu'avec une valeur positive de \(a\N), la parabole s'ouvre vers le haut.
Fig. 2. Forme standard.
Voici le graphique de la fonction quadratique, \(f(x)=-3x^2+2x+1\). Comme il s'agit d'une équation quadratique sous forme standard, nous pouvons voir que \(a=-3\). Remarque qu'avec une valeur négative de \(a\), la parabole s'ouvre vers le bas.
Fig. 3. Exemples de fonctions quadratiques sous forme standard sur un graphique.
La forme standard est utile pour
Trouver l'ordonnée à l'origine. Cela peut se faire en réglant \N(x=0\N).
Introduire la formule quadratique en identifiant les valeurs réelles de \N(a, b) et \N(c).
Trouver l'axe de symétrie en utilisant \(x=\dfrac{-b}{2a}\).
La forme factorisée (forme d'ordonnée à l'origine) d'une fonction quadratique
Forme factorisée d'une fonction quadratique: \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\), où \(a\) est une constante et \(r_1\) et \(r_2\) sont les racines de la fonction.
La forme factorisée d'une fonction quadratique, comme la forme standard, est utile pour déterminer le comportement final en analysant la valeur de \(a\). Comme pour la forme standard, le signe de a détermine si la parabole s'ouvrira vers le haut ou vers le bas.
La forme factorisée présente l'avantage supplémentaire de révéler facilement les racines , ou les x-intercepts, de la fonction par l'application de la propriété du produit nul.
Propriété du produit zéro : Si \(a\Nfois b=0\N), alors soit \N(a=0\N), soit \N(b=0\N).
Pour une équation de fonction quadratique sous la forme factorisée \N(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\N), nous pouvons appliquer la propriété du produit nul pour déterminer quand \N(f(x)\Nest égal à zéro. En d'autres termes, lorsque \(x-r_1=0\) ou \(x-r_2=0\) le graphique touchera l'axe des x.
Trouve les racines de la fonction quadratique \(f(x)=(2x+1)(x-4)\).
Solution :
Lorsqu'on te demande de trouver les racines d'une fonction, on te demande de trouver les valeurs x qui donnent \(f(x)=0\). En d'autres termes, tu veux identifier les ordonnées à l'origine.
En utilisant la propriété du produit nul ;
$$2x+1=0$$
ou
$$x-4=0$$
Résous la première équation :
\[\begin{align} 2x+1&=0\\2x&=-1\\x&=-\dfrac{1}{2}\end{align}\]
En résolvant la deuxième équation :
\[\begin{align}x-4&=0\\x&=4\end{align}\]
Par conséquent, les racines de la fonction sont \(x=-\dfrac{1}{2}\) et \(x=4\).
Le graphique de la parabole sous forme factorisée \N(f(x)=-(x+2)(x-3)\Nest orienté vers le bas parce que \N(a = -1\N).
En appliquant la propriété du produit nul, nous trouvons que les racines sont : \N(x=-2\N) et \N(x=3\N).
Fig. 4. Forme factorisée.
Il est important de noter que toutes les fonctions ou équations quadratiques n'ont pas de racines réelles. Certaines quadratiques ont des nombres imaginaires comme racines, et par conséquent, la forme factorisée n'est pas toujours applicable.
Forme du sommet d'une fonction quadratique
Forme du sommet d'une fonction quadratique: \(f(x)=a(x-h)^2+k\), où \(a, h\), et \(k\) sont des constantes.
Comme l'indique son nom, à partir de la forme du sommet, nous pouvons facilement identifier le sommet de la fonction quadratique à l'aide des valeurs de \(h\N) et \N(k\N). De même, comme pour la forme standard et la forme factorisée, nous pouvons déterminer le comportement final du graphique en regardant la valeur a.
La fonction quadratique \(f(x)=-7(x-2)^2+16\) est sous forme de sommet.
La valeur de \(a\) est \(-7\). Par conséquent, le graphique s'ouvre vers le bas.
Rappelle-toi que la forme du sommet d'une équation quadratique est la suivante
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$$ et l'équation donnée est la suivante
et l'équation donnée est
$$f(x)=-7(x-2)^2+16$$
À titre de comparaison, \(h\) est \(2\), tandis que \(k\) est \(16\).
Le sommet est \N((2, 16)\N) parce que \N(h = 2\N) et \N(k = 16\N).
Le sommet est le point où l'axe de symétrie rencontre la parabole. C'est aussi le point minimum d'une parabole qui s'ouvre vers le haut ou le point maximum d'une parabole qui s'ouvre vers le bas.
Considère la fonction quadratique \(f(x)=3(x-2)^2-1\) sous la forme d'un sommet.
Fig. 5. Forme du sommet.
D'après l'équation de la forme du sommet, \(a = 3\). Par conséquent, le graphique s'ouvre vers le haut.
Rappelle que la forme du sommet d'une équation quadratique est la suivante.
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$$
et l'équation donnée est
$$f(x)=3(x-2)^2-1$$$.
Par comparaison, \(h\) est \(2\), tandis que \(k\) est \(-1\).
Puisque \(h=2\N) et \N(k=-1\N), le sommet est situé au point \N((2,-1)\N). Ce sommet est situé sur l'axe de symétrie de la parabole. Par conséquent, l'équation de l'axe de symétrie de cette fonction quadratique est \(x=2\). Remarque que l'axe de symétrie est situé sur la valeur x du sommet.
Conversion entre différentes formes de fonctions quadratiques
Différents scénarios peuvent t'obliger à résoudre différentes caractéristiques clés d'une parabole. Il est utile de pouvoir convertir la même équation de fonction quadratique en différentes formes.
Par exemple, on peut te demander de trouver les zéros, ou les ordonnées à l'origine, d'une équation de fonction quadratique donnée sous la forme standard. Pour trouver efficacement les zéros, nous devons d'abord convertir l'équation sous forme factorisée.
Conversion d'une fonction quadratique de la forme standard à la forme factorisée
Convertit \(f(x)=2x^2+7x+3\) en forme factorisée.
Solution :
Pour passer de la forme standard à la forme factorisée, nous devons factoriser l'expression \(2x^2+7x+3\).
Rappelons à quoi ressemble la forme factorisée : \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\).
Pour factoriser l'expression , nous pouvons la factoriser par regroupement .
Pour cela, trouve les facteurs du produit des valeurs de \(a\) et \(c\) qui s'additionnent également pour former \(b\). Dans ce cas, \N(6\N) est le produit de \N(a\N) et \N(c\N), et \N(b=7\N). Nous pouvons dresser la liste des facteurs de \N(6\N) et de leurs sommes comme suit :
Facteurs de \(6\) ;
- \N- \N(1\N) et \N(6\N) : \(1+6=7\)
- \N- \N- \N- \N(2\N) et \N(3\N) : \(2+3=5\)
Les deux valeurs dont le produit est \N(6\N) et dont la somme est \N(7\N) sont \N(1\N) et \N(6\N). Nous pouvons maintenant séparer le terme du milieu et réécrire l'expression comme suit :
$$2x^2+7x+3=(2x^2+6x)+(x+3)$$
Nous pouvons maintenant calculer le facteur de croissance global de chaque groupe. Dans ce cas, \(2x\) peut être factorisé à partir des deux premiers termes et \(1\) peut être factorisé à partir des deux derniers termes. Par conséquent, nous pouvons factoriser l'expression entière en appliquant la propriété distributive.
$$2x(x+3)+1(x+3)$$$(2x+1)(x+3)(x+3)
$$(2x+1)(x+3)$$$(2x+1)(x+3)$$.
Par conséquent, notre équation résultante sous forme factorisée est \(f(x)=(2x+1)(x+3)\).
Nous pouvons maintenant trouver les zéros, les racines ou les ordonnées à l'origine en mettant l'équation de la fonction égale à zéro et en appliquant la propriété du produit nul.
$$(2x+1)(x+3)=0$$
$$2x+1=0$$
$$2x=-1$$
$$x=-\dfrac{1}{2}$$$
ou
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
Par conséquent, les zéros de la fonction \(f(x)=2x^2+7x+3\) sont \(-dfrac{1}{2}\) et \(-3\).
Fig. 6. Exemple de conversion sur un graphique.
Conversion d'une fonction quadratique de la forme standard à la forme sommet.
Au lieu de résoudre les zéros d'une fonction quadratique, on pourrait plutôt nous demander le sommet. Par exemple, on peut nous demander de trouver le sommet d'une fonction ou d'une équation quadratique.
Pour trouver le sommet, il serait utile de convertir l'équation de forme standarden forme de sommet.
Rappelle-toi que la forme du sommet de l'équation de la fonction quadratique est \(f(x)=a(x-h)^2+k\).
Pour passer de la forme standard à la forme sommet, nous pouvons utiliser une stratégie appelée compléter le carré. En fait, nous utilisons le raisonnement algébrique pour créer un trinôme qui peut être transformé en carré parfait .
Trinôme carré parfait: une expression obtenue en élevant au carré une équation binomiale. Il se présente sous la forme \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).
Pour faire simple, nous devons choisir stratégiquement une constante à ajouter à l'équation qui nous permet de factoriser l'expression comme un carré parfait. Cela créera la partie \((x-h)^2\) de l'équation de la forme du sommet.
Convertis la fonction quadratique \(f(x)=-3x^2-6x-9\) en forme de sommet.
Solution :
Étape 1 :
Si nous avons un coefficient principal différent de un, nous pouvons factoriser cette valeur à l'extérieur du trinôme en tant que facteur commun. Rappelle que le coefficient principal est le nombre devant \(x^2\). Dans ce cas, le premier coefficient est \(-3\).
$$y=-3(x^2+2x+3)$$$
Étape 2 :
Nous devons déterminer la valeur à ajouter à l'équation qui créera un trinôme carré parfait d'un côté. Cette valeur sera toujours \N(\Ngauche(\Ndfrac{b}{2}\Ndroite)^2\N). Dans notre trinôme résultant, \(b = 2\). Par conséquent :
$$\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1^2=1$$
Nous pouvons maintenant ajouter cette valeur en tant que constante dans notre trinôme. Tu te dis peut-être : "comment pouvons-nous choisir un nombre à ajouter au trinôme ?". Nous ne pouvons ajouter la valeur que si nous la soustrayons également ! De cette façon, nous ajoutons effectivement \(0\) au trinôme. Le résultat ressemblera à ceci :
$$y=-3(x^2+2x+1-1+3)$$
Tu remarqueras qu'en procédant ainsi, nous avons obtenu un trinôme carré parfait (d'où le nom de la stratégie "compléter le carré"). Nous avons maintenant créé un trinôme carré parfait comme les trois premiers termes de la parenthèse, que nous pouvons transformer en carré d'un binôme.
$$y=-3((x+1)^2-1+3)$$
$$y=-3((x+1)^2+2)$$$
En distribuant le \(-3\), on obtient ce qui suit :
$$y=-3(x+1)^2-6$$.
Rappelle que la forme du sommet d'une équation quadratique s'exprime comme suit
$$f(x)=a(x-h)^2+k$$$
et tu as
$$y=-3(x+1)^2-6$$$
Par conséquent, \(h\) est \(-1\), tandis que \(k\) est \(-6\).
Nous avons maintenant notre équation quadratique sous forme de sommet. Sous cette forme, nous voyons que le sommet, \N((h,k)\N) est \N((-1,-6)\N).
Convertir une fonction quadratique de la forme factorisée à la forme standard
La conversion d'une équation de fonction quadratique de la forme factorisée à la forme standard implique de multiplier les facteurs. Tu peux le faire en appliquant la propriété distributive, parfois appelée méthode FOIL.
Convertit la fonction quadratique (f(x)=(3x-2)(-x+7)\) en forme standard.
Solution :
En utilisant la double distribution, ou FOIL, nous multiplions les facteurs \((3x-2)\) et \((-x+7)\) ensemble. Ainsi :
$$f(x)=(3x)(-x)+(3x)(7)+(-2)(-x)+(-2)(7)$$
$$f(x)=-3x^2+21x+2x-14$$
$$f(x)=-3x^2+23x-14$$
Nous avons maintenant l'équation réécrite sous forme standard. À partir de là, nous pouvons identifier l'axe de symétrie et l'ordonnée à l'origine.
Conversion d'une fonction quadratique de la forme du sommet à la forme standard
Enfin, il peut arriver que tu doives convertir l'équation d'une fonction quadratique de la forme du sommet à la forme standard.
Convertis l'équation \(f(x)=2(x+7)^2-10\) en forme standard.
Solution :
Nous allons développer l'expression \((x+7)^2\), en utilisant à nouveau la double distribution pour multiplier. Ensuite, distribue la valeur a dans le trinôme résultant. Enfin, nous combinons les termes semblables.
\[\begin{align}f(x)&=2(x+7)^2-10=\\&=2(x+7)(x+7)-10=\\&=2(x^2+14x+49)-10=\\&=2x^2+28x+98-10=\\&=2x^2+28x+88\end{align}\]
Nous avons maintenant l'équation réécrite sous forme standard. Une fois de plus, nous pouvons identifier l'axe de symétrie et l'ordonnée à l'origine.
Formes des fonctions quadratiques - Points clés à retenir
- Le graphique d'une fonction quadratique est une courbe appelée parabole. Les paraboles présentent plusieurs caractéristiques clés intéressantes, notamment un comportement final, des zéros, un axe de symétrie, une ordonnée à l'origine et un sommet.
- La forme standard d'une équation de fonction quadratique est \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a, b\), et \(c\) sont des constantes avec \(a\neq0\).
- La forme standard nous permet d'identifier facilement : le comportement de la fin, l'axe de symétrie et l'ordonnée à l'origine.
- La forme factorisée d'une fonction quadratique est \N(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\N).
- La forme factorisée nous permet d'identifier facilement : le comportement final et les zéros.
- La forme du sommet d'une fonction quadratique est \N(f(x)=a(x-h)^2+k\N), où \N(a, h\N) et \N(k\N) sont des constantes avec \N(a\Nneq 0\N).
- La forme du sommet nous permet d'identifier facilement : le comportement de la fin et le sommet.
- Nous pouvons utiliser les principes de multiplication polynomiale et de factorisation pour passer d'une forme à l'autre.
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