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Dérivation de la forme exponentielle des nombres complexes
Un nombre complexe s'exprime fondamentalement par \(z=a+ib\) où \(a\) et \(b\) sont des constantes à valeur réelle et \(b≠0\). Nous connaissons également une autre forme qui implique également l'argument d'un nombre complexe, à savoir la forme polaire d'un nombre complexe.
Rappelle que la forme polaire d'un nombre complexe dont l'argument est \N(\Ntheta\N) est donnée comme suit :
$$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$$
où \(r\) est le module du nombre complexe : \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
Il existe une façon plus compacte d'écrire cela : sous forme exponentielle. Mais d'où vient cette forme exponentielle ? La réponse est la formule d'Euler.
Formule d'Euler
C'est sans surprise que nous rencontrons Leonhard Euler, ici aussi, comme dans presque toutes les autres branches des mathématiques. Il existe une équation très élégante qui regroupe les fonctions exponentielles, les nombres complexes et les fonctions trigonométriques en une seule formule. Elle est connue sous le nom de formule d'Euler ou d'identité d'Euler.
La formule est la suivante :
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$$.
La preuve de cette équation dépasse malheureusement le cadre actuel de cet article. Le côté droit de l'équation est très familier si tu l'observes attentivement. Ce n'est rien d'autre qu'une partie intégrante de la forme polaire d'un nombre complexe.
La formule d'Euler a une conséquence très intéressante. Si nous fixons \(\theta=\pi\), nous obtenons la forme suivante :
$$ \begin{aligned} e^{i \pi} &=\cos \pi+i \sin \pi \\\NFlèche droite \quad & e^{i \pi}=-1+0 \NFlèche droite \quad & e^{i \pi}+1=0 \Nend{aligned} $$
Je suis presque sûr que tu l'as déjà vue ailleurs. Cette formule a déjà été élue par les mathématiciens du monde entier comme la plus belle formule de toutes les mathématiques. La raison en est qu'elle contient toutes les constantes les plus importantes des mathématiques : \(0,1, i, e\) et \(\pi\).
Forme polaire et formule d'Euler
Nous pouvons maintenant substituer la formule d'Euler à la forme polaire pour obtenir la forme exponentielle d'un nombre complexe. En substituant \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) dans \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) :
$$z=re^{i\theta}$$$.
ce qui correspond à ce que nous recherchions. Nous avons maintenant une formule qui convertit un nombre complexe sous forme simple en une forme exponentielle.
Note que \(\cos\theta+i\sin\theta\) est souvent abrégé en \(\rm{cis}\,\theta\) pour des raisons de commodité et pour éviter tout désordre.
Cette forme peut également être étendue aux puissances des nombres complexes, comme \(z^{3}=r^{3}e^{i3\theta}\), \(z^{4}=r^{4}e^{i4\theta}\) et ainsi de suite. En général : \(z^{n}=r^{n}e^{in\theta}\).
De la forme exponentielle à la forme rectangulaire
De temps en temps, on peut souhaiter obtenir la forme rectangulaire d'un nombre complexe au lieu de la forme exponentielle. On peut convertir l'une en l'autre en comparant les deux formes, comme suit :
$$z=a+i b \hspace{5mm} \N-text{and} \hspace{5mm} z=r(\cos \theta+i \sin \theta)=r e^{i \theta}$$.
En comparant les RHS des deux équations ci-dessus,
$$a=r \cos \theta \hspace{5mm} \ \text{and} \hspace{5mm} b=r \sin \theta$$$
où \(r\) est la magnitude de \(z\) donc nous avons
$$\cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \hspace{5mm} \N-text{and} \N- \N- \N espace{5mm} \sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
En substituant \(\sin \theta\) et \(\cos \theta\) dans la forme exponentielle :
$$z=r e^{i \theta} \NFlèche droite e^{i \theta}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\frac{i b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$$.
On peut donc convertir un nombre complexe donné sous forme exponentielle en forme rectangulaire à l'aide de la formule ci-dessus.
Calcul de la forme exponentielle des nombres complexes
Pour donner une idée de la façon dont la forme exponentielle d'un nombre complexe est représentée sur un plan complexe, nous devons tracer un graphique. Pour un nombre complexe \(z=re^{i\theta}\), le nombre complexe partira de l'origine et s'inclinera d'un angle \(\theta\) avec l'axe positif \(x-\).
Fig. 1 : Un nombre complexe sur un plan d'Argand.
La forme exponentielle est une façon très concise d'écrire les nombres complexes, et elle est également très utile puisqu'elle affiche l'argument et la magnitude du nombre complexe.
Une chose importante à noter à propos des nombres complexes sous cette forme est qu'un nombre complexe de la forme \(z=a+ib\) peut être écrit non pas sous une, mais sous plusieurs formes exponentielles. En effet, l'argument \(\theta\) appartient à l'intervalle \((0,2\pi]\) et la fonction peut atteindre la même valeur pour de nombreux arguments. Par exemple, \tan \frac{\pi}{4}=\tan \frac{5\pi}{4}\), ce qui implique également que \(re^{\frac{\pi i}{4}}=re^{\frac{5\pi i}{4}}\).
Pour les coordonnées rectangulaires, il n'y a qu'une seule forme possible à la fois. C'est pourquoi, pour les formes exponentielles, afin d'éviter toute confusion, nous ne prenons en compte que l'argument principal d'un nombre complexe.
Suis les étapes ci-dessous pour convertir un nombre complexe en forme exponentielle:
A partir de \(z=a+ib\), trouve la magnitude de \(z\) : \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
Calcule maintenant l'argument principal du nombre complexe : \(\tan\theta=\frac{b}{a}\)
Ainsi, nous avons maintenant la forme exponentielle comme \(z=re^{i\theta}\)
Exemples de formes exponentielles de nombres complexes
Convertis le nombre complexe \(z=1+i\) en forme exponentielle.
Solution :
Tout d'abord, nous devons trouver la magnitude de ce nombre complexe :
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\N- &=\sqrt{1^2+1^2} \N- Par conséquent, r&=\sqrt{2} \N-END{aligned}}$$
Maintenant, nous devons calculer l'argument principal de \(z\) :
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{1}{1} \\ \therefore \theta &=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$$
Enfin, en substituant la magnitude et l'argument principal dans \(z=re^{i \theta}\) :
$$z=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$
Nous avons donc trouvé la forme exponentielle du nombre complexe \(z=1+i\).
Trouve la forme complexe du nombre complexe \(z=5\sqrt{2}-5\sqrt{6}i\).
Solution :
Tout d'abord, nous devons trouver la magnitude de ce nombre complexe :
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\ &=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(-5\sqrt{6})^2} \N- Par conséquent, r&=10\sqrt{2} \N-END{aligned}}$$
Maintenant, nous devons calculer l'argument principal de \(z\) :
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{-5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} \\N- \Ntan \Ntheta &=-\Nsqrt{3} \\Ndonc \Nthéta &=\frac{5\pi}{3}\end{aligned}$$.
Enfin, en substituant la magnitude et l'argument principal dans \(z=re^{i \theta}\) :
$$z=10\sqrt{2}e^{\frac{5\pi i}{3}}$$
Nous avons donc trouvé la forme exponentielle du nombre complexe
Convertir le nombre complexe \(z=\frac{5\sqrt{3}}{2}(1+i\sqrt{3})\) en sa forme exponentielle.
Solution :
Tout d'abord, nous devons trouver la magnitude de ce nombre complexe :
$$\begin{aligned} r&=\sqrt{a^2+b^2} \\N- &=\Nà gauche( \frac{5\sqrt{3}}{2} \Nà droite) \sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2} \Ndonc r&=5\sqrt{3} \NFin{aligné}$$
Maintenant, nous devons calculer l'argument principal de \(z\) :
$$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{b}{a} \tan \theta &=\frac{\sqrt{3}}{1} \\ \tan \theta &=\sqrt{3} \\ \therefore \theta &=\frac{\pi}{3}\end{aligned}$$
Remarquez que nous n'avons pas tenu compte de \(\frac{5\sqrt{3}}{2}\) puisqu'il s'annulerait éventuellement.
Enfin, en substituant la magnitude et l'argument principal à \(z=re^{i \theta}\) :
$$z=5\sqrt{3} e^{\frac{\pi i}{3}}$$.
Nous avons donc trouvé la forme exponentielle du nombre complexe.
Forme exponentielle des nombres complexes - Principaux enseignements
- Un nombre complexe peut toujours être exprimé sous une forme correspondante connue sous le nom de forme exp onentielle.
- Pour un nombre complexe \(z=a+ib\), la forme exponentielle est donnée par \(z=re^{i \theta}\), où \(r\) et \(\theta\) sont respectivement la magnitude et l'argument principal du nombre complexe.
- La forme exponentielle est une alternative à la forme polaire donnée par \(z=r(\cos\theta +i\sin\theta)\).
- La forme exponentielle est dérivée de l'identité d'Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
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