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Fonctions Trigonométriques

Q: Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique?

Une fonction trigonométrique est une fonction mathématique qui relaie les angles d'un triangle aux longueurs de ses côtés. Les principales sont: sinus, cosinus et tangente.

Q: À quoi servent les fonctions trigonométriques?

Les fonctions trigonométriques sont utilisées pour modéliser des phénomènes périodiques, comme les ondes, et pour résoudre des problèmes d'angles et de distances dans la géométrie.

Q: Quelle est la relation entre sinus et cosinus?

Le sinus et le cosinus sont des fonctions complémentaires: sin(x) = cos(90° - x). Ils sont liés au cercle trigonométrique.

Q: Comment se calcule la tangente d'un angle?

La tangente d'un angle se calcule en divisant le sinus de cet angle par son cosinus: tan(x) = sin(x) / cos(x).

Lors de la représentation graphique des fonctions trigonométriques, tu peux trouver des cas où les graphiques sont décalés sur le plan de coordonnées, soit vers la droite ou la gauche, soit vers le haut ou le bas. Ce type de transformation s'appelle une translation. Dans cet article, nous allons définir les différents types de translations de fonctions trigonométriques, et décrire les règles à suivre dans chaque cas à l'aide d'exemples pratiques.

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Last Updated: 01.01.1970
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Lestranslations de fonctions trigonométriques sont des transformations des graphiques de fonctions trigonométriques qui consistent à les décaler horizontalement ou verticalement.

Quels sont les types de translations de fonctions trigonométriques ?

Les différents types de translations de fonctions trigonométriques comprennent la translation horizontale, où le graphique se déplace vers la gauche ou vers la droite, et la translation verticale, où le graphique se déplace vers le haut ou vers le bas sur le plan de coordonnées. Voyons plus en détail comment calculer chacune de ces translations.

Traductions horizontales

Si tu as une fonction trigonométrique de la forme $y = a \sin b (θ - h)$ où $b > 0$ , alors le graphique du sinus, dans ce cas, sera déplacé de h unités vers la gauche ou la droite, selon que h est positif ou négatif. Ce type de translation est également appelé déphasage. Ce sont les deux cas possibles que tu trouveras :

Si h est négatif, alors le graphique sera décalé vers lagauche.

Le graphique de $y = \sin (θ + \frac{π}{2})$ est représenté ci-dessous. Le graphique du sinus est représenté par la ligne verte en pointillés, tu peux donc clairement voir qu'en ajoutant π/2 à l'intérieur des parenthèses, tout le graphique s'est décalé de π/2 vers la gauche.

Traductions des fonctions trigonométriques Traduction horizontale h négative StudySmarter Translation horizontale lorsque h est négatif - StudySmarter Originals

Remarque que, lorsque le graphique du sinus est déplacé vers la gauche de $\frac{π}{2}$ le graphique résultant est le graphique du cosinus.

Si h est positif, le graphique sera décalé vers la droite.

Le graphique de $y = \sin (θ - \frac{π}{2})$ ressemble à ceci :

Traductions des fonctions trigonométriques Traduction horizontale h positive StudySmarter Traduction horizontale lorsque h est positif - StudySmarter Originals

Traductions verticales

Si tu ajoutes une constante à une fonction trigonométrique $y = a \sin b (θ - h) + k$ , son graphique se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe des y d'autant d'unités que la valeur de la constante. Ce type de translation est également connu sous le nom de décalage vertical. Dans ce cas, tu obtiendras également une nouvelle ligne médiane, qui est $y = k$ et tu l'utiliseras comme nouvel axe horizontal de référence.

Si k est positif, le graphique sera décalé vers le haut.

Le graphique de $y = \sin θ + 2$ est illustré ci-dessous. La ligne médiane $y = 2$ est représentée par une ligne rouge en pointillés. Comme tu peux le voir, le graphique a été déplacé de 2 unités vers le haut.

Traductions des fonctions trigonométriques Traduction verticale k positive StudySmarter Translation verticale lorsque k est positif - StudySmarter Originals

Si k est négatif, alors le graphique sera déplacé vers le bas.

Le graphique de $y = \sin θ - 2$ montre que lorsque la constante est négative, le graphique est déplacé de 2 unités vers le bas. La nouvelle ligne médiane est $y = - 2$ .

Traductions des fonctions trigonométriques Traduction verticale k négative StudySmarter Translation verticale lorsque k est négatif - StudySmarter Originals

En général, les fonctions trigonométriques peuvent être écrites sous la forme :

$y = a \sin b (θ - h) + k y = a \cos b (θ - h) + k y = a \tan b (θ - h) + k$

Rappelle-toi qu'à partir des expressions ci-dessus, tu peux calculer l'amplitude, comme pour les sinus et les cosinus. $|a|$ pour le sinus et le cosinus. La fonction tangente n'a pas d'amplitude. De plus, la période de la fonction est $\frac{2 π}{|b|}$ pour le sinus et le cosinus, et $\frac{π}{|b|}$ pour la fonction tangente. Si tu as besoin de rafraîchir les notions de base sur l'amplitude et la période, tu peux lire la section Graphique des fonctions trigonométriques.

Toutes les translations horizontales et verticales expliquées ci-dessus peuvent être appliquées de la même manière aux graphes des cosinus et des tangentes. De plus, les graphiques réciproques des fonctions trigonométriques(cosécante, sécante et cotangente) peuvent également être translatés verticalement et horizontalement.

Quelles sont les règles dans la translation des fonctions trigonométriques ?

Voici les différentes règles que tu dois garder à l'esprit lors de la traduction des fonctions trigonométriques :

Trouve le décalage vertical, s'il y en a un, et représente graphiquement la ligne médiane. $y = k$ .
Trouve l'amplitude, le cas échéant. Trace des lignes en pointillés pour représenter les valeurs maximales et minimales de la fonction.
Calcule la période de la fonction.
Trace quelques points et joins-les à une courbe lisse et continue.
Détermine s'il y a un déphasage et traduis le graphique en fonction de la valeur de h.

Si la valeur de $a < 0$ , alors le graphique sera réfléchi sur l'axe des x.

Exemples de translations de fonctions trigonométriques

Trouve l'amplitude, la période, le décalage vertical et horizontal des fonctions trigonométriques suivantes, puis représente-les par un graphique :

a) $y = 2 \cos 2 (θ + \frac{π}{2}) + 1$

$k = 1 \Rightarrow$ le décalage vertical est de 1 (vers le haut), donc la ligne médiane est $y = 1$

$a = 2 \Rightarrow$ l'amplitude est de $|2| = 2$

$b = 2 \Rightarrow$ la période est $\frac{2 π}{|2|} = \frac{2 π}{2} = π$

$h = - \frac{π}{2} \Rightarrow$ le décalage horizontal est de $\frac{π}{2}$ à gauche

Traductions des fonctions trigonométriques Exemple de traduction du cosinus StudySmarter Exemple de traduction de la fonction cosinus - StudySmarter Originals

b) $y = - 4 \tan θ - 2$

$k = - 2 \Rightarrow$ le décalage vertical est de -2 (vers le bas), donc la ligne médiane est $y = - 2$

La fonction tangente n'a pas d'amplitude. Cependant , $a < 0$ Le graphique est donc réfléchi sur l'axe des x.

$b = 1 \Rightarrow$ la période est $\frac{π}{|1|} = \frac{π}{1} = π$

$h = 0 \Rightarrow$ il n'y a pas de déplacement horizontal

Traductions des fonctions trigonométriques Exemple de traduction de la tangente StudySmarter Exemple de translation de la fonction tangente - StudySmarter Originals

Translations des fonctions trigonométriques - Principaux enseignements

Les translations des fonctions trigonométriques sont des transformations des graphiques des fonctions trigonométriques qui impliquent de les déplacer horizontalement ou verticalement.
La translation horizontale signifie que le graphique se déplace vers la gauche ou vers la droite, et la translation verticale, que le graphique se déplace vers le haut ou vers le bas sur le plan de coordonnées.
Toutes les fonctions trigonométriques, y compris leurs réciproques, peuvent être translatées horizontalement ou verticalement.
Si la valeur de $a$ est négative, le graphique sera réfléchi sur l'axe des x.

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Questions fréquemment posées en Fonctions Trigonométriques

Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique?

Une fonction trigonométrique est une fonction mathématique qui relaie les angles d'un triangle aux longueurs de ses côtés. Les principales sont: sinus, cosinus et tangente.

À quoi servent les fonctions trigonométriques?

Les fonctions trigonométriques sont utilisées pour modéliser des phénomènes périodiques, comme les ondes, et pour résoudre des problèmes d'angles et de distances dans la géométrie.

Quelle est la relation entre sinus et cosinus?

Le sinus et le cosinus sont des fonctions complémentaires: sin(x) = cos(90° - x). Ils sont liés au cercle trigonométrique.

Comment se calcule la tangente d'un angle?

La tangente d'un angle se calcule en divisant le sinus de cet angle par son cosinus: tan(x) = sin(x) / cos(x).

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