Fonctions surjectives

Disons que nous avons la fonction ci-dessous,

\[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\]

\N- [f(x)=3x\N]

Le domaine de cette fonction est l'ensemble des nombres réels.

Le codomaine de cette fonction est l'ensemble de tous les nombres réels.

S'agit-il d'une fonction surjective ?

Solution

Pour vérifier si cette fonction est surjective, nous devons vérifier si le domaine et le codomaine de la fonction \(f\) sont les mêmes.

Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels, comme indiqué dans la question.

Pour déterminer l'étendue, nous devons penser à tous les résultats possibles de la fonction. Si l'on considère que les entrées sont l'ensemble de tous les nombres réels, le fait de multiplier chacun d'entre eux par 3 pour produire l'ensemble des résultats, qui n'est rien d'autre que l'étendue, nous conduira également à l'ensemble des nombres réels.

Ainsi, l'intervalle et le codomaine de la fonction sont les mêmes et la fonction est donc surjective.

Supposons que l'on nous donne deux fonctions surjectives \(f\N) et \N(g\N) où

\[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} \quad\text{et}\quad g:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\].

La fonction \(f\) est définie par

\N[f(x)=3x\N]

La fonction \N(g\N) est définie par

\N[g(x)=2x\N]

La composition \(g\circ f\) donne-t-elle une fonction surjective ?

Solution

Puisque \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) et \(g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\), alors \(g\circ f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\).

Considérons un élément arbitraire, \(z\N) dans le codomaine de \N(g\Ncirc f\N), notre but est de prouver que pour chaque \N(z\N) dans le codomaine de \N(g\Ncirc f\N), il existe un élément \N(x\N) dans le domaine de \N(g\Ncirc f\N) tel que \N(z=g\Ncirc f(x)=g(3x)=2(3x)=6x\N).

Puisque \N(g\N) est surjectif, il existe un élément arbitraire \N(y\N) dans \N(\Nmathbb{R}\N) tel que \N(g(y)=z\N) mais \N(g(y)=2y\N), donc \N(z=g(y)=2y\N).

De même, puisque \Nf(f\N) est surjectif, il existe un élément arbitraire \Nf(x\N) dans \Nf(\Nmathbb{R}\N) tel que

\N-[f(x)=y\N]

mais \N(f(x)=3x\), donc \N(y=f(x)=3x\).

Par conséquent, nous avons \N(z=g(y)=2y=2(3x)=6x\).

Nous en déduisons donc que \N(g\circ f\N) est surjectif.

Étant donné la fonction \(f\N) où \N(f:\Nmathbb{Z}\Nmapsto \Nmathbb{Z}\N) définie sur l'ensemble des entiers, \N(\Nmathbb{Z}\N), où

\N[f(x)=x+4\N]

Montre si cette fonction est surjective ou non.

Solution

Nous allons d'abord affirmer que cette fonction est surjective. Nous devons maintenant montrer que pour tout entier \N(y\N), il existe un entier \N(x\N) tel que \N(f(x) = y\N).

En prenant notre équation comme

\N[f(x)=y \NFlèche droite y=x+4\N]

Nous allons maintenant travailler à rebours pour atteindre notre objectif en résolvant \N(x). Supposons que pour tout élément \(y\in\mathbb{Z}\) il existe un élément \(x\in\mathbb{Z}\) tel que

\N-[x=y-4\N]

Cela se fait en réarrangeant l'équation précédente de façon à ce que \(x\) devienne le sujet. Ensuite, par ce choix de \(x\N) et par la définition de \N(f(x)\N), nous obtenons

\N- [\N- Début{align}f(x)&=f(y-4)\N- Flèche droite f(x)&=(y-4)+4\N- Flèche droite f(x)&=yend{align}\N].

Par conséquent, \N(y\N) est une sortie de \N(f\N), ce qui indique que \N(f\N) est effectivement surjective.

Disons qu'on nous donne la fonction exponentielle, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par

\[f(x)=e^x\]

Notez que \(\mathbb{R}\) représente l'ensemble des nombres réels. Le graphique de cette fonction est illustré ci-dessous.

Fig. 2. Graphique exponentiel.

En observant ce graphique, détermine si la fonction est surjective ou non.

Solution

Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels tels qu'ils sont donnés dans la question.

En se référant au graphique, l'étendue de cette fonction n'est définie que sur l'ensemble des nombres réels positifs incluant zéro. En d'autres termes, l'étendue de \(f\N) est \N(y\N dans [0,\Nfty)\N]. Puisque le codomaine de \(f\) n'est pas égal à l'étendue de \(f\), nous pouvons conclure que \(f\) n'est pas surjective.

Disons qu'on nous donne la fonction cubique standard, \(g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par

\N[g(x)=x^3\]

Le graphique de cette fonction est représenté ci-dessous.

Fig. 3. Graphique cubique standard.

En observant ce graphique, détermine si la fonction est surjective ou non.

Solution

Dans ce cas, le codomaine est l'ensemble des nombres réels comme indiqué dans la question.

En observant le graphique, remarque que l'étendue de cette fonction est également définie sur l'ensemble des nombres réels. Cela signifie que l'étendue de \(g\) est \(y\in\mathbb{R}\). Comme le codomaine de \N(g\N) est égal à l'étendue de \N(g\N), nous pouvons en déduire que \N(g\N) est surjective.

En utilisant le test de la ligne horizontale, détermine si le graphique ci-dessous est surjectif ou non. Le domaine et l'étendue de ce graphique sont l'ensemble des nombres réels.

Fig. 4. Exemple A.

Solution

Construisons trois lignes horizontales sur le graphique ci-dessus, à savoir \(y=-1\), \(y=0,5\) et \(y=1,5\). Ceci est illustré ci-dessous.

Fig. 5. Solution de l'exemple A.

En regardant maintenant les points d'intersection sur ce graphique, nous observons qu'à \(y=1,5\), la ligne horizontale coupe le graphique une fois. À \(y=-1\) et \(y=0,5\), la ligne horizontale coupe le graphique trois fois. Dans les trois cas, la ligne horizontale coupe le graphique au moins une fois. Le graphique satisfait donc à la condition de surjectivité d'une fonction.

Comme précédemment, applique le test de la ligne horizontale pour décider si le graphique suivant est surjectif ou non. Le domaine et l'étendue de ce graphique sont l'ensemble des nombres réels.

Fig. 6. Exemple B.

Solution

Comme précédemment, nous allons construire trois lignes horizontales sur le graphique ci-dessus, à savoir \(y=-5\), \(y=-2\) et \(y=1\). Ceci est illustré ci-dessous.

Fig. 7. Solution de l'exemple B.

Remarque qu'à \(y=-5\) et \(y=1\), la ligne horizontale coupe le graphique en un point. Cependant, à \(y=-2\), le test de la ligne horizontale ne coupe pas du tout le graphique. Par conséquent, le test de la ligne horizontale échoue et n'est pas surjectif.

Considérons la fonction carrée standard, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par

\N[f(x)=x^2\N]

Vérifie si la fonction est surjective ou non.

Solution

Esquisse ce graphique.

Fig. 8. Graphique carré standard.

Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels comme indiqué dans la question.

En se référant au croquis ci-dessus, l'étendue de cette fonction est définie uniquement sur l'ensemble des nombres réels positifs, y compris zéro. Ainsi, l'étendue de \(f\) est \(y\ dans [0,\infty)\). Cependant, le codomaine inclut également tous les nombres réels négatifs. Puisque le codomaine de \(f\N) n'est pas égal à l'étendue de \(f\N), nous pouvons conclure que \(f\N) n'est pas surjectif.

Supposons que nous ayons deux ensembles, \N(P\N) et \N(Q\N) définis par \N(P = \N{3, 7, 11\N}\N) et \N(Q = \N{2, 9\N}\N). Supposons que nous ayons une fonction \N(g\N) telle que

\[g = \{(3, 2), (7, 2), (11, 9)\}\]

Vérifie que cette fonction est surjective de \N(P\N) à \N(Q\N).

Solution

Le domaine de l'ensemble \(P\) est égal à \(\{3, 7, 11\}\). D'après la fonction donnée, chaque élément de l'ensemble \N(P\N) est assigné à un élément tel que \N(3\N) et \N(7\N) partagent la même image de \N(2\N) et que \N(11\N) a une image de \N(9\N). Cela signifie que l'étendue de la fonction est \N(\N{2, 9\N}\N).

Puisque le codomaine \N(Q\N) est également égal à \N(\N{2, 9\N}\N), nous constatons que l'étendue de la fonction est également égale à l'ensemble \N(Q\N). Ainsi, \(g:P\mapsto Q\) est une fonction surjective.

Étant donné la fonction \(h:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par,

\N[h(x)=2x-7\]

Vérifie si cette fonction est surjective ou non.

Solution

Nous supposerons tout d'abord que cette fonction est surjective. Notre but est de montrer que pour tout entier \N(y\N), il existe un entier \N(x\N) tel que \N(h(x) = y\N).

Si l'on considère notre équation comme

\N- [h(x)=y\N]

\N- [Flèche droite 2x-7\N]

Nous allons maintenant travailler à rebours pour atteindre notre objectif en résolvant \N(x\N). Supposons que pour tout élément \(y\ dans \mathbb{R}\) il existe un élément \(x\ dans \mathbb{R}\) tel que

\[x=\dfrac{y+7}{2}\]

Cela se fait en réarrangeant l'équation précédente de façon à ce que \(x\) devienne le sujet comme ci-dessous.

\N- [\N- Début{align}y&=2x-7\N- Flèche droite 2x&=y+7\N- Flèche droite x&=\Ndfrac{y+7}{2}\NFin{align}\N-]

Ensuite, par ce choix de \N(x\N) et par la définition de \N(h(x)\N), nous obtenons

\[\N- h(x)&=h\Ngauche(\Ndfrac{y+7}{2}\Ndroite)\N- \Nflèche droite h(x)&=\Ncancel{2}\Ngauche(\Ndfrac{y+7}{\Ncancel{2}}\Ndroite)-7\Nflèche droite h(x)&=y+7-7\Nflèche droite h(x)&=y \Nend{align}\N]

Par conséquent, \N(y\N) est une sortie de \N(h\N), ce qui indique que \N(h\N) est effectivement surjectif.