Comment penses-tu que nous pourrions nous y prendre ? La réponse se trouve dans les fonctionsa> surjectives !
Tout au long de cet article, nous allons nous initier au concept de fonctions surjectives (ou mappings surjectifs) en identifiant leurs propriétés et leur composition.
Définition des fonctions surjectives
Avant d'aborder le sujet des fonctions surjectives, nous allons d'abord rappeler les définitions d'une fonction, d'un domaine, d'un codomaine et d'une étendue.
Une fonction est une relation dans laquelle chaque élément d'un ensemble est corrélé à un élément d'un autre ensemble. En d'autres termes, une fonction relie une valeur d'entrée à une valeur de sortie. Une fonction est souvent désignée par \(f\).
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée pour lesquelles la fonction est définie. En d'autres termes, ce sont les éléments qui peuvent entrer dans une fonction. Un élément du domaine est généralement désigné par \(x\).
Le codomaine d'une fonction est l'ensemble des valeurs de sortie possibles que la fonction peut prendre.
L'étendue d' une fonction est l'ensemble de toutes les images produites par la fonction. Un élément de la plage est généralement désigné par y ou \N(f(x)\N).
Ceci étant dit, passons maintenant à notre sujet principal.
Une fonction surjective est un type spécial de fonction qui fait correspondre chaque élément du codomaine à au moins un élément du domaine. Cela signifie essentiellement que chaque élément du codomaine d'une fonction fait également partie du domaine, c'est-à-dire qu'aucun élément du codomaine n'est laissé de côté. Autrement dit, le codomaine et l'étendue d'une fonction surjective sont égaux.
Nous pouvons donc définir une fonction surjective comme suit.
Une fonction est dite surjective si, pour chaque élément b du codomaine B, il existe au moins un élément a dans le domaine \(A\), pour lequel \(f(a) = b\). En exprimant ceci en notation d'ensemble, nous avons
\N[\Npour tout b\N dans B, \Nil existe un \N dans A \Nquad \Ntext{selon lequel}\Nquad f(a)=b\N].
- Les fonctions surjectives sont également appelées fonctions onto.
Maintenant que nous avons établi la définition d'une fonction surjective, revenons à notre exemple initial impliquant les résidents de chaque État des États-Unis.
Ledomaine de la fonction est l'ensemble de tous les résidents. Le codomaine de la fonction est l'ensemble de tous les États du pays. Étant donné que les 50 États auront au moins un résident dans chacun d'entre eux, on en déduit que le codomaine prend également en compte l'étendue, et donc que la mise en correspondance est une fonction surjective.
Examinons maintenant l'exemple suivant de fonction surjective.
Disons que nous avons la fonction ci-dessous,
\[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\]
\N- [f(x)=3x\N]
Le domaine de cette fonction est l'ensemble des nombres réels.
Le codomaine de cette fonction est l'ensemble de tous les nombres réels.
S'agit-il d'une fonction surjective ?
Solution
Pour vérifier si cette fonction est surjective, nous devons vérifier si le domaine et le codomaine de la fonction \(f\) sont les mêmes.
Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels, comme indiqué dans la question.
Pour déterminer l'étendue, nous devons penser à tous les résultats possibles de la fonction. Si l'on considère que les entrées sont l'ensemble de tous les nombres réels, le fait de multiplier chacun d'entre eux par 3 pour produire l'ensemble des résultats, qui n'est rien d'autre que l'étendue, nous conduira également à l'ensemble des nombres réels.
Ainsi, l'intervalle et le codomaine de la fonction sont les mêmes et la fonction est donc surjective.
Schéma de correspondance d'une fonction surjective
Visualisons maintenant les fonctions surjectives de façon plus complète à l'aide d'un diagramme de correspondance.
Supposons que nous ayons deux ensembles, \(A\) et \(B\), où \(A\) est le domaine et \(B\) le codomaine. Disons que nous avons une fonction définie par \(f\). Elle est représentée par une flèche. Si la fonction est surjective, alors chaque élément de \N(B\N) doit être pointé par au moins un élément de \N(A\N).
Fig. 1. Diagramme de correspondance d'une fonction surjective.
Remarque que tous les éléments de \(B\) correspondent à l'un des éléments de \(A\) dans le diagramme ci-dessus.
Voyons maintenant d'autres exemples montrant si un diagramme de correspondance donné décrit ou non une fonction surjective. Ces exemples sont présentés dans le tableau ci-dessous.
Diagramme de correspondance | S'agit-il d'une fonction surjective ? | Explication |
Exemple 1, StudySmarter Originals | Oui | Il s'agit bien d'une fonction surjective puisque tous les éléments du Codomaine sont affectés à un élément du Domaine. |
Exemple 2, StudySmarter Originals | Oui | Il s'agit bien d'une fonction surjective car tous les éléments du Codomaine sont affectés à au moins un élément du Domaine. |
Exemple 3, StudySmarter Originals | Non | Il ne s'agit pas d'une fonction surjective car un élément du Codomain n'est affecté à aucun élément du Domaine. |
Exemple 4, StudySmarter Originals | Non | Il ne s'agit pas d'une fonction surjective car un élément du codomaine n'est associé à aucun élément du domaine. |
Propriétés des fonctions surjectives
Il y a trois propriétés importantes des fonctions surjectives dont il faut se souvenir. Étant donné une fonction surjective, f, les caractéristiques sont énumérées ci-dessous.
Chaque élément du codomaine est mis en correspondance avec au moins un élément du domaine,
Un élément du codomaine peut être mis en correspondance avec plus d'un élément du domaine,
Le codomaine est égal au domaine.
Composition de fonctions surjectives
Dans cette section, nous allons étudier la composition d'une paire de fonctions surjectives. Nous commencerons par définir la composition de deux fonctions, \(f\) et \(g\) comme suit.
Soit \N(f\N) et \N(g\N) les fonctions définies par
\N- [f:A\Nmapsto B\N]
\N-[g:B\Nmapsto C\N] - [g:B\Nmapsto C\N].
alors la composition de \(f\) et \(g\) est définie par
\N[(g\circ f)(x)=g(f(x))\N]
- La composition d'une paire de fonctions surjectives aboutira toujours à une fonction surjective.
- Inversement, si \(f\circ g\) est surjective, alors \(f\) est surjective. Dans ce cas, la fonction \(g\) n'est pas nécessairement surjective.
Preuve de la composition des fonctions surjectives
Supposons que \(f\N) et \N(g\N) sont deux fonctions surjectives définies par
\[f:A\mapsto B\]
\N- [g:B\Nmapsto C\N]
Supposons que nous ayons un élément appelé \(z\) dans l'ensemble \(C\). Puisque \N(g\N) est surjectif, il existe un élément appelé \N(y\N) dans l'ensemble \N(B\N) tel que \N(g(y) = z\N). De plus, puisque \Nf\Nfichier est surjectif, il existe un élément appelé \Nfichier (x) dans l'ensemble \Nfichier (A) tel que \Nfichier (f(x) = y). Par conséquent ,
\N- z=g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)\N]
Cela signifie que \N(z\N) se trouve dans l'intervalle de \N(g\Ncirc f\N). Nous pouvons donc conclure que \N(g\circ f\N) est également surjectif.
Nous allons le montrer à l'aide d'un exemple.
Supposons que l'on nous donne deux fonctions surjectives \(f\N) et \N(g\N) où
\[f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} \quad\text{et}\quad g:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\].
La fonction \(f\) est définie par
\N[f(x)=3x\N]
La fonction \N(g\N) est définie par
\N[g(x)=2x\N]
La composition \(g\circ f\) donne-t-elle une fonction surjective ?
Solution
Puisque \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) et \(g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\), alors \(g\circ f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\).
Considérons un élément arbitraire, \(z\N) dans le codomaine de \N(g\Ncirc f\N), notre but est de prouver que pour chaque \N(z\N) dans le codomaine de \N(g\Ncirc f\N), il existe un élément \N(x\N) dans le domaine de \N(g\Ncirc f\N) tel que \N(z=g\Ncirc f(x)=g(3x)=2(3x)=6x\N).
Puisque \N(g\N) est surjectif, il existe un élément arbitraire \N(y\N) dans \N(\Nmathbb{R}\N) tel que \N(g(y)=z\N) mais \N(g(y)=2y\N), donc \N(z=g(y)=2y\N).
De même, puisque \Nf(f\N) est surjectif, il existe un élément arbitraire \Nf(x\N) dans \Nf(\Nmathbb{R}\N) tel que
\N-[f(x)=y\N]
mais \N(f(x)=3x\), donc \N(y=f(x)=3x\).
Par conséquent, nous avons \N(z=g(y)=2y=2(3x)=6x\).
Nous en déduisons donc que \N(g\circ f\N) est surjectif.
Identification des fonctions surjectives
Pour identifier les fonctions surjectives, nous allons travailler à l'envers pour atteindre notre objectif. L'expression "travailler à rebours" signifie simplement trouver l'inverse de la fonction et l'utiliser pour montrer que \(f(x) = y\). Nous allons prendre un exemple concret pour le montrer clairement.
Étant donné la fonction \(f\N) où \N(f:\Nmathbb{Z}\Nmapsto \Nmathbb{Z}\N) définie sur l'ensemble des entiers, \N(\Nmathbb{Z}\N), où
\N[f(x)=x+4\N]
Montre si cette fonction est surjective ou non.
Solution
Nous allons d'abord affirmer que cette fonction est surjective. Nous devons maintenant montrer que pour tout entier \N(y\N), il existe un entier \N(x\N) tel que \N(f(x) = y\N).
En prenant notre équation comme
\N[f(x)=y \NFlèche droite y=x+4\N]
Nous allons maintenant travailler à rebours pour atteindre notre objectif en résolvant \N(x). Supposons que pour tout élément \(y\in\mathbb{Z}\) il existe un élément \(x\in\mathbb{Z}\) tel que
\N-[x=y-4\N]
Cela se fait en réarrangeant l'équation précédente de façon à ce que \(x\) devienne le sujet. Ensuite, par ce choix de \(x\N) et par la définition de \N(f(x)\N), nous obtenons
\N- [\N- Début{align}f(x)&=f(y-4)\N- Flèche droite f(x)&=(y-4)+4\N- Flèche droite f(x)&=yend{align}\N].
Par conséquent, \N(y\N) est une sortie de \N(f\N), ce qui indique que \N(f\N) est effectivement surjective.
Graphiques des fonctions surjectives
Une autre façon de déterminer si une fonction donnée est surjective est de regarder son graphique. Pour ce faire, il suffit de comparer l'étendue avec le codomaine du graphique.
Si l'étendue est égale au codomaine, alors la fonction est surjective. Dans le cas contraire, il ne s'agit pas d'une fonction surjective. Montrons-le à l'aide de deux exemples.
Disons qu'on nous donne la fonction exponentielle, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par
\[f(x)=e^x\]
Notez que \(\mathbb{R}\) représente l'ensemble des nombres réels. Le graphique de cette fonction est illustré ci-dessous.
Fig. 2. Graphique exponentiel.
En observant ce graphique, détermine si la fonction est surjective ou non.
Solution
Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels tels qu'ils sont donnés dans la question.
En se référant au graphique, l'étendue de cette fonction n'est définie que sur l'ensemble des nombres réels positifs incluant zéro. En d'autres termes, l'étendue de \(f\N) est \N(y\N dans [0,\Nfty)\N]. Puisque le codomaine de \(f\) n'est pas égal à l'étendue de \(f\), nous pouvons conclure que \(f\) n'est pas surjective.
Disons qu'on nous donne la fonction cubique standard, \(g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par
\N[g(x)=x^3\]
Le graphique de cette fonction est représenté ci-dessous.
Fig. 3. Graphique cubique standard.
En observant ce graphique, détermine si la fonction est surjective ou non.
Solution
Dans ce cas, le codomaine est l'ensemble des nombres réels comme indiqué dans la question.
En observant le graphique, remarque que l'étendue de cette fonction est également définie sur l'ensemble des nombres réels. Cela signifie que l'étendue de \(g\) est \(y\in\mathbb{R}\). Comme le codomaine de \N(g\N) est égal à l'étendue de \N(g\N), nous pouvons en déduire que \N(g\N) est surjective.
Test de la ligne horizontale
En parlant de graphiques, nous pouvons également vérifier qu'une fonction est surjective en appliquant le test de la ligne horizontale. Le test de la ligne horizontale est une méthode pratique utilisée pour déterminer le type d'une fonction, c'est-à-dire pour vérifier si elle est injective, surjective ou bijective. Il est également utilisé pour vérifier si une fonction a un inverse ou non.
Le test de la ligne horizontale se fait en construisant un segment de droite plate sur un graphique donné. On observera ensuite le nombre de points d'intersection afin d'en déduire la propriété de la fonction. Note que cette droite est tracée d'un bout à l'autre d'un graphique donné. De plus, elle est considérée comme arbitraire, ce qui signifie que nous pouvons tester toute ligne horizontale \(y = c\), où \(c\) est une constante.
Pour une fonction surjective, toute ligne horizontale coupera le graphique au moins une fois, c'est-à-dire en un point ou en plusieurs points. S'il existe un élément dans l'intervalle d'une fonction donnée tel que la ligne horizontale passant par cet élément ne coupe pas le graphique, alors la fonction échoue au test de la ligne horizontale et n'est pas surjective. Voici deux exemples qui illustrent cette approche de façon explicite.
En utilisant le test de la ligne horizontale, détermine si le graphique ci-dessous est surjectif ou non. Le domaine et l'étendue de ce graphique sont l'ensemble des nombres réels.
Fig. 4. Exemple A.
Solution
Construisons trois lignes horizontales sur le graphique ci-dessus, à savoir \(y=-1\), \(y=0,5\) et \(y=1,5\). Ceci est illustré ci-dessous.
Fig. 5. Solution de l'exemple A.
En regardant maintenant les points d'intersection sur ce graphique, nous observons qu'à \(y=1,5\), la ligne horizontale coupe le graphique une fois. À \(y=-1\) et \(y=0,5\), la ligne horizontale coupe le graphique trois fois. Dans les trois cas, la ligne horizontale coupe le graphique au moins une fois. Le graphique satisfait donc à la condition de surjectivité d'une fonction.
Comme précédemment, applique le test de la ligne horizontale pour décider si le graphique suivant est surjectif ou non. Le domaine et l'étendue de ce graphique sont l'ensemble des nombres réels.
Fig. 6. Exemple B.
Solution
Comme précédemment, nous allons construire trois lignes horizontales sur le graphique ci-dessus, à savoir \(y=-5\), \(y=-2\) et \(y=1\). Ceci est illustré ci-dessous.
Fig. 7. Solution de l'exemple B.
Remarque qu'à \(y=-5\) et \(y=1\), la ligne horizontale coupe le graphique en un point. Cependant, à \(y=-2\), le test de la ligne horizontale ne coupe pas du tout le graphique. Par conséquent, le test de la ligne horizontale échoue et n'est pas surjectif.
Les graphiques qui présentent une discontinuité ou un saut ne sont pas non plus surjectifs. Tu verras que même si une ligne horizontale peut croiser le graphique en un ou plusieurs points dans certaines zones du graphique, il y aura une région à l'intérieur de la discontinuité où une ligne horizontale ne traversera pas du tout le graphique, tout comme dans l'exemple ci-dessus. Essaie toi-même !
Test de la ligne horizontale pour les fonctions injectives et bijectives
Pour une fonction injective, toute ligne horizontale coupera le graphique au plus une fois, c'est-à-dire en un point ou en aucun. Dans ce cas, nous disons que la fonction passe le test de la ligne horizontale. Si une ligne horizontale coupe le graphique en plus d'un point, la fonction échoue au test de la ligne horizontale et n'est pas injective.
Pour une fonction bijective, toute ligne horizontale passant par un élément quelconque de l'intervalle doit couper le graphique exactement une fois.
Différence entre les fonctions surjectives et bijectives
Dans ce segment, nous allons comparer les caractéristiques d'une fonction surjective et d'une fonction bijective.
Pour cette comparaison, nous supposerons que nous disposons d'une fonction, \(f:A\mapsto B\) telle que l'ensemble \(A\) est le domaine et l'ensemble \(B\) est le codomaine de \(f\). La différence entre les fonctions surjectives et les fonctions bijectives est indiquée dans le tableau ci-dessous.
Fonctions surjectives | |
Chaque élément de \N(B\N) a au moins un élément correspondant dans \N(A\N). | Chaque élément de \(B\) a exactement un élément correspondant dans \(A\). |
Les fonctions surjectives sont également appelées fonctions onto. | Les fonctions bijectives sont à la fois biunivoques et onto, c'est-à-dire qu'elles sont à la fois injectives et surjectives. Les fonctions injectives (fonctions univoques) sont des fonctions telles que chaque élément de \(B\) correspond à au plus un élément de \(A\), c'est-à-dire une fonction qui fait correspondre des éléments distincts à des éléments distincts. |
La fonction f est surjective si et seulement si pour chaque y dans \N-(B\N), il y a au moins un \N-(x\N) dans \N-(A\N) tel que \N-(f(x) = y\N). En fait, la fonction f est surjective si et seulement si \(f(A) = B\). | La fonction f est bijective si pour chaque \(y\) dans \(B\), il y a exactement une \(x\) dans \(A\) telle que \(f(x) = y\). |
N'a pas d'inverse. | A un inverse. |
Exemples de fonctions surjectives
Nous terminerons cette discussion par plusieurs exemples impliquant des fonctions surjectives.
Considérons la fonction carrée standard, \(f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par
\N[f(x)=x^2\N]
Vérifie si la fonction est surjective ou non.
Solution
Esquisse ce graphique.
Fig. 8. Graphique carré standard.
Ici, le codomaine est l'ensemble des nombres réels comme indiqué dans la question.
En se référant au croquis ci-dessus, l'étendue de cette fonction est définie uniquement sur l'ensemble des nombres réels positifs, y compris zéro. Ainsi, l'étendue de \(f\) est \(y\ dans [0,\infty)\). Cependant, le codomaine inclut également tous les nombres réels négatifs. Puisque le codomaine de \(f\N) n'est pas égal à l'étendue de \(f\N), nous pouvons conclure que \(f\N) n'est pas surjectif.
Supposons que nous ayons deux ensembles, \N(P\N) et \N(Q\N) définis par \N(P = \N{3, 7, 11\N}\N) et \N(Q = \N{2, 9\N}\N). Supposons que nous ayons une fonction \N(g\N) telle que
\[g = \{(3, 2), (7, 2), (11, 9)\}\]
Vérifie que cette fonction est surjective de \N(P\N) à \N(Q\N).
Solution
Le domaine de l'ensemble \(P\) est égal à \(\{3, 7, 11\}\). D'après la fonction donnée, chaque élément de l'ensemble \N(P\N) est assigné à un élément tel que \N(3\N) et \N(7\N) partagent la même image de \N(2\N) et que \N(11\N) a une image de \N(9\N). Cela signifie que l'étendue de la fonction est \N(\N{2, 9\N}\N).
Puisque le codomaine \N(Q\N) est également égal à \N(\N{2, 9\N}\N), nous constatons que l'étendue de la fonction est également égale à l'ensemble \N(Q\N). Ainsi, \(g:P\mapsto Q\) est une fonction surjective.
Étant donné la fonction \(h:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\) définie par,
\N[h(x)=2x-7\]
Vérifie si cette fonction est surjective ou non.
Solution
Nous supposerons tout d'abord que cette fonction est surjective. Notre but est de montrer que pour tout entier \N(y\N), il existe un entier \N(x\N) tel que \N(h(x) = y\N).
Si l'on considère notre équation comme
\N- [h(x)=y\N]
\N- [Flèche droite 2x-7\N]
Nous allons maintenant travailler à rebours pour atteindre notre objectif en résolvant \N(x\N). Supposons que pour tout élément \(y\ dans \mathbb{R}\) il existe un élément \(x\ dans \mathbb{R}\) tel que
\[x=\dfrac{y+7}{2}\]
Cela se fait en réarrangeant l'équation précédente de façon à ce que \(x\) devienne le sujet comme ci-dessous.
\N- [\N- Début{align}y&=2x-7\N- Flèche droite 2x&=y+7\N- Flèche droite x&=\Ndfrac{y+7}{2}\NFin{align}\N-]
Ensuite, par ce choix de \N(x\N) et par la définition de \N(h(x)\N), nous obtenons
\[\N- h(x)&=h\Ngauche(\Ndfrac{y+7}{2}\Ndroite)\N- \Nflèche droite h(x)&=\Ncancel{2}\Ngauche(\Ndfrac{y+7}{\Ncancel{2}}\Ndroite)-7\Nflèche droite h(x)&=y+7-7\Nflèche droite h(x)&=y \Nend{align}\N]
Par conséquent, \N(y\N) est une sortie de \N(h\N), ce qui indique que \N(h\N) est effectivement surjectif.
Fonctions surjectives - Principaux enseignements
Une fonction surjective est un type spécial de fonction qui fait correspondre chaque élément du codomaine à au moins un élément du domaine.
Une fonction surjective est également appelée fonction onto.
Chaque élément du codomaine est mis en correspondance avec au moins un élément du domaine.
Un élément du codomaine peut être relié à plus d'un élément du domaine.
Le codomaine d'une fonction surjective est égal à son domaine.
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