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Fonctions radicales

Q: Qu'est-ce qu'une fonction radicale?

Une fonction radicale est une fonction qui inclut une variable sous le signe radical, c'est-à-dire une racine carrée, cubique, etc.

Q: Comment résoudre une équation avec une fonction radicale?

Pour résoudre une équation avec une fonction radicale, isolez la racine, puis élevez chaque côté de l'équation à la puissance adéquate pour éliminer le radical.

Q: Quels sont les domaines de définition des fonctions radicales?

Les domaines de définition sont les valeurs pour lesquelles l'expression sous le radical est définie, généralement les valeurs qui rendent l'intérieur du radical positif.

Q: Comment représenter graphiquement une fonction radicale?

Pour représenter graphiquement une fonction radicale, tracez les points en reliant les valeurs de x aux valeurs de la fonction radicale, souvent une courbe qui commence à l'origine ou un point déterminé.

Jusqu'à présent, nous avons vu des fonctions telles que le carré, f(x) = ^x2, et le cube, f(x) = ^x3, d'un nombre. Il s'agit de fonctions polynomiales où les x sont la base et les exposants 2 et 3 sont les exposants (ou puissances) de l'expression. Dans cet article, nous allons nous intéresser à l'inverse de ces expressions, appelées racine carrée et racine cubique. Ces expressions sont connues sous le nom de radicaux.

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Last Updated: 01.01.1970
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Le mot radical provient de l'expression latine"radix" qui se définit par le terme "racine". Il est représenté par le symbole '√', qui est un "r" stylisé ou déformé. En anglais, le mot "root" (racine) décrit la source d'un objet particulier.

Par exemple, les termes "anormal" et "paranormal" proviennent du mot racine "normal". Le même concept s'applique également aux nombres. Prends par exemple le carré de 3 :³² = 9. Ici, 3 est la racine et 9 est le résultat du carré de cette racine.

Expressions radicales

Une expression radicale est une expression qui comprend un symbole radical √.

$\sqrt{2}, \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt[3]{x}, \sqrt[x]{y}$

sont des exemples d'expressions radicales.

Le terme situé sous le symbole radical est appelé le radicande.

Les radicaux courants comprennent la racine carrée et la racine cubique d'un nombre, désignées par les expressions

$\sqrt{x} a n d \sqrt[3]{x}$ .

Résoudre une expression avec une racine carrée est assez simple. Il suffit de prendre la racine carrée du radicande. La racine carrée d'un nombre est le nombre égal au radicande lorsqu'il est élevé au carré ou multiplié par lui-même.

$\sqrt{81} = 9 \sin c e 9 \times 9 = 81$

De même, la racine cubique d'un nombre est le nombre égal au radicande lorsqu'il est cubé ou multiplié par lui-même trois fois.

$\sqrt[3]{125} = 5 \sin c e 5 \times 5 \times 5 = 125$

Fonctions radicales

Une fonction radicale est une fonction qui contient une expression radicale.

Les fonctions radicales courantes comprennent la fonction racine carrée et la fonction racine cubique définies par

$f (x) = \sqrt{x}$ et $f (x) = \sqrt[3]{x}$

respectivement. Voici d'autres formes de fonctions rationnelles

$f (x) = \sqrt{2 x - 1}, g (x) = \sqrt[4]{7 x^{2} + 3,} h (x) = \sqrt[5]{{(2 - x^{3})}^{2}}, e t c$

Évaluation des fonctions radicales

L'évaluation des fonctions radicales est similaire à la résolution des fonctions régulières. Il suffit de substituer la valeur x donnée dans notre fonction pour trouver la valeur de f(x). Tu trouveras ci-dessous plusieurs exemples d'application de cette méthode.

Étant donné la fonction radicale

$f (x) = \sqrt{3 - 4 x}$

Évalue

$f (- 1), f (0), f (\frac{1}{2})$

Solutions

$f (- 1) = \sqrt{3 - 4 (- 1)} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} f (0) = \sqrt{3 - 4 (0)} = \sqrt{3} f (\frac{1}{2}) = \sqrt{3 - 4 (\frac{1}{2})} = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1$

Etant donné la fonction radicale

$g (x) = \sqrt[3]{2 x^{2} + 5}$

Évalue

$g (- 2), g (\frac{5}{2}), g (7)$

Solutions

$g (- 2) = \sqrt[3]{2 {(- 2)}^{2} + 5} = \sqrt[3]{8 + 5} = \sqrt[3]{13} g (\frac{5}{2}) = \sqrt[3]{2 {(\frac{5}{2})}^{2} + 5} = \sqrt[3]{\frac{25}{2} + 5} = \sqrt[3]{\frac{35}{2}} g (7) = \sqrt[3]{2 {(7)}^{2} + 5} = \sqrt[3]{98 + 5} = \sqrt[3]{103}$

Graphiques et transformations des fonctions radicales

Comme nous l'avons déjà mentionné, les fonctions radicales y = √x et y = ^3√xsont les inverses des fonctions polynomiales y = ^x2 et y = ^x3, respectivement. Dans cette section, nous allons explorer davantage ces fonctions en comparant la forme de leurs graphiques et les transformations qui s'y rapportent. En outre, nous étudierons les valeurs de leur domaine et de leur étendue.

Trouver le domaine et l'étendue d'une fonction radicale

Rappelle les définitions du domaine et de l'étendue d'une fonction.

Le domaine d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs possibles x telles que f est définie.

L'étendue d'une fonction f est l'ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre f, où x est un nombre quelconque du domaine de f.

Pour identifier le domaine et l'étendue d'une fonction radicale, rappelons ci-dessous les caractéristiques de la fonction racine carrée et de la fonction racine cubique.

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est donnée par

$f (x) = \sqrt{x}$

Le graphique de la fonction est illustré ci-dessous.

Fonctions radicales, La fonction racine carrée StudySmarter

La fonction racine carrée, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Sur le même graphique, représentons l'inverse de cette fonction, y = ^x2. Celle-ci est représentée par la courbe bleue.

Fonctions radicales, La racine carrée et la fonction carrée StudySmarter

La racine carrée et la fonction carrée, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Comparons les deux courbes. Remarque que les deux graphiques se reflètent autour de la droite x = y, ce qui indique que ces deux fonctions sont inverses l'une de l'autre.

Observe maintenant le graphique de y = √x. Étant donné la fonction racine carrée, pour qu'un nombre réel y satisfasse y = f(x), nous devons avoir x = ^y2. Le carré de tout nombre réel est non négatif, et donc x doit également être non négatif. En d'autres termes, on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre réel négatif. Ainsi, le domaine de la fonction racine carrée est x ≥ 0. En notation par intervalles, ce domaine est noté [0, ∞).

Puisque le domaine ne comprend pas de nombres réels négatifs, il s'ensuit que l'étendue ne considère également que des nombres réels positifs. La racine carrée des nombres réels positifs définis par le domaine est en effet également positive. Encore une fois, l'étendue est exprimée par la notation d'intervalle [0, ∞). C'est pourquoi le graphique représente une demi-parabole ! À partir de ce graphique, nous pouvons tirer la conclusion suivante.

Le domaine et l'étendue d'une fonction racine carrée

Le domaine et l'étendue de la fonction racine carrée

$f (x) = \sqrt{x}$

est [0, ∞). Par essence, le domaine de la fonction composite de racine carrée

$y = \sqrt{g (x)}$

peut être identifié en trouvant les valeurs de x qui satisfont

$g (x) \geq 0$ .

Si l'étendue de g est l'ensemble de tous les nombres réels, alors l'étendue de $\sqrt{g (x)}$ est [0, ∞). Cette idée est démontrée par les exemples ci-dessous.

Étant donné la fonction ci-dessous, trouve le domaine et l'étendue de la fonction.

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Solution

Par l'énoncé ci-dessus, étant donné que :

$g (x) = 2 x - 5$

Le domaine de cette fonction est l'ensemble des valeurs x telles que :

$g (x) \geq 0 \Rightarrow 2 x - 5 \geq 0$

En réarrangeant cette inégalité, on obtient le domaine de la fonction comme :

$2 x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{2}$

Puisque le domaine de g est l'ensemble de tous les nombres réels, il s'ensuit que le domaine de f est [0, ∞). Le graphique de cette fonction est représenté ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 1 StudySmarter

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étant donné la fonction ci-dessous, trouve le domaine et l'étendue de la fonction.

$f (x) = \sqrt{3 - 4 x}$

Solution

Comme précédemment, en définissant g comme :

$g (x) = 3 - 4 x$

Le domaine de cette fonction est l'ensemble des valeurs x telles que :

$g (x) \geq 0 \Rightarrow 3 - 4 x \geq 0$

En réarrangeant cette inégalité, on obtient le domaine de la fonction comme suit.

$3 \geq 4 x \Rightarrow x \leq \frac{3}{4}$

Puisque le domaine de g est l'ensemble de tous les nombres réels, il s'ensuit que le domaine de f est [0, ∞). Le tracé de cette fonction est affiché ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 2 StudySmarter

Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Transformation de la fonction racine carrée

Dans cette section, nous allons examiner la fonction racine carrée de la forme

$y = a \sqrt{x - h} + k$

par rapport à sa forme standard $y = \sqrt{x} .$ Ici, nous observerons comment la variation des valeurs de a, h et k affectera la forme de la courbe. Le tableau ci-dessous décrit cela en détail. Dans chaque graphique ci-dessous, la courbe de $y = \sqrt{x}$ est tracé en rouge.

Changement de valeur en $y = a \sqrt{x - h} + k$	Description	Représentation graphique
La variation de a modifie la fonction dans le sens des y (le coefficient a affecte la pente du graphique).	Si a est grand, le graphique devient plus raide (ligne orange) Si a est petit, le graphique devient plus plat (ligne bleue) Si a est négatif, le graphique s'inverse (ligne verte).	Variation de a, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La variation de h modifie la fonction le long de l'axe des x de h unités.	Si h est négatif, le graphique se déplace de h unités vers la gauche de l'axe des x (ligne verte). Si h est positif, le graphique se déplace de h unités vers la droite de l'axe des x (ligne bleue).	Variation de h, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La variation de k déplace la fonction vers le haut ou vers le bas de l'axe des y de k unités.	Si k est négatif, le graphique descend de k unités sur l'axe des ordonnées (ligne verte). Si k est positif, le graphique monte de k unités sur l'axe des ordonnées (ligne bleue).	Variation de k, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Trace le graphique de la fonction de $y = 2 \sqrt{x - 3} + 1$

Solution

Ici, a = 2. Cela implique que bien que le graphique ait la même forme que le graphique standard de la racine carrée (avec a = 1), la courbe est plus raide puisque 2 est plus grand que 1. De plus, h = 3 et k = 1, ce qui implique que le graphique doit se déplacer de 3 unités vers la droite et d'une unité vers le haut. Le graphique est illustré ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 3 StudySmarter

Exemple 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

La fonction racine cubique

La fonction racine cubique est donnée par

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Tu trouveras ci-dessous une illustration de cette fonction.

Fonctions radicales, La fonction racine cubique StudySmarter

La fonction racine cubique, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Sur le même graphique, représentons l'inverse de cette fonction, y = ^x3. Celle-ci est représentée par la courbe bleue.

Fonctions radicales, racine cubique et fonction cubique StudySmarter

La racine cubique et la fonction cubique, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Nous allons maintenant comparer les deux courbes. Encore une fois, les deux graphiques se reflètent autour de la ligne x = y. Cela indique que cette paire de fonctions est l'inverse l'une de l'autre.

Revenons au graphique de y = ^3√x. Le graphique montre que le domaine et l'étendue sont donnés par l'ensemble de tous les nombres réels. Observe que la fonction tend vers l'infini positif lorsque la courbe se déplace vers la droite et vers l'infini négatif lorsque la courbe se déplace vers la gauche. Contrairement à la fonction racine carrée, la fonction racine cubique n'a aucune restriction sur le domaine et l'étendue. En notation d'intervalle, elle est notée par (-∞, ∞).

Le domaine et l'étendue d'une fonction racine de cube

Le domaine et l'étendue de la fonction racine cubique

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

sont donnés par l'ensemble de tous les nombres réels et sont notés (-∞, ∞). Nous pouvons également représenter cet ensemble par la notation $ℝ$ . Cela signifie que le domaine et l'étendue de la fonction composite racine cubique.

$y = \sqrt[3]{g (x)}$

est également désigné par la notation par intervalle (-∞, ∞). Observons quelques exemples travaillés ci-dessous.

Étant donné la fonction ci-dessous, trouve le domaine et l'étendue de la fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{7 x - 2}$

Solution

Comme nous l'avons déjà mentionné, la fonction racine cubique n'impose aucune restriction sur le domaine et l'étendue de toute fonction racine cubique composite. Ainsi, le domaine et l'étendue de f sont donnés par (-∞, ∞). Le graphique de cette fonction est représenté ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 4 StudySmarter

Exemple 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étant donné la fonction ci-dessous, trouve le domaine et l'étendue de la fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{9 - 3 x}$

Solution

Comme pour le résultat ci-dessus, la fonction racine cubique n'impose aucune restriction sur le domaine et l'étendue d'une fonction racine cubique composite. Ainsi, le domaine et l'étendue de f sont donnés par (-∞, ∞). Le tracé de cette fonction est affiché ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 5 StudySmarter

Exemple 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Transformation de la fonction racine cubique

Nous allons maintenant étudier la fonction racine cubique de la forme

$y = a \sqrt[3]{x - h} + k$

par rapport à sa forme standard $y = \sqrt[3]{x} .$ Comme dans le cas de la racine carrée, nous cherchons à étudier comment le changement des valeurs de a, h et k influencera la forme de la courbe. Le tableau ci-dessous montre cela en détail. Dans chaque tableau ci-dessous, le graphique de $y = \sqrt[3]{x}$ est dessiné en rouge.

Changement de variable $y = a \sqrt[3]{x - h} + k$	Description de la variable	Représentation graphique
La variation de a modifie la fonction dans le sens des y (le coefficient a affecte la pente du graphique).	Si a est grand, le graphique devient plus raide (ligne orange) Si a est petit, le graphique devient plus plat (ligne bleue) Si a est négatif, le graphique s'inverse (ligne verte).	Variation de a, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La variation de h modifie la fonction le long de l'axe des x de h unités.	Si h est négatif, le graphique se déplace de h unités vers la gauche de l'axe des x (ligne verte). Si h est positif, le graphique se déplace de h unités vers la droite de l'axe des x (ligne bleue).	Variation de h, Aishah Amri - StudySmarter Originals
La variation de k déplace la fonction vers le haut ou vers le bas de l'axe des y de k unités.	Si k est négatif, le graphique descend de k unités sur l'axe des ordonnées (ligne verte). Si k est positif, le graphique monte de k unités sur l'axe des ordonnées (ligne bleue).	Variation de k, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Trace le graphique de la fonction de $y = \frac{1}{4} \sqrt[3]{x + 2} - 7$

Solution

Ici, $a = \frac{1}{4}$ . Cela implique que bien que le graphique ait la même forme que le graphique standard de la racine cubique (avec a = 1), la courbe est plus plate puisque $\frac{1}{4}$ De plus, h = -2 et k = -7, ce qui implique que le graphique doit se déplacer de 2 unités vers la gauche et de 7 unités vers le bas. Le graphique est illustré ci-dessous.

Fonctions radicales, exemple 6 StudySmarter

Exemple 6, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Résoudre les équations et les inéquations radicales

La résolution d'équations et d'inéquations radicales est similaire à la résolution d'équations normales. Pour résoudre une telle expression, il suffit d'élever les deux côtés de l'équation à la puissance égale à l'indice du radical. Cela permet d'éliminer le radical. Par exemple, pour se débarrasser d'une racine carrée, tu dois élever les deux côtés de l'expression au carré. De même, pour annuler une racine nième, tu dois élever l'expression à la puissance ^nième.

Il est très important que tu vérifies ta solution. Souvent, tu obtiendras un nombre qui ne satisfait pas l'équation ou l'inégalité d'origine, ce qui signifie qu'une solution n'existe pas. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples qui illustrent ce phénomène.

Résoudre des équations radicales

Les équationsradicales sont des équations qui incluent une variable dans un radicande.

Résous l'équation ci-dessous.

$5 = \sqrt{x - 2} - 1$

Solution

En isolant le radical et en élevant les deux côtés au carré, on obtient :

$5 = \sqrt{x - 2} - 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 6 \Rightarrow {(\sqrt{x - 2})}^{2} = 6^{2} \Rightarrow x - 2 = 36 \Rightarrow x = 38$

Vérifie que ce résultat est vrai :

$\sqrt{x - 2} - 1 = \sqrt{(38) - 2} - 1 = \sqrt{36} - 1 = 6 - 1 = 5$

Ainsi, x = 38 satisfait l'équation donnée.

Résous l'équation ci-dessous.

$\sqrt{x + 15} = 5 + \sqrt{x}$

Solution

En élevant les deux côtés au carré et en isolant le radical, on obtient :

$\sqrt{x + 15} = 5 + \sqrt{x} \Rightarrow {(\sqrt{x + 15})}^{2} = {(5 + \sqrt{x})}^{2} \Rightarrow x + 15 = 25 + 10 \sqrt{x} + x \Rightarrow 10 \sqrt{x} = - 10 \Rightarrow \sqrt{x} = - 1$

En élevant à nouveau les deux côtés au carré, on obtient : :

$\sqrt{x} = - 1 \Rightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = {(- 1)}^{2} \Rightarrow x = 1$

Vérifie que ce résultat est vrai :

Le côté gauche est donné par :

$\sqrt{x + 15} = \sqrt{(1) + 15} = \sqrt{16} = 4$

Le côté droit est donné par :

$5 + \sqrt{x} = 5 + \sqrt{1} = 5 + 1 = 6$

Ainsi, 4 ≠ 6. Puisque le côté gauche n'est pas égal au côté droit, x = 1 ne satisfait pas l'équation. En d'autres termes, il n'existe pas de solution.

Résoudre des inégalités radicales

Lesinégalités radicales sont des inégalités qui incluent une variable dans un radicande.

Résous l'inégalité ci-dessous.

$\sqrt{2 x + 2} + 1 \geq 5$

Solution

En isolant le radical et en élevant les deux côtés au carré, on obtient :

$\sqrt{2 x + 2} + 1 \geq 5 \Rightarrow \sqrt{2 x + 2} \geq 4 \Rightarrow {(\sqrt{2 x + 2})}^{2} \geq 4^{2} \Rightarrow 2 x + 2 \geq 16 \Rightarrow 2 x \geq 14 \Rightarrow x \geq 7$

Vérifie que ce résultat est vrai :

$\sqrt{2 x + 2} + 1 = \sqrt{2 (7) + 2} + 1 = \sqrt{16} + 1 = 4 + 1 = 5 \sqrt{2 x + 2} + 1 = \sqrt{2 (8) + 2} + 1 = \sqrt{18} + 1 = 3 \sqrt{2} + 1 \geq 5 \sqrt{2 x + 2} + 1 = \sqrt{2 (9) + 2} + 1 = \sqrt{20} + 1 = 2 \sqrt{5} + 1 \geq 5$

Ainsi, x ≥ 7 satisfait l'inégalité donnée.

Résous l'inégalité ci-dessous.

$\sqrt{4 x - 4} - 2 < 4$

Solution

En isolant le radical et en élevant au carré les deux côtés, on obtient :

$\sqrt{4 x - 4} - 2 < 4 \Rightarrow \sqrt{4 x - 4} < 6 \Rightarrow {(\sqrt{4 x - 4})}^{2} < 6^{2} \Rightarrow 4 x - 4 < 36 \Rightarrow 4 x < 40 \Rightarrow x < 10$

Rappelle-toi que nous ne pouvons pas prendre la racine carrée d'un nombre réel négatif. Ainsi, le terme à l'intérieur du radical doit satisfaire

$4 x - 4 \geq 0$

En le résolvant, on obtient :

$x \geq 1$

Ainsi, 1 ≤ x < 10. Vérifie que ce résultat est vrai :

$\sqrt{4 x - 4} - 2 = \sqrt{4 (1) - 4} - 2 = \sqrt{0} - 2 = - 2 < 4 \sqrt{4 x - 4} - 2 = \sqrt{4 (5) - 4} - 2 = \sqrt{16} - 2 = 4 - 2 = 2 < 4 \sqrt{4 x - 4} - 2 = \sqrt{4 (10) - 4} - 2 = \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4 ≮ 4$

Ainsi, le bon intervalle de x qui satisfait l'inégalité donnée est 1 ≤ x < 10.

Fonctions radicales - Points clés

Une expression radicale est une expression qui comprend un symbole radical (√).
Une fonction rad icale est une fonction qui contient une expression radicale.
Le domaine et l'étendue d'une fonction racine carrée sont [0, ∞).
Le domaine de la fonction composite de racine carrée $\sqrt{g (x)}$ sont les valeurs de x satisfaisant $g (x) \geq 0$ .
Le domaine et l'étendue d'une fonction racine cubique sont (-∞, ∞).
Le domaine de la fonction composite de racine cubique $\sqrt[3]{g (x)}$ est $ℝ$ .
Si le domaine de la fonction g est l'ensemble de tous les nombres réels, alors le domaine des fonctions composites $\sqrt{g (x)}$ et $\sqrt[3]{g (x)}$ est respectivement [0, ∞) et (-∞, ∞).
Pour résoudre les équations et les inéquations à radicaux :
1. Élimine le radical en élevant les deux côtés de l'expression à la ^nième puissance.
2. Résous l'équation ou l'inégalité.
3. Vérifie que la réponse satisfait l'expression.

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Questions fréquemment posées en Fonctions radicales

Qu'est-ce qu'une fonction radicale?

Une fonction radicale est une fonction qui inclut une variable sous le signe radical, c'est-à-dire une racine carrée, cubique, etc.

Comment résoudre une équation avec une fonction radicale?

Pour résoudre une équation avec une fonction radicale, isolez la racine, puis élevez chaque côté de l'équation à la puissance adéquate pour éliminer le radical.

Quels sont les domaines de définition des fonctions radicales?

Les domaines de définition sont les valeurs pour lesquelles l'expression sous le radical est définie, généralement les valeurs qui rendent l'intérieur du radical positif.

Comment représenter graphiquement une fonction radicale?

Pour représenter graphiquement une fonction radicale, tracez les points en reliant les valeurs de x aux valeurs de la fonction radicale, souvent une courbe qui commence à l'origine ou un point déterminé.

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