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Les équations quadratiques sont appliquées à une variété de problèmes pratiques, tels que le suivi de la trajectoire d'un projectile, la prédiction d'un modèle d'actions financières, la mécanique statistique, etc. La partie de l'équation \(ax^2\) est connue comme la partie quadratique, \(bx\) comme la partie linéaire, et \(c\) comme la partie constante de la fonction.
Représentation graphique des fonctions quadratiques - la parabole
Le graphique de chaque fonction quadratique s'appelle une parabole.
Une parabole est un ensemble de points équidistants d'un point et d'une ligne.
Le point s'appelle le foyer de la parabole et la ligne s'appelle le directeur. Un autre point important de la parabole est appelé le sommet de la parabole. C'est le point où l'axe de symétrie d'une parabole rencontre la parabole.
Ici, l'axe de symétrie est une ligne imaginaire et la fonction se reproduit de part et d'autre de la ligne. Le graphique d'une parabole est comme l'image miroir d'une courbe, ci-dessous un diagramme pour l'illustrer,
Fig. 1. Le graphique d'une équation quadratique.
Voici à quoi ressemble le graphique d'une fonction quadratique, qui est la fonction quadratique. On peut voir que la courbe du côté droit de la ligne bleue et l'autre côté de cette ligne, sont exactement les mêmes. En termes mathématiques, on dit que le graphique est symétrique le long de cette ligne bleue. C'est pourquoi cette ligne est appelée axe de symétrie. Il est important de noter que l'axe de symétrie est un axe imaginaire, il ne fait pas partie du graphique tracé.
Fig. 2. Graphique d'une parabole.
On peut voir que l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées et on dit donc que la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Le point où la parabole rencontre l'axe de symétrie est appelé le sommet de la parabole. C'est aussi le minima de la fonction. En d'autres termes, un sommet est un point où la valeur de la fonction quadratique est minimale, d'où le nom, minima. Dans le schéma ci-dessus, le point A est le sommet de la parabole.
Et pour la parabole \(y=ax^2+bx+c\), l'axe de symétrie s'avère être \(x=-\dfrac{b}{2a}\) qui est symétrique par rapport à l'axe des y.
Il existe un autre point crucial sur la parabole, qui est l'ordonnée à l'origine de la parabole. C'est le point où la parabole rencontre l'axe des y, c'est-à-dire où elle intercepte l'axe des y. D'où le mot "ordonnée". Dans le diagramme ci-dessus, le point \(C\) est l'ordonnée de la parabole. Pour trouver les coordonnées de \(C\), il suffit de calculer y à \(x=0\). Nous obtenons ,
$$y=a(0)^2+b(0)+c$$$
ce qui donne \N(y=c\N). Par conséquent, les coordonnées de \N(C\N) sont \N((0,c)\N).
Équations de fonctions quadratiques
Nous pouvons écrire les équations de fonctions quadratiques sous 3 formes différentes. Examinons-les plus en détail
Il existe trois formes de fonctions quadratiques couramment utilisées.
- Forme standard ou générale: \(y=ax^2+bx+c\)
- Forme factorisée ou d'ordonnée à l'origine: \(y=(bx+c)(dx+e)\)
- Forme du sommet: \N(y=a(x-h)^2+k\N)
Chacune de ces formes peut être utilisée pour déterminer différentes informations sur la trajectoire d'un projectile. Comprendre les avantages de chaque forme d'une fonction quadratique te sera utile pour analyser les différentes situations qui se présenteront à toi.
Comme son nom l'indique, la forme générale est celle de la plupart des fonctions quadratiques. La forme de l'ordonnée à l'origine est utile pour lire facilement les ordonnées à l'origine x et y de la courbe donnée. La forme du sommet est particulièrement utilisée lorsqu'il faut lire le sommet de la courbe et déterminer les propriétés correspondantes.
Forme standard d'une fonction quadratique
Les équations quadratiques à une variable sont des équations qui peuvent être exprimées sous la forme suivante
$$f(x)=ax^2+bx+c$$$
C'est la forme d'une parabole, comme le montre l'image ci-dessous.
Fig. 3. Graphique d'une parabole standard.
Essentiellement, ce sont les équations qui ont un degré de plus que les équations linéaires. Les équations linéaires ont un degré de un et les équations quadratiques ont un degré de \(2\). Ici, \(a\), \(b\), et \(c\) sont des constantes où \(a\neq 0\). Si \(a=0\), nous n'aurions que \(f(x)=bx+c\), qui est une équation linéaire.
La condition pour former une équation quadratique est donc que le coefficient de \(x^2\) ne soit pas nul. Les autres constantes \(b\) et \(c\) peuvent être nulles car elles n'affecteront pas le degré des équations.
Forme du sommet d'une fonction quadratique
La forme générale d'une quadratique \(y=ax^2+bx+c\) n'est peut-être pas la forme la plus pratique pour travailler, et nous avons donc la forme du sommet d'une équation quadratique. Comme son nom l'indique, il s'agit d'une forme basée sur le sommet de la parabole formée par l'équation quadratique. Le sommet est le point le plus important d'une parabole, à l'aide duquel nous pouvons construire la parabole.
La forme du sommet d'une équation quadratique est donnée comme suit :
$$y=a(x-h)^2+k$$$
où le sommet de la parabole se trouve au point \((h,k)\). Cette forme est particulièrement utile lorsqu'on nous donne les coordonnées du sommet et qu'on nous demande de trouver l'équation de la parabole.
Forme factorisée d'une équation quadratique
La forme factorisée d'une équation quad ratique est une forme dans laquelle la quadratique est factorisée en ses facteurs linéaires. De la même façon que nous avons utilisé la forme du sommet pour identifier le sommet d'une parabole formée par l'équation quadratique, la forme factorisée est utilisée pour identifier les ordonnées de la parabole formée.
La forme factorisée ou d'ordonnée à l'origine d'une équation quadratique est donnée comme suit :
$$y=a(bx+c)(dx+e)$$$
où les deux ordonnées à l'origine sont données par \(x=-\dfrac{c}{b}\) et \(x=-\dfrac{e}{d}\). On peut facilement le vérifier en fixant \(y=0\) et en trouvant les racines de l'équation quadratique. On peut aussi utiliser les points d'intersection des x et un point de la parabole pour trouver l'équation quadratique.
Exemples de fonctions quadratiques
Entraîne-toi à identifier les fonctions quadratiques !
Lesquelles des fonctions suivantes sont des fonctions quadratiques ?
(i) \N(f(x)=qx^{3/2}+px\N) (ii) \N(g(y)=5y^2+2y+9\N) (iii) \N(h(\theta)=\theta^3+\theta^2\N)
Solution :
Identifie le degré le plus élevé de chacune des fonctions, si le degré le plus élevé est 2 alors seulement il s'agit d'une fonction quadratique.
(i) \N(f(x)=qx^{3/2}+px\N)
On peut voir que le degré le plus élevé de cette fonction est \(\dfrac{3}{2}\) et il est trivial que \(\dfrac{3}{2}\neq 2\) et donc ce n'est PAS une fonction quadratique.
(ii) \N(g(y)=5y^2+2y+9\N)
Il est clair que le degré le plus élevé de cette fonction est \N(2\N) et qu'il s'agit donc d'une fonction quadratique.
(iii) \(h(\theta)=\theta^3+\theta^2\)
On peut voir que le deuxième terme a un degré \(2\) mais seul le degré le plus élevé doit être pris en considération, qui est \(3\), et il ne s'agit donc PAS d'une fonction quadratique.
Résoudre des équations quadratiques
Les fonctions quadratiques sont une forme généralisée d'équations quadratiques. Lorsque \(f(x)=d\) pour la fonction quadratique définie précédemment, pour une certaine constante réelle \(d\), l'équation formée est connue sous le nom d'équation quadratique. En général, une équation quadratique a la forme suivante,
$$px^2+qx+r=0$$$
où \(p\neq 0\) et \(p, q, r \in \mathbb R\) où \(\mathbb R\) représente l'ensemble des nombres réels. La solution d'une équation quadratique est la valeur de \(x\) pour laquelle l'équation est satisfaite. En d'autres termes, la solution d'une fonction quadratique est la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x)=0\).
Nous savons déjà qu'une équation linéaire a une solution unique, dans le cas des équations quadratiques, il y a toujours deux solutions. Il n'est pas nécessaire que les solutions soient uniques, elles peuvent être identiques et les solutions peuvent même être complexes. Cependant, nous nous intéresserons aux solutions réelles et non aux solutions complexes.
Les solutions sont également appelées les zéros d'une fonction. Il ne faut pas les confondre car il s'agit de la même chose. Pour trouver les zéros, il suffit de résoudre la quadratique à l'aide de la formule quadratique pour les zéros.
$$x=\dfrac{-q\pm \sqrt{q^2-4pr}}{2p}$$
Pour t'entraîner à résoudre des équations quadratiques, consulte notre article sur la Résolution d'équations quadratiques et Graphique et résolution d'équations quadratiques.
L'inverse d'une fonction quadratique
Étant donné qu'une fonction est bijective (injective et surjective), son inverse existe. Pour une fonction quadratique, qui est bijective, on peut facilement calculer son inverse. Chaque inverse est lié à la fonction comme suit ,
$$f^{-1}(f(x))=x$$
Pour trouver l'inverse de \(f(x)=ax^2+bx+c\), nous assimilons d'abord la RHS à y,
$$y=ax^2+bx+c$$.
Le but est de résoudre l'équation quadratique ci-dessus en termes de \N(x\N), c'est-à-dire de résoudre \N(x\N) et d'exprimer \N(x\N) en termes de \N(y\N). L'équation ci-dessus peut être réarrangée pour obtenir,
$$ax^2-bx+(c-y)=0$$
qui est quadratique dans \(x\), et nous pouvons trouver ses racines en utilisant la formule quadratique, qui nous donne,
$$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac+4y}}{2a}$$
qui est l'inverse de \(y\),
$$f^{-1}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac+4ay}}{2a}$$
En remplaçant la variable \(y\N) par \N(x\N), nous obtenons l'inverse dans \N(x\N)
$$f^{-1}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac+4ax}}{2a}$$.
où \(b^2+4ax > 4ac\) pour les valeurs réelles de la fonction.
Fonctions quadratiques - Principaux enseignements
- Une fonction quadratique est une fonction dont la puissance la plus élevée est \(2\). C'est-à-dire que le degré le plus élevé de l'équation est \(2\).
- Le graphique d'une fonction quadratique s'appelle une parabole, dont l'équation mère est \(f(x)=x^2\).
- Les solutions (zéros ou racines) d'une équation quadratique peuvent être calculées à l'aide de la formule quadratique ou en factorisant l'équation en ses facteurs linéaires.
- Chaque équation quadratique a deux zéros (il n'est pas nécessaire qu'ils soient uniques). Ils peuvent être réels ou imaginaires.
- Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole dont l'axe de symétrie peut être l'axe des ordonnées ou l'axe des abscisses.
- Une parabole est définie comme l'ensemble des points équidistants d'un point et d'une droite.
- On peut trouver l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet en définissant respectivement \(y=0\) et \(x=0\).
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