On pourrait également supposer que les fonctions impaires sont l'exact opposé des fonctions paires et s'en tenir là. Cette hypothèse serait terriblement erronée. La différence entre les fonctions paires et impaires ne peut pas être classée simplement en pensant que si une fonction n'est pas paire, alors elle doit être impaire.
En approfondissant le sujet des fonctions impaires, nous verrons quelle formule les fonctions impaires utilisent et comment elles sont liées à la symétrie de ces fonctions.
Qu'est-ce qu'une fonction impaire ?
Les fonctions peuvent être classées comme paires, impaires ou ni l'une ni l'autre selon leur symétrie. Une fonction impaire est une fonction qui est symétrique par rapport au point \((0,0)\). En d'autres termes, si tu prends le graphique d'une fonction impaire et que tu le fais pivoter de 180\(^{\circ}\) autour de l'origine, \((0,0)\), sur un ensemble d'axes, le graphique qui en résulte est identique au graphique d'origine.
La définition formelle d'une fonction impaire est la suivante :
Une fonction impaire est une fonction pour laquelle \(f(-x)=-f(x)\) pour toutes les valeurs de \(x\) dans le domaine de \(f\).
Cela signifie que pour chaque valeur de\ (x)dans le domaine d'une fonction impaire \(f(x)\), la valeur de la fonction \(f(-x)\) est la même que la valeur \(-f(x)\).
Ceci peut également être représenté graphiquement et est discuté plus en détail dans les sections suivantes.
Graphique d'une fonction impaire
Nous savons déjà que les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine et qu'elles satisfont à \ (f(-x)=-f(x)\) pour chaque valeur de \ (x\) dans leur domaine. En traçant le graphique d'une fonction impaire, nous pouvons voir la symétrie de la fonction.
Prenons la fonction impaire \(f(x)=x^{3}\) et traçons-la sur un ensemble d'axes.
\(f(x) = x^{3}\) - StudySmarter Originals
Si nous faisions pivoter le graphique 180\(^{\circ}\) autour de l'origine, le résultat serait le même que le graphique original. On peut donc dire que cette fonction est symétrique par rapport à l'origine.
Différence entre les fonctions paires et impaires
Il est recommandé de traiter d'abord le sujet des fonctions paires avant de passer à cette section !
La principale différence entre les fonctions paires et impaires est leur axe de symétrie. Les fonctions impaires, comme nous le savons, sont symétriques par rapport à l'origine. Les fonctions paires, en revanche, sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Cela signifie que la forme du graphique d'une fonction paire se reflète parfaitement sur l'axe des ordonnées. Un bon exemple de fonction paire est \ (x^{2}\). La forme de la parabole à gauche de l'axe des ordonnées est une image miroir de la forme à droite de l'axe des ordonnées. C'est ce que montre l'image ci-dessous.
Graphique de la fonction paire \(y = x^{2}\) - StudySmarter Originals
Le tableau suivant résume les deux principales différences entre les fonctions paires et impaires :
| Fonctions impaires | Fonctions paires |
| \N(f(-x) = -f(x)\Npour toutes les valeurs de \N(x) dans le domaine de \N(f(x)\Npour toutes les valeurs de \N(x) dans le domaine de \N(x)\N(x). | \N(f(-x) = f(x)\N) pour toutes les valeurs de \N(x) dans le domaine de \N(f(x)\N) |
| Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine | Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des y |
Comment déterminer si une fonction est impaire ?
Nous pouvons utiliser les différences mentionnées dans la section précédente pour déterminer graphiquement ou algébriquement si une fonction est impaire.
Déterminer algébriquement si une fonction est paire ou impaire
Pour déterminer si une fonction est impaire à l'aide de méthodes algébriques, il suffit d'appliquer la formule \(f(-x) = -f(x)\) et de voir si elle est vraie.
L'exemple suivant montre comment procéder :
On nous donne la fonction \(f(x) = -7x^{3} + 12x\).
Détermine si cette fonction est impaire en utilisant des méthodes algébriques.
Solution
Étape 1 : Détermine d'abord \(f(-x)\) en substituant \(-x) à la place de \(x\) dans la fonction et en simplifiant.
\N-\Nbegin{equation}\Nbegin{split}f(-x) & = -7(-x)^{3} + 12(-x) \\N-& = 7x^{3} -12x\end{split}\end{equation}\N]
Étape 2 : Détermine ensuite \(-f(x)\).
\[\begin{equation}\begin{split}-f(x) & = -(-7x^{3} + 12x) \\& = 7x^{3} - 12x\end{split}\end{equation}\N -f(x) & = -(-7x^{3} + 12x) \N]
\N(f(-x) = -f(x)\N) pour toutes les valeurs de \N(x\N) dans le domaine de \N(f(x)\N), nous pouvons donc conclure que \N(f(x)\N) est une fonction impaire.
Déterminer si une fonction est impaire graphiquement
La façon la plus simple de déterminer si une fonction est impaire est d'utiliser son graphique. Les graphiques nous permettent de mieux visualiser les fonctions et sont également utiles pour les interpréter.
L'exemple suivant montre comment déterminer si une fonction est impaire à l'aide d'un graphique :
Utilisons la même fonction que dans l'exemple précédent, \(f(x) = -7x^{3} + 12x\).
Le graphique de la fonction ressemble à ceci :
\N(f(x) = -7x^{3} + 12x\N) + 12x\) - Originaux StudySmarter
Si nous faisions pivoter la fonction \(180^{\circ}\) autour de l'origine (dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse, le sens n'a pas d'importance), le graphique résultant serait exactement le même que l'original.
Nous savons que les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine (c'est-à-dire qu'en les faisant tourner de \(180^{\circ}\) autour de \((0,0)\)), on obtient un graphique identique au graphique original.
Une façon simple de le faire serait de dessiner une ébauche du graphique sur un bout de papier et de tourner le papier autour de \(180^{\circ}\) pour voir s'il a la même apparence.
Il est possible qu'une fonction ne soit ni paire ni impaire, alors ne t'inquiète pas si la fonction que tu as choisie ne répond pas à la définition des fonctions paires ou impaires.
Exemples de fonctions impaires
Considérons la fonction \N(y = x^3\N).
Pour toutes les valeurs de \(x), la valeur de \(f(-x)\) sera toujours égale à \(-f(x)\).
Le graphique de la fonction sera le suivant :
Graphique de \N(y = x^{3}\N) - StudySmarter Originals
Comme nous pouvons le voir, si l'on fait pivoter le graphique \(180^{\circ}\) autour de l'origine (point (0,0)), la figure résultante sera identique à l'originale. On peut donc dire que \(x^{3}\) est symétrique par rapport à l'origine.
De même, les fonctions telles que \(x, x^{5}, x ^{7}, x^{9}, x^{11}, x^{-1}, x^{-3},\) etc. sont toutes des fonctions impaires. Pour ces fonctions, \ (f(-x) = -f(x)\) pour toutes les valeurs de \(x\). En d'autres termes, si tu devais substituer \N(-x\N) à chacune de ces fonctions et simplifier, la réponse obtenue serait la même que si tu multipliais chacune de ces fonctions par \N(-1\N).
Les fonctions trigonométriques constituent un autre groupe de fonctions qui produisent souvent des fonctions impaires. Par exemple, considérons \N (y = sin(x)\N).
Nous avons \N(f(-x) = sin(-x)\Net \N(-f(x) = -sin(x)\N). La trigonométrie nous apprend que \N(sin(-x)\N) revient à dire \N(-sin(x)\N) et que \N(f(-x)\Nest donc égal à \N(-f(x)\N) pour toutes les valeurs de \N(x)\Ndans le domaine de la fonction. Ainsi, \N(y = sin(x)\N) est une fonction impaire.
Si nous regardons le graphique de \(y = sin(x)\), nous pouvons également voir qu'il est symétrique par rapport à l'origine :
Graphique de \N(y = sin(x)\N) - Originaux StudySmarter
Parmi les autres fonctions trigonométriques impaires, on trouve \N(tan(x), cot(x)\Net \N(cosec(x)\N). Elles répondent toutes à la définition d'une fonction impaire.
Les fonctions impaires peuvent aussi être des fractions. Prends l'exemple suivant :
On te donne la fonction \(g(x) = \frac{cos(x)}{x}\). Détermine si la fonction est une fonction impaire en utilisant des méthodes algébriques.
Solution
Étape 1 : Détermine \(g(-x)\).
\[\begin{equation}\begin{split}g(-x) & = \frac{cos(-x)}{-x} \\N-& = \Nfrac{cos(x)}{-x} \\N-& = - \Nfrac{cos(x)}{x}\N-end{split}\N-end{equation}\N]
Étape 2 : Déterminer \(-g(x)\).
\[-g(x) = - \frac{cos(x)}{x}\]
Étape 3 : Est-ce que \(g(x)\) est une fonction impaire ?
Oui. \N(g(-x) = - g(x)\Npour toutes les valeurs de \N(x\N) dans le domaine de la fonction, \N(g(x)\Nest donc une fonction impaire.
Fonctions impaires - Principaux enseignements
- Les fonctions impaires sont des fonctions pour lesquelles \(f(-x) = -f(x)\).
- Les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine. Cela signifie que si tu fais pivoter le graphique d'une fonction impaire de \(180^{\circ}\) autour du point d'origine, le graphique résultant sera identique à l'original.
- On peut déterminer si une fonction est impaire en utilisant des méthodes algébriques ou graphiques.
- Il est possible qu'une fonction ne soit ni paire ni impaire.
- Les fonctions trigonométriques peuvent également être des fonctions impaires.
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