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\(\DeclareMathOperator{\sech}{sech}\DeclareMathOperator{\csch}{cosech}\DeclareMathOperator{\coth}{coth}\)Prends une petite longueur de ficelle et place-la en ligne droite sur une surface plane. Maintenant, mets ton doigt sur une extrémité de la ficelle et fais-la glisser le long de la surface perpendiculairement à la direction initiale de la ficelle. Quelle courbe est tracée par la position de l'autre extrémité de la ficelle, lorsque tu la fais glisser le long de la table ?
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Équipe enseignants Fonctions hyperboliques inverses
Il s'avère que cette courbe s'appelle une matrice, qui, si le morceau de ficelle original était orienté dans la direction de l'axe \N( y- \N), est représentée par l'équation,
\[ x = \sech^{-1}{\frac{y}{a}} - \sqrt{a^2 - y^2}, \]
où \( a \N) est la longueur de la chaîne.
Tu remarqueras la présence de la fonction sécante hyperbolique inverse dans cette formule. Ainsi, pour comprendre cette courbe, tu dois d'abord comprendre les fonctions hyperboliques inverses, et c'est ce que nous allons explorer dans cet article.
Fig. 1. Si tu suis l'extrémité d'une ficelle droite tirée depuis l'autre extrémité, perpendiculairement à la ligne d'origine, cela créera un tracé.
Rappelle-toi que si nous avons une fonction \N(f\N) telle que \N(f(x) = y\N), alors l'inverse de \N(f\N) est la fonction \N(f^{-1}\N) telle que \N(f^{-1}(y) = x\N). C'est exactement la même chose que pour les fonctions hyperboliques invers es.
Les fonctions hyperboliques inverses standard sont les suivantes,
Sinus hyperbolique inverse : \(\sinh^{-1}{x} \),
Cosinus hyperbolique inverse : \( \cosh^{-1}{x} \),
Tangente hyperbolique inverse : \N( \Ntanh^{-1}{x} \N).
Les fonctions hyperboliques réciproques inverses sont ,
Secante hyperbolique inverse : \(\sech^{-1}{x} \),
Cosécante hyperbolique inverse : \( \csch^{-1}{x} \),
Cotangente hyperbolique inverse : \N( \Ncoth^{-1}{x} \N).
N'oublie pas que tu ne peux trouver une fonction inverse que si cette fonction est biunivoque. Cela signifie que chaque valeur du domaine de la fonction correspond à exactement une valeur unique dans l'intervalle de la fonction. Voici les domaines et les étendues de nos fonctions hyperboliques.
| Fonction | Domaine | Domaine |
| \N( y = \sinh{x} \N) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) |
| \N- (y=\cosh{x}\N) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) | \(\left[ 1, \infty \right) \) |
| \N- (y=\tanh{x}\N) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) | \(\left( -1, 1 \right) \) |
| \N- (y=\csch{x}\N) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) |
| \N- (y=\Nsech{x}\N) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) | \( \left(0, 1\right] \) |
| \N- (y=\coth{x}\N) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) | \(\left( -\infty, -1 \right) \cup \left( 1, \infty \right) \) |
Rappelle-toi que le domaine d'une fonction est l'ensemble des entrées valides dans la fonction, et que l'étendue est l'ensemble de toutes les sorties possibles de la fonction.
Les inversesdu sinus hyperbolique, de la tangente, de la cotangente et de la cosécante sont tous des fonctions biunivoques, et leurs inverses peuvent donc être trouvés sans qu'il soit nécessaire de les modifier.
Lecosinus et la sécante hyperboliques, en revanche, ne sont pas univoques. C'est pourquoi, pour trouver leurs inverses, tu dois restreindre le domaine de ces fonctions pour n'y inclure que des valeurs positives. En effet, il s'agit de fonctions paires, ce qui signifie que \( \cosh{(-x)} = \cosh{x} \Net \N( \Nsech{(-x)} = \Nsech{(x)} \Npour toute valeur de \N(x\N). Par conséquent, si tu n'autorises les fonctions qu'à prendre des entrées positives, chaque entrée a sa propre sortie.
Comme pour toutes les fonctions inverses, les graphes de \( \sinh^{-1}{x} \), \( \cosh^{-1}{x} \) et \( \tanh^{-1}{x} \) sont les mêmes que les graphes de \( \sinh{x} \), \( \cosh{x} \) and \( \tanh{x} \), but reflected in the line \( y = x \).
Fig. 2. Les inverses des fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques sont les droites originales, reflétées par la droite \N( y = x \N).
Tu peux remarquer que l'inverse du cosinus n'apparaît que dans le quadrant positif du graphique. C'est le résultat de la restriction du domaine, comme nous l'avons déjà mentionné.
De même, tu remarqueras que \N( \Ntanh^{-1}{x} \N) n'est défini que pour des valeurs de \N( x \N) comprises entre -1 et 1. C'est parce que pour tout \N(x \N), \N( \Ntanh{x} \N) est toujours compris entre -1 et 1. Par conséquent, son inverse ne peut prendre que des valeurs d'entrée dans cet intervalle.
Les domaines et les plages des fonctions hyperboliques inverses standard sont les suivants :
| Fonction | Domaine | Plage |
| \N( y = \sinh^{-1}{x} \N) | \N(\Ngauche( -\Ninfty, \Ninfty \Ndroite) \N) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) |
| \N- (y=\cosh^{-1}{x}\N) | \(\left[ 1, \infty \right) \) | \(\left[ 0, \infty \right) \) |
| \N- (y=\tanh^{-1}{x}) \N- (y=\tanh^{-1}{x}) | \(\left( -1, 1 \right) \) | \(\left( -\infty, \infty \right) \) |
Don't confuse \( \sinh^{-1}{x} \) with \( \frac{1}{\sinh{x}} \), these are two separate functions. \( \frac{1}{\sinh{x}} \) est la fonction hyperbolique réciproque de \(\sinh{x}\), connue sous le nom de \( \csch{x} \), tandis que \( \sinh^{-1}{x} \) est la fonction hyperbolique inverse de \(\sinh(x)\).
Tu peux voir ci-dessous les graphiques des fonctions hyperboliques inverses réciproques, \( \csch^{-1}{x}\), \( \sech^{-1}{x}\) et \(\coth^{-1}{x}\).
Fig. 3. Les inverses des fonctions hyperboliques réciproques, la sécante, la cosécante et la cotangente hyperboliques, sont les graphiques originaux reflétés par la droite \N( y = x \N).
Une fois encore, le domaine doit être restreint lorsque l'on travaille avec l'inverse de \( \sech{x} \), car il s'agit d'une fonction plusieurs-à-un, tout comme son homologue non réciproque \(\cosh{x}\). Les domaines et les étendues des fonctions hyperboliques réciproques inverses sont les suivants :
| Fonction | Domaine | Domaine |
| \N( y = \csch^{-1}{x} \N) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) | \(\left( -\infty, 0 \right) \cup \left( 0, \infty \right) \) |
| \N-(y=\sech^{-1}{x}\N) | \(\left( 0, 1 \right] \) | \(\left[ 0, \infty \right) \) |
| \N- (y=\coth^{-1}{x}) \N- (y=\coth^{-1}{x}) | \(\left( -\infty, -1 \right) \) | \(\N- gauche( 1, \Ninfty \Ndroite) \N) |
Tout comme les fonctions hyperboliques standard ont des formes exponentielles, les fonctions hyperboliques inverses ont des formes logarithmiques. C'est logique, étant donné que le logarithme naturel d'un nombre est l'inverse de l'élévation de ce nombre à la constante exponentielle \( e \N).
Les formes logarithmiques des fonctions hyperboliques inverses, \( \sinh^{-1}{x} \), \( \cosh^{-1}{x} \) et \( \tanh^{-1}{x} \) sont,
\[ \begin{align} \sinh^{-1}{x} & = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)}, \cosh^{-1}{x} & = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)}, \tanh^{-1}{x} & = \frac{1}{2} \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right) }. \n-{align} \]
Il existe également des formes logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques inverses \( \sech^{-1}{x}\), \( \csch^{-1}{x}\) et \( \coth^{-1}{x}\). Ce sont ,
\[ \begin{align} \sech^{-1}{x} & = \ln{\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right)}, \csch^{-1}{x} & = \ln{\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right)}, \coth^{-1}{x} & = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}. \n-{align} \]
Une question fréquente consiste à prouver l'une des formes logarithmiques présentées ci-dessus. Pour ce faire, il est important d'utiliser la forme exponentielle des fonctions hyperboliques standard.
Prouve que \[ \sinh^{-1}{x} = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)}. \]
Solution
Ecris d'abord \[ y = \sinh^{-1}{x}. \] Maintenant, prends le sinus hyperbolique des deux côtés pour obtenir \[ \sinh{y} = x. \N- Écris \N( \Nsinh{y}) sous forme exponentielle, \N[ x = \Nsinh{y} = \Nfrac{e^y - e^{-y}}{2}. \N- À partir de là, tu peux résoudre \N( y. \N) Commence par multiplier les deux côtés par 2, puis par \N( e^y \N),
\N- 2 x & = e^y - e^{-y} \N- 2 x e^y & = e^{2y} - 1 \N- 0 & = e^{2y} - 2x e^{y} - 1. \N-END{align} \]
Il s'agit d'une quadratique dans \N( e^y \N). On peut résoudre ce problème à l'aide de la formule quadratique :
\[ \N-(-2x) \Npm \Nsqrt{(-2x)^2 - 4 \Ncdot 1 \Ncdot (-1)}}{2 \Ncdot 1} \N-(-2x) \Npm \Nsqrt{(-2x)^2 - 4 \Ncdot (-1)}}{2 \Ncdot 1} \\N- & = \Nfrac{2x \Npm \Nsqrt{4x^2 + 4}}{2} \N- & = \Nfrac{2x \Npm 2 \sqrt{x^2 + 1}}{2} \\N- & = x \Npm \sqrt{x^2 + 1}. \Nend{align} \]
On peut ici choisir entre le plus et le moins. Le logarithme naturel est indéfini pour les nombres inférieurs à 0, donc si tu prends le moins, c'est-à-dire \(x-\sqrt{x^2+1}\), nous avons toujours \( x < \sqrt{x^2}+1 \), et donc \(e^y=x-\sqrt{x^2+1}\) est indéfini. Le signe plus est donc le bon choix,
\e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}.
Enfin, prends le logarithme naturel,
\[ y = \ln{\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)}, \] et la preuve est complète.
Il est également important de pouvoir manipuler les fonctions hyperboliques de manière à rendre une question plus facile, ainsi que de s'entraîner à substituer des nombres dans les formules logarithmiques.
Résous \( \cosh^{3}{x} - 3 \cosh{x} = 0 \), en donnant ta réponse sous forme logarithmique.
Solution
Tout d'abord, retire le facteur commun de \( \cosh{x} \),
\[ \begin{align} \cosh^{3}{x} - 3 \cosh{x} & = 0 \cosh{x} \N- gauche( \Ncosh^2{x} - 3 \Ndroite) & = 0. \Nfin{align} \]
Pour que cela soit vrai, il faut que soit \Nsoit \N( \Ncosh{x} = 0 \Nsoit \Nsoit \N( \Ncosh^2{x} = 3 \Nimplique \Ncosh{x} = \Npm \Nsqrt{3}. \) You can see from the graphs above that \( \cosh{x} \) never goes below 1. Thus, it cannot be that \( \cosh{x} = 0 \), or that \( \cosh{x} = -\sqrt{3} \). Ainsi, il faut que ce soit le cas,
\[ \cosh{x} = \sqrt{3}. \]
Prends l'inverse du cosinus hyperbolique de ceci, pour obtenir,
\[ x = \cosh^{-1}{\sqrt{3}}, \]
et enfin, écris ceci en utilisant la formule logarithmique pour le cosinus hyperbolique inverse,
\[ \begin{align} x & = \ln{\left(3 + \sqrt{\sqrt{3}^2 - 1}\right)} \\ & = \ln{\left(3 + \sqrt{2} \right)}. \Nend{align} \]
C'est la réponse finale.
Les dérivées des fonctions hyperboliques inverses \( \sinh^{-1}{x} \), \(\cosh^{-1}{x} \) et \(\tanh^{-1}{x} \) sont,
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \sinh^{-1}{x} & = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \cosh^{-1}{x} & = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}, \frac{d}{dx} \tanh^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \Nend{align} \]
Tu remarqueras ici une ressemblance avec les dérivées des fonctions trigonométriques inverses.
Connaître toutes les dérivées hyperboliques et trigonométriques inverses facilitera la résolution de nombreuses intégrales compliquées, car tu peux utiliser l'intégration par substitution avec une fonction hyperbolique comme substitution. Voir Intégration des fonctions hyperboliques pour plus d'informations à ce sujet.
Lesdérivées des fonctions hyperboliques réciproques inverses \( \sech^{-1}{x} \), \( \csch^{-1}{x} \) et \( \coth^{-1}{x} \) sont,
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \sech^{-1}{x} & = \frac{-1}{x \sqrt{1 - x^2}}, \frac{d}{dx} \csch^{-1}{x} & = \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \frac{d}{dx} \coth^{-1}{x} & = \frac{1}{1-x^2}. \n-{align} \]
Tu peux remarquer que les dérivées de la tangente hyperbolique et de la cotangente hyperbolique semblent être les mêmes. C'est normal, car elles sont définies sur des domaines différents. La tangente hyperbolique et sa dérivée sont définies sur \( |x| < 1 \), tandis que la cotangente hyperbolique et sa dérivée sont définies sur \( |x| > 1 \).
Les fonctions hyperboliques des nombres complexes ne sont pas quelque chose que tu auras à considérer dans le cours de mathématiques complémentaires, mais il peut être intéressant de les étudier néanmoins. Pour un récapitulatif sur les nombres complexes, voir Nombres complexes de base.
Si tu as étudié les racines de l'unité, tu sais qu'un nombre peut avoir plusieurs racines dans le plan complexe, par exemple, \( 16^{\frac{1}{4}}) pourrait être \( 2, 2i , -2 \) ou \( -2i.\) Voir Racines de l'unité pour plus d'informations.
De même, dans le premier exemple du sous-titre "Exemples de fonctions hyperboliques inverses", tu résous \(e^y\). Cependant, dans le plan complexe, \(e^y\) aura plusieurs solutions lorsque tu résoudras \(y.\) Ainsi, les fonctions hyperboliques inverses seront des fonctions à valeurs multiples dans le plan complexe.
Il est courant de définir une valeur principale pour ces fonctions, afin de leur donner une valeur unique. Les valeurs principales habituelles des fonctions hyperboliques inverses standard sont les suivantes,
\[ \N- début{align}] \sinh^{-1}{z} & = \ln{\left(z + \sqrt{z^2 + 1} \right)}, \cosh^{-1}{z} & = \ln{\left(z + \sqrt{z^2 - 1} \right)}, \tanh^{-1}{z} & = \frac{1}{2} \ln{\left( \frac{1+z}{1-z} \right) }. \n-{align} \]
Tu peux remarquer qu'il s'agit des mêmes formules que les formes logarithmiques des fonctions hyperboliques inverses sur les nombres réels, mais en remplaçant \N( x\N) par \N( z\N).
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