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Équipe enseignants Fonctions bijectives
Dans cette section, nous allons examiner la fonction bijective et la comprendre dans les différentes formes de fonction.
Supposons que nous ayons deux ensembles, \N(A\N) et \N(B\N), et qu'une fonction \N(f\N) pointe de \N(A\N) à \N(B\N) \N((f:A\Nà B)\N). Si chaque élément du codomaine \N(B\N) est pointé par au moins un élément du domaine \N(A\N), la fonction est appelée fonction bijective.
Une fonction \(f:A\à B\) est bijective si, pour chaque \(y\) dans \(B\), il y a exactement une \(x\) dans \(A\) telle que \(f(x)=y\).
Une fonction bijective est à la fois injective (fonction une) et surjective (fonction sur) par nature.
Si chaque élément de l'intervalle est mis en correspondance avec exactement un élément du domaine, on parle de fonction injective . C'est-à-dire qu'aucun élément du domaine ne pointe vers plus d'un élément de l'intervalle.
Dans une fonction surjective, chaque élément du codomaine est une image d'au moins un élément du domaine.
Fonctions injectives et surjectives, StudySmarter Originals
Il s'ensuit donc logiquement que si une fonction est à la fois injective et surjective par nature, cela signifie que chaque élément du domaine a une image unique dans le codomaine, telle que tous les éléments du codomaine font également partie de l'intervalle (ont un élément correspondant dans le domaine). Une telle fonction est appelée fonction bijective.
Tu peux considérer une fonction bijective comme une correspondance univoque parfaite. Chaque élément du domaine a exactement une image correspondante dans le codomaine, et vice-versa.
Fonction bijective, StudySmarter Originals
Remarque que la fonction onto n'est pas bijective, car elle doit être une fonction univoque pour être bijective. Examinons la différence entre ces deux fonctions pour mieux la comprendre.
Nous allons voir la différence entre les fonctions bijectives et surjectives dans le tableau suivant.
Fonction bijective | Fonction surjective |
Une fonction \((f:A\to B)\) est bijective si, pour chaque \(y\) dans \(B\), il y a exactement une \(x\) dans \(A\) telle que \(f(x)=y\). | Une fonction \((f:A\to B)\) est surjective si pour chaque \(y\) dans \(B\), il y a au moins une \(x\) dans \(A\) telle que \(f(x)=y\). |
Une fonction bijective est à la fois une fonction unitaire et une fonction onto. | Une fonction surjective est une fonction onto. |
Le domaine et le co-domaine ont le même nombre d'éléments. | Un co-domaine peut être une image pour plus d'un élément du domaine. |
Les graphes bijectifs ont exactement une intersection de lignes horizontales dans le graphe. | Les graphes surjectifs ont au moins une intersection de lignes horizontales dans le graphe. |
Exemple - \(f:\mathbb{R}\à \mathbb{R}, f(x)=2x\) | Exemple - \N(f:\Nmathbb{R}\Nà \Nmathbb{R}, f(x)=x^{3}-3x\N) |
Considérons les fonctions \(f:A\à B , g:B\à C\). Alors la composition de la fonction \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) de la fonction \(A\) à \(C\). La composition de la fonction bijective est dérivée de la composition des fonctions injectives et surjectives.
Les fonctions \(f:A\to B , g:B\to C\) sont des fonctions injectives, alors la composition \(g\circ f\) est également injective. De même, pour les deux fonctions surjectives \N(f\N) et \N(g\N), leur composition \N(g\Ncirc f\N) est également surjective.
Supposons que \(f:A\à B\) et \( g:B\à C\) soient toutes deux bijectives. Cela implique que \(f\N) et \N(g\N) sont également injectives et surjectives. La composition des fonctions \(g\circ f\) est à la fois injective et surjective. Par conséquent, la composition de la fonction \(g\circ f\) est bijective.
Notez que si \(g\circ f\) est bijective, alors il est seulement possible que \(f\) soit injective et que \(g\) soit surjective.
Composition bijective, StudySmarter Originals
Nous pouvons également déterminer une fonction bijective en nous basant sur le graphique tracé. Pour identifier un graphique de fonction bijective, nous considérons un test de ligne horizontale basé sur les fonctions injectives et surjectives. Pour qu'une fonction soit bijective, les tests d'injectivité et de surjectivité doivent être satisfaits.
Ce test est utilisé pour vérifier les fonctions injectives, surjectives et bijectives. Nous déterminons le type de fonction en fonction du nombre de points d'intersection avec la ligne horizontale et le graphique donné.
Pour vérifier cela, trace des lignes horizontales à partir de différents points. Si chaque ligne horizontale croise le graphique en un point au plus, il s'agit alors d'une fonction injective. Si la fonction est surjective, alors une ligne horizontale doit se croiser en au moins un point. Ainsi, lors de la vérification d'une fonction bijective, il doit y avoir exactement un point d'intersection avec une ligne horizontale.
Montre la bijection de la fonction \(f:\mathbb{R}\à \mathbb{R}, f(x)=x\).
Solution:
Considère la fonction \(f(x)=x\), où le domaine et le co-domaine sont l'ensemble de tous les nombres réels.
Toutes les valeurs du co-domaine correspondent à une valeur unique du domaine. La fonction est donc de nature bijective.
Elle est injective parce que chaque valeur de \(x\) conduit à une valeur différente de \(y\). Elle est surjective parce que tout nombre réel possible \(r\) peut avoir une valeur correspondante \(x\) telle que \(f(x)=r\).
Lorsqu'une fonction bijective est dessinée sur un graphique, une ligne horizontale parallèle à l'axe des X doit couper le graphique en un seul point (test de la ligne horizontale).
Le graphique suivant le démontre pour la fonction \(f(x)=x\).
Graphique de la fonction \(f(x)=x\), StudySmarter Originals
Vérifie si la fonction \(f:\mathbb{R}\à \mathbb{R}, f(x)=x^{2}\) est bijective ou non.
Solution:
Ici, pour la fonction donnée, le domaine de la fonction ne comprend que les valeurs \(\ge 0\). Mais le co-domaine comprend également tous les nombres réels négatifs. Et les membres du co-domaine peuvent être des images de plusieurs membres du domaine, par exemple \(f(2)=f(-2)=4\). Par conséquent, la fonction \(f(x)=x^{2}\) n'est pas injective. Donc, \(f(x)=x^{2}\) n'est pas bijective.
Lorsque nous dessinons la fonction sur un graphique, nous pouvons remarquer qu'elle échoue au test de la ligne horizontale car elle se croise en deux points différents.
Graphique de la fonction non bijective pour \(f(x)=x^{2}\), StudySmarter Originals
La fonction \(f(x)=2x\) est-elle bijective ? Montre également pour quel domaine et co-domaine.
Solution:
Lorsque nous avons fixé le domaine et le co-domaine de la fonction à l'ensemble de tous les nombres réels, il s'agit d'une fonction bijective.
Par conséquent, pour \(f:\mathbb{R}\à \mathbb{R}, f(x)=2x\) est bijective.
Cependant, si nous restreignons le domaine et le co-domaine de la fonction à l'ensemble des nombres naturels, il ne s'agit plus d'une fonction bijective. En effet, le domaine comprendrait tous les nombres pairs mais exclurait tous les nombres impairs, qui font néanmoins partie du co-domaine. Par exemple, il est impossible d'obtenir \(f(x)=3\), pour toute valeur d'entier naturel de \(x\). Ainsi, la fonction n'est pas surjective, et par conséquent pas bijective.
Donc, \(f:\mathbb{N}\à \mathbb{N}, f(x)=2x\) n'est pas bijective.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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