Savais-tu que la première mention des nombres premiers remonte à 300 ans avant Jésus-Christ, dans la Grèce antique ? C'est un mathématicien grec du nom d'Euclide d'Alexandrie qui l'a découvert et qui a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Dans cet article, nous allons nous familiariser avec un concept impliquant les nombres premiers appelé factorisation des nombres premiers. L'idée tourne autour du fait que tout nombre entier peut être exprimé comme le produit d'un ensemble de nombres premiers. Nous verrons ici comment les facteurs premiers peuvent être considérés comme le "bloc de construction" ou la base d'un nombre entier donné, ainsi que les méthodes permettant de factoriser les nombres entiers en leurs facteurs premiers et, enfin, des exemples d'application de la factorisation des nombres premiers.
Définition de la factorisation des nombres premiers
Tout d'abord, rappelle la définition d'un nombre premier.
Un nombre premier est un nombre entier qui a précisément deux facteurs, \N(1\N) et le nombre lui-même. Voici quelques exemples de nombres premiers : \N(2\N), \N(3\N), \N(5\N), \N(7\N), \N(11\N), \N(13\N), etc.
Rappelle maintenant la définition d'un facteur.
Un facteur d'un nombre entier donné est un facteur qui divise le nombre sans laisser de reste. En d'autres termes, les facteurs d'un nombre divisent complètement ce nombre.
Ces deux définitions étant posées, nous allons commencer par nous rafraîchir la mémoire sur la recherche des facteurs d'un nombre donné. De cette façon, nous pourrons nous familiariser avec le sujet et l'utiliser pour faire le lien entre ce concept et les nombres premiers. À titre d'exemple, déduisons les facteurs de \(14\). Ce nombre peut être écrit comme le produit des paires de nombres suivantes.
\N- [1 fois 14 = 14 \N]
\N- [2 \N- fois 7 = 14 \N]
Tous les nombres figurant dans ces deux produits de \N(14\N) sont ses facteurs. Ainsi, les facteurs de \N(14\N) sont \N(1\N), \N(2\N), \N(7\N) et \N(14\N). En examinant cette liste de facteurs, tu remarqueras que les nombres \(2\) et \(7\) sont des nombres premiers. Cela nous amène à la définition d'un facteur premier.
Un facteur premier est un facteur d'un nombre donné qui est également un nombre premier.
Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons exprimer un nombre comme le produit de deux nombres. Néanmoins, nous pouvons également représenter un nombre comme un produit de ses facteurs premiers. C'est ce qu'on appelle la factorisation des nombres premiers.
Lafactorisation première est le processus qui consiste à écrire un nombre sous la forme d'un produit de ses facteurs premiers.
Essentiellement, ce que nous faisons ici, c'est décomposer un nombre en fonction de ses facteurs premiers. N'est-ce pas génial ?
Exemples de factorisations premières d'un nombre
Le tableau ci-dessous montre quelques exemples de nombres exprimés sous leur forme de factorisation première. Il s'agit simplement de donner une idée plus claire de l'aspect de cette représentation. Ne te préoccupe pas encore du processus ! Nous y reviendrons dans la section suivante.
| Nombre | Forme de factorisation première |
| \(16\) | \N- (2 \N- fois 2 \N- fois 2 \N- fois 2 = 2^4\N) |
| \(27\) | \N- (3 \N- fois 3 \N- fois 3 = 3^3\N) |
| \(45\) | \N- 3 \N- 3 \N- 5 \N = 3^2 \N- 5 \N- 5 \N- \N |
| \(64\) | \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N = 2^6\N) |
| \(86\) | \N- (2 \N fois 43 \N) |
| \(99\) | \N- 3 \N- 3 \N- 11 \N = 3^2 x 11 \N- 3 \N- 3 \N- 3 \N- 11 \N |
| \(144\) | \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- 3 \N- 3 \N- 3 = 2^4 \N- 3^2 \N- 3^2 |
| \(322\) | \N- (2 \N- fois 7 \N- fois 23 \N) |
| \(1025\) | \N- (5 \N- fois 5 \N- fois 41 = 5^2 \N- fois 41 \N) |
Facteurs premiers et facteurs
La principale différence entre les facteurs et les facteurs premiers est simplement le type de nombre dans chaque forme de factorisation. Les facteurs sont essentiellement des nombres qui divisent complètement un autre nombre sans laisser de reste. Ces facteurs comprennent à la fois les nombres composites et les nombres premiers.
Un nombre composite est un nombre entier qui a plus de deux facteurs.
Les facteurs premiers d'un nombre donné sont des facteurs qui sont à la fois diviseurs et classés comme nombres premiers. Lorsque l'on considère la factorisation première de ce nombre, cela signifie que l'on ne peut plus décomposer sa forme factorisée en d'autres nombres (puisqu'il ne s'agit plus d'un nombre composite).
Méthodes de décomposition en facteurs premiers
Il existe deux façons de déterminer la factorisation première d'un nombre donné. Ces deux techniques sont énumérées ci-dessous.
Méthode de division
Méthode de l'arbre factoriel
Dans cette section, nous allons discuter de chaque technique à tour de rôle et présenter plusieurs exemples démontrant chaque méthode.
La méthode de la division
Commençons par la méthode de la division. Cette technique comporte quatre étapes.
Divise le nombre donné par le plus petit nombre premier ;
Ce plus petit nombre premier doit diviser complètement le nombre.
Divise à nouveau le quotient de l'étape 1 par le plus petit nombre premier ;
Répète l'étape 2 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 1 ;
Multiplie tous les facteurs premiers obtenus.
Ces nombres premiers sont les diviseurs du dividende de l'étape 1 et les quotients des étapes 2 à 3.
Nous allons maintenant observer quelques exemples illustrant cette méthode.
Trouve la factorisation première de 56 en utilisant la méthode de division.
Solution
Nous allons le faire sous forme de tableau pour rendre cette méthode plus claire.
| Procédure | Facteur premier | Résultat de la division |
| Diviser \(56\) par le plus petit facteur premier, c'est-à-dire \(2\) | \(2\) | \N(56 \Ndiv 2 = 28 \N) |
| Divise le quotient, \N(28\N) à nouveau par le plus petit facteur premier, c'est-à-dire \N(2\N) | \(2\) | \N(28 \Ndiv 2 = 14\N) |
| Divise le quotient, \N(14\N) à nouveau par le plus petit facteur premier, c'est-à-dire \N(2\N) | \(2\) | \N(14 \Ndiv 2 = 7 \N) |
| Le quotient est ici \N(7\N) qui est un nombre premier. Il faut donc le diviser par lui-même pour obtenir \(1\) | \(7\) | \N(7 \Ndiv 7 = 1\N) |
Une façon plus soignée de dessiner ce tableau est d'utiliser la grille suivante.
Méthode de division pour 56 - StudySmarter Originals
Ainsi, la factorisation première de \(56\) est \(56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7\).
Les facteurs premiers de \N(56\N) sont \N(2\N) et \N(7\N).
Trouve la factorisation première de \(999\) en utilisant la méthode de division.
Solution
En appliquant le même format que le tableau ci-dessus, nous obtenons
| Procédure | Facteur premier | Résultat de la division |
| Divise \(999\) par \(3\) | \(3\) | \N- (999 \Ndiv 3 = 333 \N) |
| Diviser \N(333\N) par \N(3\N) | \(3\) | \N- (333 \Ndiv 3 = 111 \N) |
| Divise \N-(111\N) par \N-(3\N) | \(3\) | \N- (111\Ndiv 3 = 37\N) |
| Comme \N-(37\N) est un nombre premier, divise \N-(37\N) par lui-même | \(37\) | \N- (37\Ndiv 37 = 1\N) |
Tu trouveras ci-dessous une autre façon d'exprimer ce tableau.
Méthode de division pour 999 - StudySmarter Originals
Ainsi, la factorisation première de \N(999\N) est \N(999 = 3 \Nfois 3 \Nfois 3 \Nfois 37 = 3^3 \Nfois 37\N).
Les facteurs premiers de \N(999\N) sont \N(3\N) et \N(37\N).
Méthode de l'arbre pour lafactorisation des nombres premiers
Nous allons maintenant passer à la méthode de l'arbre factoriel. Les étapes de ce processus sont numérotées ci-dessous.
Écris le nombre au sommet de l'arbre factoriel ;
Exprime le nombre comme le produit de deux facteurs qui se ramifient à partir de l'arbre ;
Ramène chacun des facteurs trouvés à l'étape 2 à un produit de deux facteurs ;
Répète l'étape 3 jusqu'à ce que tu ne puisses plus ramifier chaque facteur. À ce stade, il faut l'écrire comme un facteur premier ;
Enfin, définis le nombre donné comme un composé de ses facteurs premiers sous forme d'exposant.
Voyons maintenant quelques exemples concrets utilisant cette méthode.
Trouve la factorisation première de \(72\) en utilisant la méthode de l'arbre factoriel.
Solution
Factorisons d'abord \N(72\N) comme un produit de deux nombres, disons \N(2\N) et \N(36\N). À partir de là, nous pouvons diviser \N(36\N) en produit de \N(2\N) et \N(18\N). Le nombre \(2\) est un nombre premier et ne peut plus être décomposé. Nous pouvons donc laisser cette branche tranquille.
Encore une fois, nous pouvons décomposer \N(18\N) en produit de \N(2\N) et \N(9\N). En répétant ce processus pour \N-(9\N), nous avons deux branches de \N-(3\N). Comme \(3\) est un nombre premier, nous pouvons nous arrêter ici. Pour visualiser cela, dessinons un arbre factoriel.
Méthode de l'arbre factoriel pour 72 - StudySmarter Originals
Ainsi, la factorisation première de \N(72\N) est \N(72 = 2 \Ntimes 2 \Ntimes 2 \Ntimes 3 \Ntimes 3 = 2^3 \Ntimes 3^2\N).
Les facteurs premiers de \N(72\N) sont \N(2\N) et \N(3\N).
Trouve la factorisation première de \(125\) en utilisant la méthode de l'arbre factoriel.
Solution
En appliquant le même concept que dans l'exemple précédent, nous obtenons l'arbre factoriel suivant pour \(125\N).
Ici, nous avons d'abord factorisé \N(125\N) en tant que produit de \N(5\N) et \N(25\N). \N- \N(5\N) est un nombre premier et ne peut plus être décomposé, nous pouvons donc laisser cette branche tranquille. À partir d'ici, nous pouvons décomposer \N(25\N) en produit de \N(5\N) et \N(5\N). Comme \(5\) est un nombre premier, nous pouvons arrêter notre arbre ici.
Méthode de l'arbre factoriel pour 125 - StudySmarter Originals
Ainsi, la factorisation première de \N(125\N) est \N(125 = 5 \Nfois 5 \Nfois 5 = 5^3\N).
Le seul facteur premier de \(125\) est \(5\).
Applications de la factorisation première
La factorisation première est un outil très utile lorsqu'il s'agit de trouver des modèles et des relations entre les facteurs et les multiples d'un ensemble donné de nombres. Elle est pratique lorsqu'il s'agit de chiffres plus grands. Nous pouvons utiliser ce concept pour trouver ce qui suit :
Facteur commun le plus élevé (HCF)
Le plus petit facteur commun (LCM)
Identification du nombre total de facteurs
Cette rubrique aborde en détail ces trois applications principales de la factorisation des nombres premiers, ainsi que des exemples concrets pour chaque cas.
Facteur commun le plus élevé (FCH)
En identifiant la factorisation première de deux nombres donnés, nous pouvons déduire leur facteur commun le plus élevé (FCH). Étant donné une paire de nombres, disons x et y, nous devons d'abord trouver la factorisation première de chaque nombre. Le FCM de x et y est le produit de la plus petite puissance de chaque facteur premier commun. Montrons-le à l'aide d'un exemple.
Tu trouveras plus d'informations sur ce sujet dans l'article : Facteur commun le plus élevé.
Trouve le FCM de \(60\) et \(96\).
Solution
Commençons par trouver la factorisation première de \(60\) et \(96\). Note que tu peux utiliser l'une ou l'autre méthode. Pour cet exemple, nous utiliserons la méthode de la division.
Factorisation première de \(60\).
Méthode de division pour 60 - StudySmarter Originals
\[60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\]
Les facteurs premiers de \(60\) sont \(2\), \(3\) et \(5\).
Factorisation première de \(96\).
Méthode de division pour 96 - StudySmarter Originals
\N- 96 = 2 \N- fois 2 \N- fois 2 \N- fois 2 \N- fois 2 \N- fois 3 = 2^5 \N- fois 3\N]
Les facteurs premiers de \N(96\N) sont \N(2\N) et \N(3\N).
Le HCF est le produit de la plus petite puissance de chaque facteur premier commun. Les facteurs premiers communs à \N(60\N) et \N(96\N) sont \N(2\N) et \N(3\N). Ainsi,
\[\text{HCF}(60, 96) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\].
Par conséquent, le facteur commun le plus élevé entre \(60\) et \(96\) est \(12\).
Le plus petit commun multiple (LCM)
En outre, nous pouvons également déterminer le plus petit commun multiple (LCM) partagé entre deux nombres à l'aide de la factorisation des nombres premiers. Là encore, nous devons trouver la factorisation première pour une paire de nombres donnée, disons \(x\N) et \N(y\N). Le LCM de \(x\) et \(y\) est le produit de la plus grande puissance de chaque facteur premier commun. Voici un exemple pour le démontrer.
Tu trouveras plus d'informations sur ce sujet dans l'article : Le plus petit commun multiple.
Trouve le LCM de \(78\) et \(152\).
Solution
Commençons par trouver la factorisation des nombres premiers de \(78\N) et \N(152\N). Remarque à nouveau que tu peux utiliser l'une ou l'autre méthode. Pour cet exemple, nous utiliserons la méthode de la division.
Factorisation première de \(78\).
Méthode de division pour 78 - StudySmarter Originals
\N- 78 = 2 \N fois 3 \N fois 13 \N]
Les facteurs premiers de \N(78\N) sont \N(2\N), \N(3\N) et \N(13\N).
Factorisation première de \(152\).
Méthode de division pour 152 - StudySmarter Originals
\N- 152 = 2 \N fois 2 \N fois 2 \N fois 19 = 2^3 x 19\N]
Les facteurs premiers de \(152\) sont \(2\) et \(19\).
Le LCM est le produit de la plus grande puissance de chaque facteur premier commun. Le seul facteur premier commun entre \(78\N) et \N(152\N) est \N(2\N). Ainsi ,
\[\text{LCM}(78, 152) = 2^3 = 8\]
Par conséquent, le plus petit commun multiple entre \N(78\N) et \N(152\N) est \N(8\N).
Trouver le nombre de facteurs
Nous pouvons également utiliser la factorisation des nombres premiers pour déduire le nombre de facteurs d'un nombre donné. Note qu'il est possible d'utiliser à la fois la méthode de l'arbre factoriel et la méthode de la division pour effectuer cette tâche. Cependant, dans la plupart des manuels, la méthode de l'arbre factoriel est le choix le plus courant pour ce travail. Tu trouveras ci-dessous les quatre étapes de cette méthode.
Trouve la factorisation des nombres premiers du nombre donné en utilisant la méthode de l'arbre factoriel (ou la méthode de la division) ;
Exprime ce produit de nombres premiers trouvé sous la forme de l'exposant correspondant ;
Ajoute 1 à chaque exposant ;
Multiplie les nombres trouvés à l'étape 3. Le résultat donne le nombre de facteurs du nombre donné.
Pour le démontrer, examinons l'exemple suivant.
Trouve le nombre de facteurs pour le nombre \(108\).
Solution
Utilisons la méthode de l'arbre à facteurs pour trouver la factorisation première de \(108\).
Méthode de l'arbre factoriel pour 108 - StudySmarter Originals
Ainsi, la factorisation première de \(108\N) est \N(108 = 2 \Ntimes 2 \Ntimes 3 \Ntimes 3 \Ntimes 3 \N).
Sous forme d'exposant, nous obtenons \(108 = 2^2 \times 3^3\).
Ici, nous avons les valeurs suivantes des exposants.
Exposant pour \N(2 = 2\N)
Exposant pour \N(3 = 3\N)
Maintenant, en ajoutant \N(1\N) à chacun de ces exposants, on obtient
Exposant de \N(2 + 1 = 3\N)
Exposant de \N(3 + 1 = 4\N)
En multipliant ces nombres, on obtient
\N- [3 \N fois 4 = 12 \N]
Ainsi, le nombre \(108\) a \(12\) facteurs.
Vérification
Vérifions si notre résultat est correct. En utilisant la méthode de multiplication, nous pouvons écrire 108 comme le produit suivant de deux nombres.
\N- [1 fois 108 = 108 \N]
\N- [2 \N- fois 54 = 108 \N]
\N- [3 \N- fois 36 = 108 \N]
\N- [4 \N- fois 27 = 108 \N]
\N- 6 \N- 18 \N = 108 \N]
\N- [9 \N- fois 12 = 108 \N]
Les facteurs de \N(108\N) sont \N(1\N), \N(2\N), \N(3\N), \N(4\N), \N(6\N), \N(9\N), \N(12\N), \N(18\N), \N(27\N), \N(36\N), \N(54\N) et \N(108\N). Ainsi, le nombre \(108\) a un total de \(12\) facteurs, comme déclaré.
Exemples pratiques
Voici quelques autres exemples de travaux pratiques illustrant les deux techniques de factorisation des nombres premiers. Nous appliquerons les deux méthodes pour les exemples ci-dessous afin de mieux comprendre chaque approche.
Trouve la factorisation première de \(320\).
Méthode de division
Méthode de division pour 320 - StudySmarter Originals
\[320 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^6 \times 5\]
Méthode de l'arbre à facteurs
Méthode de l'arbre factoriel pour 320 - StudySmarter Originals
\N- 320 = 2 \N-times 2 \N-times 2 \N-times 2 \N-times 2 \N-times 2 \N-times 5 = 2^6 \N-times 5\N]
Les résultats sont les mêmes !
Trouve la factorisation première de \(536\).
Méthode de division
Méthode de division pour 536 - StudySmarter Originals
\[536 = 2 \times 2 \times 2 \times 67 = 2^3 \times 67\]
Méthode de l'arbre à facteurs
Méthode de l'arbre factoriel pour 536 - StudySmarter Originals
\N- 536 = 2 \Ntimes 2 \Ntimes 2 \Ntimes 67 = 2^3 \Ntimes 67\N]
Les résultats sont les mêmes !
Factorisation première - Principaux enseignements
- La factorisation première consiste à écrire un nombre sous la forme d'un produit de ses facteurs premiers.
- Méthode de division pour la factorisation première
Divise le nombre donné par le plus petit nombre premier ;
Divise à nouveau le quotient de l'étape 1 par le plus petit nombre premier ;
Répète l'étape 2 jusqu'à ce que le quotient soit égal à \(1\) ;
Multiplie tous les facteurs premiers obtenus.
- Méthode de l'arbre à facteurs pour la factorisation des nombres premiers
Écris le nombre au sommet de l'arbre factoriel ;
Exprime le nombre comme le produit de deux facteurs qui se ramifient à partir de l'arbre ;
Ramène chacun des facteurs trouvés à l'étape 2 à un produit de deux facteurs ;
Répète l'étape 3 jusqu'à ce que tu ne puisses plus ramifier chaque facteur ;
Définis le nombre donné comme un composé de ses facteurs premiers sous forme d'exposant.
- Le HCF de deux nombres est le produit de la plus petite puissance de chaque facteur premier commun.
- Le LCM de deux nombres est le produit de la plus grande puissance de chaque facteur premier commun.
- Trouver le nombre de facteurs d'un nombre à l'aide de la factorisation première
Trouve la factorisation première du nombre donné ;
Exprime ce produit de nombres premiers trouvé sous la forme de l'exposant correspondant ;
Ajoute 1 à chaque exposant ;
Multiplie les nombres trouvés à l'étape 3. Le résultat donne le nombre de facteurs du nombre donné.
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