Factorisation des polynômes: Méthodes, Exemples

Table des mateères

$3 x y^{2} - 27 x^{3} y^{3} + 15 x^{2} y - 9 x y^{4}$

N'est-ce pas un peu long et un peu confus ? Cependant, vois-tu ce que chaque terme a en commun ? Je vais te donner un indice : chaque terme est divisible par 3, x et y. En retirant ces termes de l'expression, nous obtiendrons une expression plus courte et plus simple. Mais nous y reviendrons plus tard !

Dans cet article, nous allons explorer la factorisation des polynômes, leur définition, la façon de résoudre les équations polynomiales et des exemples d'application.

Factorisation

Commençons par la définition de la factorisation.

Lafactorisation est un processus par lequel nous écrivons un nombre ou une expression sous la forme d'un produit de ses facteurs.

Il s'agit d'un sujet important lorsqu'il s'agit de polynômes complexes. Prenons l'exemple suivant :

Factorise la valeur de 20.

Solution

Il y a plusieurs façons de décomposer le produit de 20.

Prenons par exemple 2 x 10 = 20.

Cependant, 10 n'est pas un nombre premier et nous pouvons donc décomposer ce produit comme suit

2 x 2 x 5 = 20.

Maintenant, nous ne pouvons plus simplifier les éléments qui composent ce produit. Il a donc été complètement factorisé.

En algèbre, factoriser un polynôme (de degré supérieur) signifie que nous réécrivons un polynôme sous la forme d'un produit de polynômes de degré inférieur. Essentiellement, ce que nous faisons ici est l'inverse de la méthode FOIL. Étant donné le produit de deux binômes (a + b)(c + d), rappelle-toi que la méthode FOIL est donnée par

Méthode FOIL, Aishah Amri - StudySmarter Originals

FOIL est l'abréviation de First, Outer, Inner et Last (premier, extérieur, intérieur et dernier).

C'est le résultat de l'expansion du produit des deux binômes. Nous cherchons à simplifier un polynôme pour qu'il s'affiche comme un produit de ses polynômes de degré le plus bas plutôt que de le multiplier.

Avant d'aborder ce sujet, rappelons les définitions suivantes.

Un monôme est un polynôme qui ne comporte qu'un seul terme. Par exemple, 2x.

Un binôme est la somme de deux monômes. Par exemple, 3x + 1.

Un trinôme est la somme de trois monômes. Par exemple, x + 2y + 5.

Pourquoi la factorisation est-elle importante ?

Dans la plupart des cas, la factorisation joue un rôle important dans la simplification d'une expression. Cela te permet de résoudre une équation particulière de manière plus efficace. De plus, la factorisation t'aidera à comprendre le comportement d'une expression polynomiale lorsqu'un graphique est nécessaire. Nous pouvons également résoudre des équations en factorisant des polynômes en identifiant leurs solutions. Voici les objectifs d'apprentissage pour cette section :

Factoriser un polynôme
Résoudre des équations polynomiales par factorisation

On nous présentera ici trois types de méthodes de factorisation, à savoir :

Le plus grand facteur commun (GCF)
Les trinômes quadratiques
Groupement

Le plus grand facteur commun

Le plus grand facteur commun (GCF) est le monôme commun le plus élevé partagé entre tous les composants d'un polynôme. Lorsque l'on factorise des polynômes, il est important de commencer par utiliser cette méthode pour éviter d'avoir affaire à des nombres plus importants.

Pour appliquer cette méthode, nous recherchons d'abord le GCF et le factorisons à partir du polynôme. Fondamentalement, nous effectuons l'inverse de la loi distributive, ou sous forme de notation :

$a b + b c = b (a + c)$

Le cas général de la factorisation des polynômes à l'aide du GCF est le suivant :

$a^{3} b^{2} + 2 a^{2} b - 4 a b^{2} = a b (a^{2} b + 2 a - 4 b)$

Remarque que tous les termes du côté gauche de la forme générale ci-dessus ont le facteur commun ab. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples concrets pour illustrer cette méthode de factorisation :

Détermine le facteur de croissance globale à partir de l'expression suivante,

$15 x^{4} - 20 x^{3} + 35 x^{2}$

Solution

Ici, nous pouvons extraire 5 et ^x2 de chaque terme. Ce faisant, nous obtenons

$15 x^{4} - 20 x^{3} + 35 x^{2} = 5 x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 7)$

Détermine le facteur de croissance globale à partir de l'expression suivante,

$x^{3} y^{2} + 3 x^{4} y + 5 x^{5} y^{3}$

Solution

Remarque que chaque terme contient à la fois ^x3et y. Ainsi, en factorisant ces termes, on obtient

$x^{3} y^{2} + 3 x^{4} y + 5 x^{5} y^{3} = x^{3} y (y + 3 x + 5 x^{2} y^{2})$

Détermine le facteur de croissance global de l'expression suivante,

$9 x^{2} (2 x + 7) - 12 x (2 x + 7)$

Solution

Tout d'abord, observe que chaque terme contient le binôme (2x + 7). En factorisant cela, on obtient

$9 x^{2} (2 x + 7) - 12 x (2 x + 7) = (2 x + 7) (9 x^{2} - 12 x)$

Remarque maintenant que nous pouvons retirer 3x de (^9x2 - 12x). Cela nous donnera la forme factorisée finale suivante

$(2 x + 7) (9 x^{2} - 12 x) = 3 x (2 x + 7) (3 x - 4)$

Essaie de vérifier les résultats factorisés à l'aide de la méthode FOIL. Est-ce que cela donne la même expression ?

Trinômes quadratiques

Un polynôme du deuxième degré est connu sous le nom de quadratique. Cela signifie que le plus grand exposant du polynôme est un 2. Généralement, ils prennent la forme d'un trinôme quadratique car il y a trois termes, c'est-à-dire :

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

Pour cette méthode de factorisation, nous cherchons à factoriser les trinômes quadratiques en un produit de binômes du premier degré. Il y a cinq étapes à prendre en compte pour appliquer cette méthode :

Étape 1 : Écris une paire de parenthèses : ( ) ( ).

Étape 2: Déduis le produit du premier terme du trinôme et ajoute-le dans la parenthèse comme : $(a x + □) (c x + □)$

Étape 3 : Cherche les facteurs du troisième terme du trinôme. Cela doit se faire sous la forme d'une paire, comme par exemple $(b) (d) = b d$

Étape 4 : Utilise la méthode d'essai et d'erreur pour identifier la paire de facteurs qui satisfait le polynôme quadratique. En d'autres termes, trouve la paire dont la somme correspond au terme moyen du trinôme. N'oublie pas d'introduire toutes les paires possibles et tous les ordres possibles pour déterminer la bonne paire de valeurs.

Étape 5 : Une fois trouvées, ajoute ces valeurs dans la forme factorisée complète : $(a x + b) (c x + d)$

Cette forme de factorisation peut être assez longue et compliquée. Pour maîtriser cette technique, il faut beaucoup de pratique ! Une fois que tu auras assimilé la méthode des essais et des erreurs, ce sera très simple. Nous utiliserons la formule générale ci-dessous pour factoriser les trinômes quadratiques :

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

Voyons maintenant quelques exemples pratiques qui permettent d'exercer cette méthode de factorisation.

Factorise le trinôme quadratique ci-dessous,

$x^{2} + x - 12$

Solution

Étapes 1 et 2 : Nous commençons par examiner le premier terme, ^x2. La factorisation de ce terme peut ressembler à l'expression ci-dessous

$x^{2} + x - 12 = (x + □) (x + □)$

puisque la multiplication de x par x nous donne ^x2.

Étape 3 : Pour déterminer les valeurs qui vont dans les espaces vides, nous devons trouver une paire de nombres qui se multiplient pour obtenir -12 et qui s'additionnent pour obtenir 1. Pour ce faire, nous recherchons les facteurs du dernier terme, -12. En faisant la liste, nous obtenons les paires suivantes.

(-1)(12), (1)(-12), (-2)(6), (2)(-6), (-3)(4), (3)(-4)

Étape 4 : Nous constatons que la paire (-3)(4) satisfait le polynôme.

Étape 5 : En écrivant ceci sous la forme factorisée finale, nous obtenons

$x^{2} + x - 12 = (x - 3) (x + 4)$

Remarque importante : pour déterminer la bonne paire de composants dans la forme factorisée, assure-toi de brancher chaque paire de facteurs dans les deux formes et ordres possibles lorsque tu utilises la méthode d'essai et d'erreur.

Factorise le trinôme quadratique ci-dessous,

$6 x^{2} + 11 x - 10$

Solution

Étapes 1 et 2 : En regardant le premier terme, nous avons deux formes factorisées possibles,

$6 x^{2} + 11 x - 10 = (3 x + □) (2 x + □) a n d 6 x^{2} + 11 x - 10 = (6 x + □) (x + □)$

Étape 3: Pour trouver les nombres manquants, nous observons les facteurs du dernier terme, -10.(-1)(10), (1)(-10), (-2)(5), (2)(-5)Étape 4 : À partir de là, nous devons chercher une paire dont la somme est également égale à 11, en plus du critère selon lequel son produit est égal à -10.

Étape 5 : Après quelques essais et erreurs, nous obtenons la forme factorisée finale suivante

$6 x^{2} + 11 x - 10 = (3 x - 2) (2 x + 5)$

Factorise le trinôme quadratique ci-dessous,

$3 x^{2} + 2 x - 8$

Solution

Etapes 1 et 2 : Nous pouvons voir que le premier terme prend la forme factorisée.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = (3 x + □) (x + □)$

Étape 3 : Nous devons trouver une paire de nombres qui se multiplient pour obtenir -8 et qui s'additionnent pour obtenir 2. En examinant le dernier terme, -8, nous pouvons énumérer ses facteurs comme suit

(-1)(8), (1)(-8), (-2)(4), (2)(-4)

Étape 4 : En insérant ces facteurs dans les espaces vides un par un, nous savons que (-4)(2) est la bonne paire.

Étape 5 : Ce faisant, notre forme factorisée finale devient

$3 x^{2} + 2 x - 8 = (3 x - 4) (x + 2)$

Regroupement

La méthode de regroupement est souvent utilisée lorsqu'on rencontre un polynôme à quatre termes. Cette méthode comporte trois étapes :

Étape 1 : Grouper le polynôme en deux ensembles de deux termes. Cela se fait généralement en divisant les deux premiers termes et les deux derniers termes du polynôme comme suit , $(a x + b x) + (a y + b y)$

Étape 2 : Factorise chaque groupe en utilisant la méthode de factorisation GCF : $x (a + b) + y (a + b)$

Étape 3 : Si nous trouvons un polynôme commun entre les deux groupes factorisés, appliquons à nouveau la méthode de factorisation GCF pour le factoriser : $(a + b) (x + y)$

Le cas général de la factorisation des polynômes par regroupement est le suivant :

$a x + b x + a y + b y = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)$

Nous allons maintenant observer les exemples travaillés suivants qui emploient cette méthode de factorisation.

Utilise la méthode de regroupement pour factoriser le polynôme. $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6$

Solution

Étape 1 : Nous commençons par regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes comme ci-dessous.

$(x^{3} + 2 x^{2}) + (- 3 x - 6)$

Étape 2 : Remarque que nous pouvons factoriser ^x2 à partir du premier groupe et -3 à partir du deuxième groupe.

$x^{2} (x + 2) + (- 3) (x + 2)$

Étape 3 : En observant que les deux groupes ont un binôme commun (x + 2), nous pouvons le factoriser pour obtenir

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6 = (x + 2) (x^{2} - 3)$

Utilise la méthode de regroupement pour factoriser le polynôme. $3 x y - 21 y + 5 x - 35$

Solution

Étape 1 : Comme précédemment, nous commençons par regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes comme ci-dessous.

$(3 x y - 21 y) + (5 x - 35)$

Étape 2 : Remarque que nous pouvons factoriser 3y à partir du premier groupe et 5 à partir du deuxième groupe.

$3 y (x - 7) + 5 (x - 7)$

Étape 3 : En observant que les deux groupes ont un binôme commun (x - 7), nous pouvons le factoriser pour obtenir

$3 x y - 21 y + 5 x - 35 = (x - 7) (3 y + 5)$

Utilise la méthode de regroupement pour factoriser le polynôme. $x^{5} + x - 2 x^{4} - 2$

Solution

Étape 1 : Commence par regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes comme ci-dessous.

$(x^{5} + x) + (- 2 x^{4} - 2)$

Étape 2 : Remarque que nous pouvons factoriser x à partir du premier groupe et -2 à partir du deuxième groupe.

$x (x^{4} + 1) + (- 2) (x^{4} + 1)$

Étape 3 : En observant que les deux groupes ont un binôme commun (^x4 + 1), nous pouvons le factoriser pour obtenir

$x^{5} + x - 2 x^{4} - 2 = (x^{4} + 1) (x - 2)$

Groupement des polynômes à 3 termes

Le regroupement est aussi une excellente façon de factoriser les polynômes à 3 termes ! Disons qu'on nous donne l'expression ci-dessous

$a + b + c$

Ici, nous utiliserons la méthode d'essai et d'erreur pour trouver les 2 nombres qui s'ajoutent à b et se multiplient pour obtenir ac. Cela donne un polynôme à 4 termes comme ci-dessous.

$a + \underset{= b}{\underset{⏟}{a B + c B}} + c$

Enfin, nous appliquerons la méthode de regroupement pour simplifier l'expression comme précédemment

$a (1 + B) + c (1 + B) = (a + c) (1 + B)$

Examinons l'exemple ci-dessous.

Utilise la méthode de regroupement pour résoudre le trinôme, $x^{2} - 8 x - 9$

Solution

Ici, a = 1, b = -8 et c = -9. Le produit de ac est -9. Nous avons besoin d'une paire de nombres dont la somme est égale à -8 et qui donne -9 lorsqu'ils sont multipliés ensemble. Notre polynôme à 4 termes devrait ressembler à ceci :

$x^{2} + □ x + □ x - 9$

Pour trouver les nombres manquants, nous allons examiner le terme du milieu, -8. Remarque que si nous ajoutons 1 à -9, nous obtenons -8. Le produit de 1 et de -9 est -9, c'est-à-dire ac. Nous avons donc le polynôme à 4 termes suivant.

$x^{2} + x - 9 x - 9$

Maintenant, regroupons les deux premiers termes et les deux derniers termes comme ci-dessous.

$(x^{2} + x) + (- 9 x - 9)$

Remarque que nous pouvons factoriser x dans le premier groupe et -9 dans le second groupe.

$x (x + 1) + (- 9) (x + 1)$

En observant que les deux groupes ont un binôme commun (x + 1), nous pouvons le factoriser pour obtenir

$x^{2} - 8 x - 9 = (x + 1) (x - 9)$

Factorisation des polynômes de degré supérieur

Jusqu'à présent, les polynômes dont nous nous sommes occupés avaient un degré de deux. Que se passe-t-il si nous devons factoriser des polynômes d'un degré supérieur ?

Lorsque l'on s'attaque à de telles expressions, il n'existe pas de méthode particulière pour les factoriser. Cependant, nous pouvons effectivement appliquer les techniques introduites dans cette leçon. Il est utile de bien se familiariser avec ces méthodes de factorisation afin de pouvoir facilement rechercher des modèles communs lors de leur résolution. Voyons quelques exemples concrets pour le démontrer.

Factorise complètement l'expression $3 x^{5} - 7 x^{4} - 26 x^{3}$

Solution

Tout d'abord, remarque que nous pouvons factoriser ^x3 à partir de chaque terme.

$x^{3} (3 x^{2} - 7 x - 26)$

Nous avons maintenant le trinôme quadratique $3 x^{2} - 7 x - 26$ . À partir du premier terme, la forme factorisée prendra la structure.

$3 x^{5} - 7 x^{4} - 26 x^{3} = x^{3} (3 x + □) (x + □)$

Nous devons trouver une paire de nombres qui se multiplient pour obtenir -26 et qui s'additionnent pour obtenir -7. Examinons les facteurs du terme -26.

(-1)(26), (1)(-26), (-2)(13), (2)(-13)

En procédant par essais et erreurs, nous trouvons que la paire (-13)(2) satisfait aux critères de cette forme factorisée, et la forme factorisée complète de ce polynôme est donc la suivante

$3 x^{5} - 7 x^{4} - 26 x^{3} = x^{3} (3 x - 13) (x + 2)$

Factorise complètement l'expression $x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$

Solution

Nous commençons par utiliser la méthode de regroupement pour factoriser cette expression. En regroupant les deux premiers et les deux derniers termes, nous obtenons

$(x^{3} - 2 x^{2}) + (- 9 x + 18)$

Nous pouvons factoriser ^x2 du premier groupe et -9 du deuxième groupe.

$x^{2} (x - 2) + (- 9) (x - 2)$

Nous avons maintenant le facteur commun de (x - 2) dans les deux groupes. En le factorisant, on obtient ,

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = (x - 2) (x^{2} - 9)$

Tu peux penser que nous avons terminé la factorisation de notre expression. Mais ce n'est pas le cas. Observe le binôme $(x^{2} - 9)$ . Il s'agit d'un exemple de binôme carré parfait. Nous l'étudierons plus en détail dans le chapitre consacré aux produits spéciaux.

Pour éviter toute confusion, nous traiterons ce binôme comme un trinôme quadratique dont le terme moyen est essentiellement nul. D'après le premier terme, nous pouvons voir que la forme factorisée doit ressembler à ce qui suit

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = (x - 2) (x + □) (x + □)$

Nous devons maintenant chercher une paire de nombres qui se multiplient pour obtenir -9 et qui s'additionnent pour obtenir 0. La paire (-3)(3) est la réponse la plus possible ici. Nous obtenons donc

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = (x - 2) (x - 3) (x + 3)$

Factorise l'expression $x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Solution

Tout d'abord, remarque que cette expression ressemble à un trinôme quadratique. Utilisons le regroupement pour résoudre ce problème. Ce polynôme à 3 termes prendra la forme du polynôme à 4 termes ci-dessous.

$x^{4} + □ x^{2} + □ x^{2} + 36$

Nous devons maintenant trouver 2 nombres qui s'additionnent pour obtenir -13 et qui se multiplient pour obtenir 36. En tâtonnant, nous trouvons que la paire -4 et -9 répond à ce critère.

$x^{4} - 4 x^{2} - 9 x^{2} + 36$

En regroupant les deux premiers et les deux derniers termes, nous obtenons

$(x^{4} - 4 x^{2}) + (- 9 x^{2} + 36)$

En factorisant ^x2 du premier groupe et -9 du second groupe, on obtient

$x^{2} (x^{2} - 4) + (- 9) (x^{2} - 4)$

Remarque que nous pouvons factoriser (^x2 - 4) à partir des deux groupes, ce qui donne

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$

Mais nous n'avons pas encore terminé ! Comme dans les exemples précédents, nous avons les binômes carrés parfaits $(x^{2} - 4) a n d (x^{2} - 9)$ . Nous pouvons donc les factoriser davantage. En utilisant le même principe que précédemment, nous obtenons finalement

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3)$

Résoudre des équations polynomiales

Maintenant que nous maîtrisons la factorisation des polynômes, nous pouvons passer à leur résolution ! Disons que nous avons la forme standard d'un polynôme dont l'équation est égale à zéro, comme ci-dessous :

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = 0$

Comme précédemment, nous savons que la forme factorisée de ce polynôme est :

$(a x + b) (c x + d) = 0$

Remarque que le produit de ces deux facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul, c'est-à-dire soit... $(a x + b) = 0 o r (c x + d) = 0$ . C'est ce qu'on appelle la propriété du produit nul, énoncée ci-dessous :

La propriété du produit nul

Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 (ou à la fois a = 0, b = 0).

En appliquant cette propriété, nous pouvons résoudre la forme générale d'un polynôme factorisé comme ci-dessus, en identifiant que :

$a x + b = 0 a n d c x + d = 0$

En réarrangeant cela en fonction de x, nous avons deux solutions :

$x = - \frac{b}{a} a n d x = - \frac{d}{c}$

Vois-tu comment la factorisation joue un rôle important dans la résolution des équations ? La résolution de l'équation via la factorisation permet d'obtenir les abscisses du graphique pour une équation donnée. Revenons aux trois derniers exemples travaillés que nous avons faits pour montrer cela.

Trouve les solutions du polynôme ci-dessous en utilisant la propriété du produit nul.

$3 x^{5} - 7 x^{4} - 26 x^{3} = 0$

Solution

D'après notre solution ci-dessus, la forme factorisée est la suivante

$x^{3} (3 x - 13) (x + 2) = 0$

Comme nous avons un produit de 3 facteurs, nous devons avoir 3 solutions. En appliquant la propriété du produit nul, nous obtenons

$x^{3} = 0 3 x - 13 = 0 x + 2 = 0$

En résolvant ces solutions pour x, nous obtenons 3 racines réelles

$x = - 2, x = 0 a n d x = \frac{13}{3}$

Trouve les solutions du polynôme ci-dessous en utilisant la propriété du produit nul.

$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$

Solution

La forme factorisée est

$(x - 2) (x - 3) (x + 3) = 0$

Comme nous avons un produit de 3 facteurs, nous devons avoir 3 solutions. En appliquant la propriété du produit nul, nous obtenons

$x - 2 = 0 x - 3 = 0 x + 3 = 0$

En résolvant ces solutions pour x, nous obtenons 3 racines réelles

$x = - 3, x = 2 a n d x = 3$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Trouve les solutions du polynôme ci-dessous en utilisant la propriété du produit nul.

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$

Solution

La forme factorisée est la suivante

$(x - 2) (x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0$

Comme nous avons un produit de 4 facteurs, nous devons avoir 4 solutions. En appliquant la propriété du produit nul, nous obtenons

$x - 2 = 0 x + 2 = 0 x - 3 = 0 x + 3 = 0$

En résolvant ces solutions pour x, nous obtenons 4 racines réelles

$x = - 3, x = - 2, x = 2 a n d x = 3$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 2(1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

En zoomant sur les ordonnées à l'origine, on obtient

Exemple 2(2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Il est utile de noter que lorsque l'on résout des équations factorielles répétées, on n'obtient qu'une seule solution. Par exemple,

Résous ${(x - 7)}^{2} = 0$

Solution

Fais la racine carrée des deux côtés.

$\sqrt{{(x - 7)}^{2}} = \sqrt{0} \Rightarrow x - 7 = 0$

La racine carrée de zéro est zéro. En résolvant cette question, on obtient

$x = 7$

Nous n'avons donc qu'une seule solution réelle, comme nous l'avons dit. Le graphique est illustré ci-dessous.

Exemple 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factorisation des polynômes - Principaux enseignements

Factoriser un polynôme, c'est réécrire un polynôme comme un produit de polynômes de degré inférieur.
La factorisation joue un rôle important dans la simplification d'une expression.
La propriété du produit nul stipule que si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 (ou à la fois a = 0, b = 0).
Utilise la propriété du produit nul pour résoudre un polynôme factorisé.
Le tableau ci-dessous résume les techniques de factorisation utilisées tout au long de cette leçon. N'oublie pas de te familiariser avec elles !

Type de factorisation	Technique
Factorisation de la CCF	$a^{3} b^{2} + 2 a^{2} b - 4 a b^{2} = a b (a^{2} b + 2 a - 4 b)$
Trinômes quadratiques	$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$
Factorisation par regroupement	$a x + b x + a y + b y = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)$

Fiches dans Factorisation des polynômes 12

Commence à apprendre

Que signifie factoriser un nombre ou une expression ?

La factorisation consiste à écrire un nombre ou une expression sous la forme d'un produit de nombres premiers.

Que signifie factoriser un polynôme ?

Factoriser un polynôme signifie que nous réécrivons un polynôme sous la forme d'un produit de polynômes de degré inférieur.

Cite trois raisons pour lesquelles l'affacturage est important ?

Simplifier une expression.
Trouver les racines d'un polynôme.
Identifier le comportement d'un polynôme lorsqu'un graphique est nécessaire.

Quel est le plus grand facteur commun d'un polynôme ?

Le GCF est le monôme commun le plus élevé partagé entre tous les composants d'un polynôme.

Quel est le cas général de la factorisation des polynômes à l'aide de la méthode GCF ?

\N(a^3b^2 + 2a^2b - 4ab^2 = ab(a^2b+2a-4b)\N).

Quelle est la formule générale pour factoriser les trinômes quadratiques ?

$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$.

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Questions fréquemment posées en Factorisation des polynômes

Qu'est-ce que la factorisation des polynômes?

La factorisation des polynômes consiste à écrire un polynôme sous forme d'un produit de plusieurs facteurs plus simples.

Pourquoi factoriser un polynôme?

La factorisation aide à simplifier les polynômes, à résoudre des équations et à trouver les racines plus facilement.

Comment factoriser un polynôme?

Pour factoriser, recherchez des facteurs communs, utilisez des techniques comme la méthode de regroupement ou appliquez des formules de produits remarquables.

Quels sont les produits remarquables utilisés en factorisation?

Les produits remarquables incluent le carré d'une somme, le carré d'une différence, et la différence de carrés.

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