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Factorisation des expressions

Lors d'un événement universitaire bien célébré appelé "rag day", mon ami Biodun et moi avons revêtu des costumes différents. Cependant, les gens qui nous ont vus ont dit que nous étions frères parce que même si nous portions des costumes différents, il s'agissait de costumes d'arts martiaux. Ici, tu apprendras à factoriser les expressionsa>, un concept qui a été utilisé inconsciemment par nos observateurs.

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Mo

En factorisant, tu dois trouver le plus grand diviseur commun (GCD) à l'extérieur de la parenthèse.

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Lorsque le plus grand diviseur divise l'expression, le résultat est placé à l'extérieur de la parenthèse.

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Fact Checked Content
Last Updated: 01.01.1970
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Qu'est-ce que la factorisation des expressions ?

La factorisation des expressions est le processus de simplification des expressions qui donne lieu au plus grand diviseur commun (PGCD) à l'extérieur de la parenthèse et au résultat à l'intérieur de la parenthèse.

Une expansion entre le GCD et le résultat reproduirait l'expression originale.

Rappelle-toi qu'au début de cette étude, mon ami Biodun et moi avions revêtu des costumes et on pensait que nous étions apparentés. Nous avons en fait été factorisés parce que les observateurs ont vu ce qui était similaire entre nous.

Dans les expressions telles que celles dont il est question ici, les similitudes sont déterminées en trouvant le plus grand facteur commun. Par exemple, les nombres 6 et 4 ont un nombre commun entre eux. Ce nombre doit pouvoir diviser à la fois 6 et 4 sans reste, ce nombre est 2.

De même, 12 et 8 ont 2 comme diviseur, cependant, 4 est également un diviseur. Dans ce cas, nous choisissons 4 parce que c'est un nombre plus grand que 2 et qu'il réduirait 8 et 12 aux plus petits résultats.

Lorsque 2 divise 12 et 8, les résultats sont respectivement 6 et 4. Quant à 4, il divise 12 et 8 en 3 et 2 respectivement.

Comment calcule-t-on la factorisation des expressions simples ?

Pour factoriser des expressions simples, tu dois suivre les étapes suivantes :

Réarrange l'expression si nécessaire - cela se fait en rapprochant les termes similaires.
Trouve le plus grand diviseur commun (PGCD) parmi les termes de l'expression.
Divise les termes par le PGCD.
Ouvre une parenthèse.
Place le PGCD à l'extérieur de la parenthèse et le résultat de la division à l'intérieur de la parenthèse.

Par conséquent, ton expression factorisée devrait se présenter sous la forme suivante :

$a (x \pm y)$

Où,

a est le PGCD

et $x \pm y$ est le résultat.

J'appelle souvent ce qui se trouve entre les crochets un macronyme, c'est-à-dire un acronyme mathématique, car la plupart des acronymes se trouvent à l'intérieur d'une parenthèse .

Factorise les expressions suivantes.

a) $15 x + 25 y$

b) $2 x + 4 x y$

c) $7 p q + 2 a b - 21 b q + 4 a p$

Solution :

$15 x + 25 y$

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de réarranger l'expression pour trouver le PGCD. Quel est le plus grand nombre ou la plus grande expression qui peut diviser à la fois 15x et 25y sans qu'il y ait de reste ? Le PGCD est 5.

Ensuite, divise chacune des expressions par 5 pour obtenir le résultat (macronyme). Ainsi ,

$\frac{(15 x + 25 y)}{5} = \frac{15 x}{5} + \frac{25 y}{5} \frac{(15 x + 25 y)}{5} = 3 x + 5 y$

Maintenant, ouvre une parenthèse, place le PGCD à l'extérieur de la parenthèse et le résultat (macronyme) à l'intérieur de la parenthèse. Tu devrais arriver à ,

$5 (3 x + 5 y)$

Cela signifie qu'une fois factorisé :

$15 x + 25 y = 5 (3 x + 5 y)$

$2 x + 4 x y$

Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de réarranger l'expression pour trouver le PGCD. Quel est le plus grand nombre ou la plus grande expression qui peut diviser à la fois 2x et 4xy sans qu'il y ait de reste ? Le PGCD est 2x.

Ensuite, divise chacune des expressions par 2x pour obtenir le résultat (macronyme). Ainsi ,

$\frac{(2 x + 4 x y)}{2 x} = \frac{2 x}{2 x} + \frac{4 x y}{2 x} \frac{(2 x + 4 x y)}{2 x} = 1 + 2 y$

Maintenant, ouvre une parenthèse, place le PGCD à l'extérieur de la parenthèse et le résultat (macronyme) à l'intérieur de la parenthèse. Tu devrais arriver à ,

$2 x (1 + 2 y)$

Ceci implique qu'une fois factorisé :

$2 x + 4 x y = 2 x (1 + 2 y)$

$7 p q + 2 a b - 21 b q + 4 a p$

La première chose à faire est de réarranger l'expression en rapprochant les termes semblables. Utilise le meilleur chemin possible pour y parvenir. Par exemple, 2ab et -21bq peuvent être regroupés mais seul b est le PGCD entre les termes de cette paire par rapport au regroupement de 2ab et 4ap qui peut se faire comme ci-dessous,

$7 p q + 2 a b - 21 b q + 4 a p = 7 p q - 21 b q + 2 a b + 4 a p$

La prochaine chose à faire est de séparer les paires avec des parenthèses pour voir facilement quels groupes tu factorises, assure-toi d'avoir un signe plus entre les parenthèses.

$7 p q - 21 b q + 2 a b + 4 a p = (7 p q - 21 b q) + (2 a b + 4 a p)$

Maintenant, factorise ce que tu as dans la parenthèse séparément en suivant les étapes expliquées précédemment. Ainsi ,

$\frac{(7 p q - 21 b q)}{7 q} = \frac{7 p q}{7 q} - \frac{21 b q}{7 q} \frac{(7 p q - 21 b q)}{7 q} = p - 3 b 7 p q - 21 b q = 7 q (p - 3 b)$

De même, pour l'autre paire, nous avons

$\frac{(2 a b + 4 a p)}{2 a} = \frac{2 a b}{2 a} + \frac{4 a p}{2 a} \frac{(2 a b + 4 a p)}{2 a} = b + 2 p 2 a b + 4 a p = 2 a (b + 2 p)$

Maintenant que tu as réussi à factoriser des paires, ramène-les ensemble, mais cette fois sous leur forme factorisée. Ainsi ,

$7 q (p - 3 b) + 2 a (b + 2 p)$

Cela implique que :

$7 p q + 2 a b - 21 b q + 4 a p = 7 q (p - 3 b) + 2 a (b + 2 p)$

Comment factoriser et développer des expressions linéaires ?

Les expressions linéaires sont des représentations algébriques où les constantes et les variables sont toutes à la première puissance. Elles se présentent sous la forme :

$3 x + y - 6$

Cependant, l'expression ,

$3 x + y^{2} - 6$

n'est pas une expression linéaire car y est à la puissance deux.

Pour factoriser les expressions linéaires, les étapes décrites précédemment s'appliquent toujours.

Factorise les éléments suivants.

a) $4 x + 2 y - 10$

b) $3 x + y - 9$

Solution :

$4 x + 2 y - 10$

Trouve le PGCD, le PGCD ici est 2, divise par 2 en utilisant les mêmes étapes que celles expliquées dans les exemples précédents et tu obtiendras,

$4 x + 2 y - 10 = 2 (2 x + y - 5)$

$3 x + y - 9$

Ici, il n'y a pas de facteur commun entre les trois termes, mais il y a un facteur commun entre deux des termes. Cela signifie que tu peux les regrouper pour obtenir ,

$3 x + y - 9 = 3 x - 9 + y$

Maintenant, mets une parenthèse pour séparer les termes que tu dois factoriser avec un facteur commun de ceux qui ne peuvent pas être divisés par le facteur commun.

$3 x - 9 + y = (3 x - 9) + y$

Tu peux maintenant factoriser ce qui se trouve dans la parenthèse par le PGCD, qui est 3. Évite de toucher aux autres termes qui se trouvent à l'extérieur de la parenthèse.

$\frac{(3 x - 9)}{3} = \frac{3 x}{3} - \frac{9}{3} \frac{3 x}{3} - \frac{9}{3} = x - 3$

Tu as donc factorisé pour obtenir ,

$3 x - 9 = 3 (x - 3)$

Tu peux maintenant ajouter les autres termes à l'extérieur de la parenthèse pour compléter l'expression.

$3 x + y - 9 = 3 (x - 3) + y$

Note que lorsque l'expression factorisée est développée, on obtient l'expression originale. Si tu essaies de développer l'expression et que tu n'obtiens pas l'expression originale, cela indique que tu as dû te tromper dans une ou plusieurs étapes. Il est donc conseillé de remanier l'expression jusqu'à ce qu'elle soit correcte.

Comment factoriser les expressions quadratiques ?

Les expressions quadratiques sont des expressions de la forme :

$a x^{2} + b x + c$

où a, b et c sont des nombres différents de zéro.

Tu factorises les expressions quadratiques en utilisant la règle de la somme et du produit.

Règle de la somme et du produit pour factoriser les expressions quadratiques

La règle de la somme des expressions quadratiques stipule que la somme des deux facteurs de l'équation quadratique est égale au coefficient de bx dans l'équation,

$a x^{2} + b x + c$

qui est b. Si les facteurs de l'équation quadratique sont α et β, alors.. :

$α + β = b$

Pendant ce temps, la règle du produit stipule que lorsque ces deux facteurs se multiplient, le produit est égal au coefficient de ^acx2. Ainsi ,

$α β = a c$

Par conséquent, lorsque tu trouves les facteurs d'une équation quadratique, tu dois t'assurer que les facteurs que tu as trouvés respectent la règle de la somme et du produit.

Factorise les expressions suivantes.

a) $x^{2} - 5 x + 6$

b) $2 x^{2} + 9 x + 4$

Solution :

$x^{2} - 5 x + 6$

La première chose à faire est de multiplier la constante 6 par ^x2 pour obtenir ^6x2. Rappelle-toi que la règle du produit dit ,

$α β = a c$

ac est le coefficient de ^x2 et dans ce cas, c'est 6.

Maintenant, écris le produit factoriel de 6 en tenant compte des nombres positifs et négatifs. Cela comprend :

$2 \times 3 = 6$ ,

$- 2 \times (- 3) = 6$ ,

$1 \times 6 = 6$

$- 1 \times (- 6) = 6$

Maintenant que tu as des facteurs possibles, tu dois savoir quelle paire respecterait la règle de la somme. Rappelle-toi que :

$α + β = b$

Nous cherchons donc la somme des facteurs qui donnerait le coefficient de x qui est -5 dans cette question. Regardons la somme des paires.

$2 + 3 = 5 - 2 + (- 3) = - 5 1 + 6 = 7 - 1 + (- 6) = - 7$

Cela signifie que notre bonne paire de facteurs est -2 et -3.

La prochaine chose est de remplacer -5x par nos facteurs sachant cela,

$- 5 x = - 2 x + (- 3 x) - 5 x = - 2 x - 3 x$

Par conséquent,

$x^{2} - 5 x + 6 = x^{2} - 2 x - 3 x + 6$

Il suffit maintenant de suivre les étapes expliquées précédemment et de factoriser en plaçant d'abord tes parenthèses et en séparant les deux parenthèses par un signe plus.

$x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = (x^{2} - 2 x) + (- 3 x + 6)$

Ensuite, factorise avec le PGCD de chaque expression entre parenthèses.

$(x^{2} - 2 x) + (- 3 x + 6) = x (x - 2) - 3 (x - 2)$

En factorisant les équations quadratiques, tu dois t'assurer que les résultats (macronymes) sont les mêmes dans les deux parenthèses. Dans ce cas, nous avons (x-2) dans les deux parenthèses.

L'étape suivante est assez intéressante, ajoute les facteurs à l'extérieur de la parenthèse et mets-les à l'intérieur d'une parenthèse, et élimine l'une des parenthèses similaires de sorte que tu aies deux parenthèses séparées sans signe entre les parenthèses. Fais cela et tu auras :

$(x - 3) (x - 2)$

Par conséquent,

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)$

$2 x^{2} + 9 x + 4$

La première chose à faire est de multiplier la constante 4 par ^2x2 pour obtenir ^8x2. Rappelle-toi que la règle du produit dit ,

$α β = a c$

ac est le coefficient de ^x2 et dans ce cas, c'est 8.

Maintenant, écris le produit factoriel de 8 en tenant compte des nombres positifs et négatifs. Cela comprend :

$2 \times 4 = 8$ ,

$- 2 \times (- 4) = 8$ ,

$1 \times 8 = 8$

$- 1 \times (- 8) = 8$

Maintenant que tu as des facteurs possibles, tu dois savoir quelle paire respecterait la règle de la somme. Rappelle-toi que :

$α + β = b$

Nous cherchons donc la somme des facteurs qui donnerait le coefficient de x qui est 9 d'après cette question. Regardons la somme des paires.

$2 + 4 = 6 - 2 + (- 4) = - 6 1 + 8 = 9 - 1 + (- 8) = - 9$

Cela signifie que notre bonne paire de facteurs est 1 et 8.

La prochaine chose est de remplacer 9x par nos facteurs sachant cela,

$9 x = x + 8 x$

Par conséquent,

$2 x^{2} + 9 x + 4 = 2 x^{2} + x + 8 x + 4$

Il suffit maintenant de suivre les étapes expliquées précédemment et de factoriser en plaçant d'abord tes parenthèses et en séparant les deux parenthèses par un signe plus.

$2 x^{2} + x + 8 x + 4 = (2 x^{2} + x) + (8 x + 4)$

Ensuite, factorise avec le PGCD de chaque expression entre parenthèses.

$(2 x^{2} + x) + (8 x + 4) = x (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)$

En factorisant les équations quadratiques, tu dois t'assurer que les résultats (macronymes) sont les mêmes dans les deux parenthèses. Dans ce cas, nous avons (2x+1) dans les deux parenthèses.

$(x + 4) (2 x + 1)$

Par conséquent,

$2 x^{2} + 9 x + 4 = (x + 4) (2 x + 1)$

Il convient de noter que les facteurs d'une expression quadratique peuvent être obtenus à l'aide d'autres méthodes telles que la méthode du carré complet, la formule du tout-puissant et la méthode graphique.

Autres exemples de factorisation d'expressions

Une meilleure compréhension des expressions peut être obtenue en s'exerçant à résoudre autant de problèmes que possible.

Résous la question suivante.

$14 {(k + 1)}^{2} + 21 (k + 1)$

Solution :

Pour factoriser :

$14 {(k + 1)}^{2} + 21 (k + 1)$

tu dois développer l'expression. Ainsi ,

$14 {(k + 1)}^{2} + 21 (k + 1) = 14 (k + 1) (k + 1) + 21 k + 21 (k + 1) (k + 1) = k^{2} + 2 k + 1 14 (k + 1) (k + 1) + 21 k + 21 = 14 (k^{2} + 2 k + 1) + 21 k + 21 14 (k^{2} + 2 k + 1) + 21 k + 21 = 14 k^{2} + 28 k + 14 + 21 k + 21$

Rapproche les termes semblables.

$14 k^{2} + 28 k + 14 + 21 k + 21 = 14 k^{2} + 28 k + 21 k + 14 + 21 14 k^{2} + 28 k + 21 k + 14 + 21 = 14 k^{2} + 49 k + 35$

En regardant l'expression $14 k^{2} + 49 k + 35$ tu peux dire qu'un facteur est commun et qu'il s'agit de 7. Applique les étapes expliquées précédemment et tu obtiendras :

$14 k^{2} + 49 k + 35 = 7 (2 k^{2} + 7 k + 5)$

Maintenant, l'expression $7 (2 k^{2} + 7 k + 5)$ peut être factorisée en factorisant $(2 k^{2} + 7 k + 5)$ qui est une expression quadratique. Essaie de mettre en pratique ce que tu as appris jusqu'à présent en factorisant l'expression $2 k^{2} + 7 k + 5$ et tu devrais arriver à :

$2 k^{2} + 7 k + 5 = (2 k + 5) (k + 1)$

N'oublie pas que tu as un 7 qui multiplie l'expression, donc l'expression factorisée est,

$7 (2 k^{2} + 7 k + 5) = 7 (2 k + 5) (k + 1) 14 {(k + 1)}^{2} + 21 (k + 1) = 7 (2 k + 5) (k + 1)$

Finicky a reçu 7 oranges et 4 poires tandis qu'Indodo a reçu 3 oranges et 11 poires. Exprime la somme de leurs fruits sous la forme d'une expression factorisée.

Solution :

Soit les oranges x et les poires y. Ainsi, les fruits reçus par Finicky peuvent être exprimés par ,

$7 x + 4 y$

tandis que les fruits reçus par Indodo peuvent être exprimés par ,

$3 x + 11 y$

La somme des fruits de Finicky et d'Indodo serait :

$(7 x + 4 y) + (3 x + 11 y) = 7 x + 3 x + 4 y + 11 y 7 x + 3 x + 4 y + 11 y = 10 x + 15 y$

Maintenant que tu as la somme, factorise l'expression.

$10 x + 15 y = 5 (2 x + 3 y)$

Factoriser les expressions - Principaux enseignements

La factorisation des expressions est le processus de simplification des expressions qui donne lieu au plus grand diviseur commun (PGCD) à l'extérieur de la parenthèse et au résultat à l'intérieur de la parenthèse.
Pour factoriser des expressions simples, tu dois suivre certaines étapes.
Les expressions linéaires sont des représentations algébriques où les constantes et les variables sont toutes à la première puissance.
Les expressions quadratiques sont factorisées en appliquant la règle de la somme et du produit.

Fiches dans Factorisation des expressions 2

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En factorisant, tu dois trouver le plus grand diviseur commun (GCD) à l'extérieur de la parenthèse.

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Lorsque le plus grand diviseur divise l'expression, le résultat est placé à l'extérieur de la parenthèse.

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Questions fréquemment posées en Factorisation des expressions

Qu'est-ce que la factorisation?

La factorisation est le processus de décomposer une expression en un produit de ses facteurs.

Pourquoi la factorisation est-elle importante?

La factorisation simplifie les expressions, facilite la résolution des équations et aide à mieux comprendre la structure des polynômes.

Quels sont les types courants de factorisation?

Les types courants incluent la factorisation par regroupement, par différence de carrés et par trinomiales.

Comment factoriser une expression quadratique?

Pour factoriser une quadratique, trouvez deux nombres dont le produit donne le terme constant et la somme donne le coefficient du terme linéaire.

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