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Factorisation des équations quadratiques

La factorisation (également appelée factorisation) consiste à déterminer les termes qui doivent être multipliés ensemble pour obtenir une expression mathématique. Par exemple, jette un coup d'œil à l'expression quadratique ci-dessous :

C'est parti

Fact Checked Content
Last Updated: 01.01.1970
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$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$

Dans cet exemple $x^{2} - 16$ a été factorisée car nous avons déterminé les termes à multiplier pour obtenir cette expression : $(x + 4) (x - 4)$ .

La factorisation est une méthode qui peut être utilisée pour résoudre les équations quadratiques. Voyons comment nous procédons en poursuivant l'exemple ci-dessus :

$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4) = 0 x_{1} = 4 a n d x_{2} = - 4$

C'est en déterminant la valeur de ces x-intercepts que l'on résout l'équation. Ce sont les racines de l'équation, c'est-à-dire le moment où l'équation = 0.

Comment factoriser les équations quadratiques ?

Les équations quadratiques peuvent être factorisées de l'une des façons suivantes :

En prenant le plus grand facteur commun (PGCF)

Prendre le plus grand facteur commun, c'est déterminer le plus grand facteur commun qui divise uniformément tous les autres termes. Pour maîtriser cette méthode de factorisation, tu dois d'abord comprendre la propriété distributive, qui consiste à résoudre les expressions sous la forme a(b+c) en ab+ac. Par exemple, regarde comment cette méthode est utilisée avec l'expression quadratique ci-dessous :

$8 x^{2} (4 x + 5) = 8 x^{2} \cdot 4 x + 8 x^{2} \cdot 5 = 32 x^{3} + 40 x^{2}$

Maintenant que nous avons examiné les propriétés distributives, utilisons l'exemple et les étapes ci-dessous pour voir comment factoriser en prenant le plus grand facteur commun :

$12 x^{2} + 8 x = 0$

Étape 1 : Trouve le plus grand facteur commun en identifiant les nombres et les variables que chaque terme a en commun.

12 x^{2} = 4 \cdot 3 \cdot x \cdot x 8 x = 4 \cdot 2 \cdot x

Les nombres et les variables qui apparaissent le plus souvent sont 4 et x, ce qui fait que notre FCM = 4x. Étape 2 : Écris chaque terme comme le produit du plus grand facteur commun et d'un autre facteur, c'est-à-dire les deux parties du terme. Tu peux déterminer l'autre facteur en divisant ton terme par ton FCM.

\frac{12 x^{2}}{4 x} = 3 x ∴ 12 x^{2} = 4 x \cdot 3 x \frac{8 x}{4 x} = 2 ∴ 8 x = 4 x \cdot 2

Étape 3 : Après avoir réécrit tes termes, réécris ton équation quadratique sous la forme suivante :

a b + a c = 0 12 x^{2} + 8 x = 4 x (3 x) + 4 x (2) = 0

Étape 4 : Applique la loi de la propriété distributive et élimine ton plus grand facteur commun.

4 x (3 x) + 4 x (2) = 4 x (3 x + 2) = 0

Étape 5 (résolution de l'équation quadratique) : Équilibre l'expression factorisée à 0 et résous les ordonnées à l'origine.

x_{1} : 4 x = 0 x_{1} = 0 x_{2} : 3 x + 2 = 0 x_{2} = \frac{- 2}{3}

On peut également utiliser la factorisation en retirant les facteurs communs. Cette méthode est similaire au regroupement pour résoudre les équations quadratiques, avec un coefficient directeur égal à 1.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.

$a = 1 b = - 6 c = 8$

Étape 2 : Trouve deux nombres qui font le produit de la constante (c) et dont la somme est égale au coefficient x (-6).

1 \times 8 = 8 2 \times 4 = 8 - 2 \times - 4 = 8

Ces deux nombres sont -2 et -4, car ils peuvent être utilisés pour additionner jusqu'à -6, c'est-à-dire en ayant -2 et -4. 1 et 8 ne peuvent pas être arrangés d'une manière qui les rendrait égaux à 8. Étape 3 : Soustrais ces nombres de x et forme deux facteurs binomiaux. S'il s'agit de -2 et +4, par exemple, tu dois soustraire 2 de x et ajouter 4 à x.

x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

Étape 4 (résolution de l'équation quadratique) : Équilibre les facteurs binomiaux à 0 et résous les ordonnées à l'origine.

x_{1} : x - 2 = 0 x = 2 x_{2} : x - 4 = 0 x = 4

Méthode du carré parfait

L'utilisation de la méthode du carré parfait pour factoriser consiste à transformer un trinôme carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ou $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ en un binôme carré parfait, ${(a + b)}^{2} o r {(a - b)}^{2}$ . Tous les trinômes carrés parfaits à une variable ont une racine.

$x^{2} + 14 x + 49$ est un trinôme carré parfait qui serait transformé en un binôme carré parfait de ${(x + 7)}^{2}$ . La racine de ce trinôme sera x=-7. Le graphique de ce trinôme ressemblerait à ceci :

Factorisation des équations quadratiques carré parfait trinôme parabole StudySmarter Parabole d'un trinôme carré parfait, Nicole Moyo-StudySmarter Originals

Voyons comment mettre en œuvre la méthode du carré parfait :

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Étape 1 : Transforme ton équation de la forme standard $a x^{2} - b x + c = 0$ en un trinôme carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 (x) (5) + 5^{2}$

Étape 2 : Transforme le trinôme carré parfait en un binôme carré parfait, ${(a - b)}^{2}$ .

$x^{2} - 2 (x) (5) + 5^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3 (résolution de l'équation quadratique) : Calcule la valeur de l'ordonnée à l'origine en mettant le binôme carré parfait en équation avec 0 et en résolvant pour x.

${(x - 5)}^{2} = 0 \sqrt{{(x - 5)}^{2}} = \pm \sqrt{0} x - 5 = 0 x = 5$ Comme tu peux le voir, l'équation a une racine et serait représentée comme suit :

Factorisation des équations quadratiques solution graphique StudySmarter Solution graphique d'un trinôme carré parfait, Nicole Moyo-StudySmarter Originals

Regroupement

Le regroupement consiste à regrouper les termes qui ont un facteur commun avant de les factoriser. Cette méthode est couramment utilisée pour factoriser les équations quadratiques dont le coefficient directeur (a) est supérieur à 1. Le regroupement peut être effectué en suivant les étapes ci-dessous :

$3 x^{2} + 10 x - 8$

Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.

a = 3 b = 10 c = - 8

Étape 2 : Trouve les deux nombres tels que leur produit est égal à ac et leur somme est égale à b.

$a c = - 24 b = 10 1 \cdot 24 = 24 2 \cdot 12 = 24 - 2 + 12 = 10$ Les deux nombres sont -2 et 12, car ils peuvent être utilisés pour additionner jusqu'à 10, c'est-à-dire en ayant -2 et +12. 1 et 24 ne peuvent pas être arrangés d'une manière qui les rendrait égaux à 10.

Étape 3 : Utilise ces facteurs pour séparer le terme x (bx) dans l'expression/équation originale.

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 3 x^{2} - 2 x + 12 x - 8$

Étape 4 : Utilise le regroupement pour factoriser l'expression.

$(3 x^{2} - 2 x) + (12 x - 8) = x (3 x - 2) + 4 (3 x - 2) = (x + 4) (3 x - 2)$

Étape 5 (comment résoudre l'équation quadratique) : Équilibre l'expression factorisée à 0 et résous x.

$(x + 4) (3 x - 2) = 0 x_{1} : x + 4 = 0 x = - 4 x_{2} : 3 x - 2 = 0 x = \frac{2}{3}$

Factorisation des équations quadratiques - Principaux points à retenir

La factorisation consiste à déterminer quels termes doivent être multipliés ensemble pour obtenir une expression mathématique.
Le plus grand facteur commun est une méthode de factorisation qui consiste à déterminer le plus grand facteur commun qui divise uniformément tous les autres termes.
La méthode du carré parfait est une autre façon de factoriser, qui consiste à transformer un trinôme carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} o r a^{2} - 2 a b + b^{2}$ en un binôme carré parfait, ${(a + b)}^{2} o r {(a - b)}^{2}$ .
Le regroupement est également une méthode de factorisation qui consiste à regrouper les termes qui ont un facteur commun avant de les factoriser.

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Questions fréquemment posées en Factorisation des équations quadratiques

Qu'est-ce que la factorisation d'une équation quadratique?

La factorisation d'une équation quadratique consiste à exprimer l'équation sous la forme (ax + b)(cx + d) = 0.

Pourquoi factoriser une équation quadratique?

Factoriser une équation quadratique permet de trouver les solutions de l'équation en résolvant chaque facteur séparément.

Comment factoriser une équation quadratique?

Pour factoriser une équation quadratique, on cherche deux nombres dont le produit est égal au terme constant et la somme est égale au coefficient du terme linéaire.

Quelles sont les méthodes de factorisation des équations quadratiques?

Les méthodes courantes incluent l'utilisation de la formule quadratique, la décomposition en facteurs premiers, et le regroupement de termes.

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