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Jusqu'à présent, nous avons été initiés au concept de factorisation d' un nombre donné. Factoriser signifie essentiellement décomposer un nombre en un produit de ses diviseurs (nombres qui ne donnent pas de reste lors de la division). Par exemple, les facteurs du nombre 2 sont 1 et 2. En revanche, 4 a pour facteurs 1, 2 et 4. Maintenant, remarque que 2 et 4 ont deux facteurs identiques : 1 et 2. Serait-ce une coïncidence ?
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Équipe enseignants Facteurs Communs
Les facteurs qui apparaissent deux fois lors de la factorisation de deux nombres sont appelés facteurs communs. Cela signifie que 1 et 2 sont des facteurs communs de 2 et 4. Dans cette leçon, nous allons discuter du concept de facteur commun et présenter une méthode que nous pouvons utiliser pour identifier les facteurs communs d'une paire de nombres donnée.
Nous commencerons cette leçon en établissant la signification d'un facteur commun. Supposons que l'on nous donne une paire de nombres entiers, x et y. Si nous pouvons diviser ces deux nombres par un chiffre similaire, alors ces nombres ont un diviseur commun. Ce diviseur commun est appelé le facteur commun de x et de y.
Rappelons maintenant la définition d'un facteur.
Lesfacteurs sont des nombres qui peuvent diviser exactement un autre nombre, ce qui donne un reste de zéro.
En faisant le lien avec notre étude actuelle, nous pouvons dire qu'un facteur commun est un nombre qui divise deux (ou plus) nombres entiers avec précision sans laisser de reste. Nous pouvons résumer cette définition comme suit.
Pour une paire donnée de nombres entiers (ou plus), un facteur commun est un facteur partagé par les deux (ou tous) ces nombres.
C'est simple, non ? Un facteur commun doit suivre deux règles ou conditions spécifiques : (1) il doit être un facteur et (2) il doit être partagé par les deux (ou tous les) nombres dont il est question.
Poursuivons cette discussion en énumérant plusieurs propriétés des facteurs communs.
Voici quelques caractéristiques notables des facteurs communs.
Deux nombres (ou plus) peuvent avoir plus d'un facteur commun.
Un facteur commun divise complètement deux nombres (ou plus) sans laisser de reste.
Le facteur commun de deux nombres (ou plus) est toujours inférieur aux nombres donnés ou égal à l'un des nombres donnés.
Le nombre 1 est toujours un facteur commun à deux nombres (ou plus).
Tout nombre entier non nul est un facteur de 0 puisque tout nombre entier non nul multiplié par 0 est égal à 0.
Nous pouvons résumer le dernier point par la règle suivante :
Pour tout nombre entier k, si k × 0 = 0 alors, 0 ÷ k = 0.
Par exemple, étant donné que 2 x 0 = 0, nous avons 0 ÷ 2 = 0. Par conséquent, 2 et 0 sont des facteurs de 0.
Dans la section suivante, nous apprendrons à déterminer les facteurs communs pour une paire de nombres donnée et nous observerons quelques exemples pratiques qui appliquent cette méthode.
L'identification des facteurs communs de deux nombres (ou plus) suit une méthode simple en deux étapes. Cette méthode est décrite ci-dessous.
Étape 1 : Écris tous les facteurs des nombres donnés dans des rangées séparées.
Étape 2 : Compare ces listes de facteurs. Identifie les nombres récurrents dans les deux listes et note ces facteurs communs.
Tu trouveras ci-dessous plusieurs exemples pratiques pour trouver des facteurs communs.
Trouve les facteurs communs entre 15 et 25.
Solution
Maintenant, en suivant la méthode en deux étapes, nous avons :
Étape 1 : Fais la liste des facteurs des nombres donnés.
Facteurs de 15 : 1, 3, 5, 15
Facteurs de 25 : 1, 5, 25
Étape 2 : Vérifie s'il y a des facteurs qui se répètent.
En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que les facteurs 1 et 5 sont présents dans les deux listes.
Ainsi, les facteurs communs de 15 et 25 sont 1 et 5.
En te basant sur ce résultat, vois-tu l'une des caractéristiques des facteurs communs ? Tout d'abord, remarque que 1 et 5 divisent complètement 15 et 25. Il n'y a pas de reste après la division. De plus, observe que les facteurs communs de 15 et 25 sont inférieurs à ces deux nombres (1, 5 < 15, 25). Enfin, nous constatons que 1 est bien un facteur commun entre ces nombres donnés.
Détermine les facteurs communs entre 12, 16 et 20.
Solution
Encore une fois, en suivant la méthode en deux étapes, nous avons :
Étape 1 : Fais la liste des facteurs des nombres donnés.
Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Facteurs de 16 : 1, 2, 4, 8, 16
Facteurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Étape 2 : Vérifie s'il y a des facteurs qui se répètent.
En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que les facteurs 1, 2 et 4 sont présents dans les trois listes.
Ainsi, les facteurs communs de 12, 16 et 20 sont 1, 2 et 4.
Fais la liste des facteurs communs entre 26, 52, 78 et 104.
Solution
Étape 1 : Fais la liste des facteurs des nombres donnés.
Facteurs de 26 : 1, 2, 13, 26
Facteurs de 52 : 1, 2, 4, 13, 26, 52
Facteurs de 78 : 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
Facteurs de 104 : 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104
Étape 2 : Vérifie s'il y a des facteurs qui se répètent.
En examinant les listes ci-dessus, nous constatons que les facteurs 1, 2, 13 et 26 sont présents dans les quatre listes.
Ainsi, les facteurs communs de 26, 52, 78 et 104 sont 1, 2, 13 et 26.
Pourquoi les facteurs communs sont-ils si nécessaires ? L'identification des facteurs communs est en fait une étape vers notre prochain sujet d'intérêt : Les facteurs communs les plus élevés (FCE). Le facteur commun le plus élevé est le plus grand facteur commun de deux nombres ou plus. En regardant les exemples travaillés ci-dessus, peux-tu indiquer le facteur commun le plus élevé pour chaque problème ? Essaie !
Les facteurs communs peuvent également nous aider à identifier les facteurs premiers d'un ensemble donné de nombres entiers. Les facteurs premiers sont les facteurs d'un nombre entier qui est également un facteur premier. Lorsque nous énumérons les facteurs de deux nombres (ou plus) et que nous indiquons leurs diviseurs communs, nous pouvons ensuite reconnaître lesquels de ces facteurs communs sont également premiers. Ce faisant, nous pouvons également représenter un nombre entier comme un produit de nombres premiers. C'est ce qu'on appelle la factorisation des nombres premiers, qui est abordée plus en détail dans la rubrique Factorisation des nombres premiers.
Le fait de savoir que l'on peut effectuer une factorisation première sur un nombre donné signifie également que l'on peut déterminer le plus petit commun multiple (LCM ) entre deux nombres (ou plus). Le LCM est le plus petit nombre qui est un multiple de deux nombres (ou plus). Nous y parvenons en multipliant les facteurs premiers communs partagés entre un ensemble de nombres donnés. Cette question est abordée clairement dans l'article : Le plus petit commun multiple.
Vois-tu à quel point la recherche de facteurs communs est pratique ? Le résultat nous permet de trouver trois autres relations entre un ensemble donné de nombres : le FCM, la factorisation des nombres premiers et le MCP. N'est-ce pas très intéressant ?
Terminons ce sujet avec deux derniers exemples de facteurs communs. Mais changeons un peu de sujet. Nous allons chercher à trouver des facteurs communs entre deux nombres (ou plus) sous la forme d'un diagramme de Venn. Cette façon de représenter les facteurs communs peut s'avérer utile lorsqu'il s'agit de plus de deux nombres.
Trouve les facteurs communs entre 39 et 147.
Solution
Dressons d'abord la liste des facteurs de 39 et de 147.
Facteurs de 39 : 1, 3, 13, 39
Facteurs de 147 : 1, 3, 7, 21, 49, 147
Nous allons maintenant esquisser ces valeurs dans un diagramme de Venn et noter les facteurs qui se chevauchent.
Diagrammes de Venn
Nous en concluons que les facteurs communs de 39 et 147 sont 1 et 3.
Trouve les facteurs communs entre 42, 51 et 108.
Solution
Dressons d'abord la liste des facteurs de 42, 51 et 108.
Facteurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Facteurs de 51 : 1, 3, 17, 51
Facteurs de 108 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
Nous allons maintenant esquisser ces valeurs dans un diagramme de Venn et noter les facteurs qui se chevauchent.
Exemple 2 - Facteurs de chevauchement dans les diagrammes de Venn
Nous en concluons que les facteurs communs de 42, 51 et 108 sont 1 et 3.
Ce diagramme de Venn montre également que les facteurs communs entre 42 et 51 sont également 1 et 3 , tandis que 42 et 108 sont 1, 2, 3 et 6 et enfin 51 et 108 sont à nouveau 1 et 3.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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