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Définition des expressions rationnelles
Quelle est donc la définition des expressions rationnelles ? Eh bien...
Une expression rationnelle est une expression dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
D'après cette définition, lesquelles de ces expressions sont des expressions rationnelles ?
\N( (1) \N)\N[ \Nfrac{2x}{x+1} \N]
\( (2) \)\[ \frac{x^3 + 3x^2 + x + 12}{x^2 + 3x + 5} \]
\N((3)\N)\N[ \Nfrac{\sqrt{3x}}{4x^2} \N].
\N-(1)\Net \N(2) \N ! As-tu bien compris ? Le nombre \(3\) n'est pas une expression rationnelle parce que le numérateur n'est pas un polynôme.
Maintenant que nous avons appris à reconnaître les fonctions rationnelles, nous devrions savoir comment les classer. Ce n'est pas trop difficile, car il n'y a que deux catégories à retenir : Les fonctions rationnelles correctes et impropres.
Tu reconnais ces termes ? Eh bien, il s'agit également de deux catégories de fractions !
Avec les fractions, tu peux te rappeler qu'une fraction correcte a un degré plus grand dans le dénominateur que dans le numérateur, et qu'une fraction impropre a un numérateur plus grand que le dénominateur.
\[ \frac{2}{3} \text{ est une fraction correcte} \]
\[ \frac{3}{2} \text{ est une fraction impropre} \]
Les expressions rationnelles sont très similaires. En fait, une expression rationnelle correcte a un degré plus grand au dénominateur qu'au numérateur, et une expression rationnelle impropre a un degré plus grand au numérateur qu'au dénominateur.
\[ \frac{2x^2 + 3}{3x^3 + 2x - 1} \text{ est une expression rationnelle correcte} \]
\[ \frac{3x^3 + 2x^2 + x + 1}{x^2 + 2x + 4} \text{ est une expression rationnelle impropre} \]
Le degré d'un polynôme est la puissance la plus élevée de n'importe quel terme du polynôme.
Simplifier les expressions rationnelles
Il peut arriver qu'une expression rationnelle ne se présente pas sous sa forme la plus simple. Dans ce cas, c'est à toi de les simplifier. Cela implique généralement d'annuler les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.
Prenons, par exemple, l'expression rationnelle suivante.
\[ \frac{x(x+1)}{x(2x+7)} \]
Quel facteur commun le numérateur et le dénominateur partagent-ils ? \N( x \N) bien sûr ! Tout comme lorsque tu simplifies des fractions, lorsque tu trouves un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur, tu peux le retirer et l'annuler :
\[ \frac{x(x+1)}{x(2x+7)} = \frac{\cancel{x}(x+1)}{\cancel{x}(2x+7)} .\]
Ton expression rationnelle simplifiée est donc
\[ \frac{(x+1)}{(2x+7)}. \]
Voyons d'autres exemples.
Simplifie les expressions rationnelles suivantes.
(a)
\[ \frac{10(3x+2)(x-1)}{5(4x - 7)(x-1)} \]
(b)
\[ \frac{(2x-3)(x+4)}{(2x - 3)} \]
(c)
\[ \frac{(3x-10)}{2(3x-10)} \]
Solution :
(a)
L'expression rationnelle peut être simplifiée en annulant les facteurs communs, \(5\) et \((x-1)\). Tu obtiens ainsi
\[ \begin{align} \frac{10(3x+2)(x-1)}{5(4x - 7)(x-1)} &= \frac{5 \cdot 2(3x+2)(x-1)}{5(4x-7)(x-1)} \frac{\cancel{5} \cdot2 (3x+2)\cancel{(x-1)}{\cancel{5}(4x - 7)\cancel{(x-1)}\\N- &= \frac{2(3x+2)}{(4x - 7)} .\n-{align} \]
(b)
L'expression rationnelle peut être simplifiée en annulant le facteur commun, \N((2x-3)\N), pour obtenir
\N- [\N- Début{alignement} \frac{(2x-3)(x+4)}{(2x - 3)} &= \frac{\cancel{(2x-3)}(x+4)}{\cancel{(2x - 3)}} \N- &= \Nfrac{(x+4)}{1} \N- &= x+4 \N- end{align} \]
(c)
L'expression rationnelle peut être simplifiée en annulant le facteur commun, \((3x-10)\), pour obtenir
\N- \N[ \N- \Ndébut{alignement} \frac{(3x-10)}{2(3x-10)} &= \frac{\cancel{(3x-10)}}{2\cancel{(3x-10)}} \N- &= \frac{1}{2} .\N- [end{align}\N]
Factorisation des expressions rationnelles
Les exemples ci-dessus n'étaient pas trop difficiles à simplifier. Il suffisait de repérer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur et de les annuler. Les expressions rationnelles ne se présentent pas toujours sous cette forme factorisée simple et agréable. Heureusement, c'est quelque chose que tu peux faire toi-même !
Si tu factorises les polynômes du numérateur et du dénominateur d'une expression rationnelle, tu trouveras souvent un terme commun entre les deux que tu pourras annuler pour simplifier.
Prenons quelques exemples. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur la façon de factoriser les polynômes, consulte notre explication sur la factorisation des polynômes !
Factorise, puis simplifie les expressions rationnelles suivantes.
(a)
\[ \frac{ x^2 -2x - 8 }{ x^2 + 5x + 6 } \]
(b)
\[ \frac{x^2 -2x - 3 }{x^2 -4x +3} \] (c)
(c)
\[ \frac{x^3 - x}{ x^2 - x } \]
Solution :
(a)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver le facteur commun de \((x+2)\). Ainsi
\N- \N[ \N- \Ndébut{alignement} \frac{ x^2 -2x - 8 }{ x^2 + 5x + 6 } &= \frac{(x+2)(x-4)}{(x+2)(x+3)} \frac{\cancel{(x+2)}(x-4)}{\cancel{(x+2)}(x+3)} \&= \frac{x-4}{x+3} .\end{align} \]
(b)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver le facteur commun de \((x-3)\), donc
\N- [\N- Début{alignement} \frac{x^2 -2x - 3 }{x^2 -4x +3} &= \frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x-3)} \\\N- &= \frac{(x+1)\cancel{(x-3)}{(x-1)\cancel{(x-3)}} \\N&= \frac{x+1}{x-1} .\Nend{align} \]
(c)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver les facteurs communs, \(x\N) et \N( (x-1)\N). Tu obtiens ainsi
\N- \N[ \N- Début{align} \frac{x^3 - x}{ x^2 - x } &= \frac{x(x^2-1)}{x(x - 1)} \\\N- &= \frac{x(x^2-1)}{x(x - 1)} \N- &= \frac{x(x^2-1)}{x(x - 1)} &= \frac{x(x+1)(x-1)}{x(x - 1)} \N- &= \frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x-1)}{\cancel{x}\cancel{(x - 1)}} \\ &= x + 1. \Nend{align} \]
Expressions rationnelles équivalentes
Tu te souviens peut-être avoir travaillé avec des fractions équivalentes. Il s'agit de fractions dont les dénominateurs sont différents mais dont la valeur est égale. Par exemple
\[\frac{2}{4} = \frac{4}{8}.\]
En commençant par un côté de l'équation, tu peux la réécrire par étapes jusqu'à ce que tu arrives à l'autre côté. Pour cette fraction, tu peux commencer par le côté droit et montrer que
\N- [\N- Début{align} \frac{4}{8} &= \frac{2\cdot 2 }{2 \cdot 2 \cdot 2} \\cdot 2 &= \frac{\cancel{2}\cdot 2}{2\cdot 2\cdot \cancel{2}}\contre \frac{ 2}{2 \cdot 2 }. \N- &= \frac{2}{4}. \N- [\N-]
Tu as remarqué que tu as arrêté d'annuler avant d'avoir tout annulé. C'est parce que l'objectif est de faire en sorte que le résultat ressemble au côté gauche de l'équation, et non pas de tout annuler.
Les expressions rationnelles équivalentes fonctionnent de façon très similaire. Commence par un côté et travaille dessus jusqu'à ce que tu arrives à le faire ressembler à l'autre côté.
Prenons un exemple.
Les paires d'expressions rationnelles suivantes sont-elles équivalentes ?
(a ) \[ \frac{x^2 + 2}{x^2 - 4}, \text{ et } \frac{2x^2 + 4}{2x^2 - 8} \]
(b) \[\frac{(x-2)}{(x-2)(x+4)}, \text{ et } \frac{(x+4)}{(x+4)^2}\]
(c) \[\frac{x^2 + 2x + 1}{x}, \text{ and } \frac{x^2 + 2x + 1}{3x}\]
Solution :
(a )
C'est une bonne idée de commencer par celle qui a l'air la plus compliquée. Dans ce cas
\[ \begin{align} \frac{2x^2 + 4}{2x^2 - 8} &=\frac{2(x^2+2)}{2(x^2-4)} \\&= \frac{\cancel{2}(x^2+2)}{\cancel{2}(x^2-4)} . \N- [Fin{align}\N]
Puisque tu as atteint l'autre expression, tu as terminé et les expressions rationnelles sont équivalentes.
(b)
Une autre façon de procéder consiste à simplifier les deux expressions rationnelles et à voir si tu obtiens la même chose. Le numérateur et le dénominateur de la première expression rationnelle ont un facteur commun de \((x-2)\), donc
\N- [\N- Début{align} \frac{(x-2)}{(x-2)(x+4)} &= \frac{\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+4)} \\N- &= \frac{1}{(x+4)}. [\N-{align}\N]
Le numérateur et le dénominateur de la deuxième expression rationnelle ont un facteur commun de \((x+4)\), donc
\[ \begin{align} \frac{(x+4)}{(x+4)^2} &= \frac{(x+4)}{(x+4)(x+4)} \\\N- &= \frac{1\cdot \cancel{(x+4)}{(x+4)\cancel{(x+4)}} \N- &= \frac{1}{(x+4)}. \[end{align}\N-]
Puisque tu as obtenu la même chose après les avoir simplifiées toutes les deux, ce sont des expressions rationnelles équivalentes.
(c)
Les deux expressions rationnelles ont le même numérateur mais des dénominateurs différents, elles ne sont donc pas égales et ne sont donc pas des expressions rationnelles équivalentes.
Exemples avec des expressions rationnelles
Examinons d'autres exemples pour nous entraîner.
Les termes suivants sont-ils des expressions rationnelles ?
(a ) \[ \frac{4x^2 - 2}{x} \]
(b ) \[ \frac{2}{2x - 4} \]
(c ) \N- [2x + 5 \N]
Solution :
(a ) Oui, puisque le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
(b ) Oui, puisque le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
(c) Oui, car on peut l'écrire sous la forme suivante
\[\frac{2x+5}{1}\]
Voyons maintenant comment classer les expressions rationnelles comme correctes ou incorrectes.
Classe les expressions rationnelles suivantes comme correctes ou incorrectes.
(a ) \[ \frac{2x + 10}{x^2 - x + 20} \]
(b ) \[ \frac{x^2}{10x} \]
(c ) \[ \frac{4x^4 + 3x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x}{x^2 - 3x + 2} \]
(d ) \[ \frac{1}{x+3} \]
Solution :
(a) Correcte, car le degré du numérateur est \(1\) qui est inférieur au degré du dénominateur qui est \(2\).
(b) Impropre, car le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.
(c ) Impropre, puisque le degré du numérateur est plus grand que le degré du dénominateur.
(d ) Correct, car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.
Qu'en est-il de la simplification des expressions rationnelles ?
Simplifie les expressions rationnelles suivantes.
(a ) \[ \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} \]
(b ) \[ \frac{x(3x + 5)}{x(4x - 1)} \]
(c ) \[ \frac{(x-5)(x^3 + 2x^2 + 3)}{x^3 + 2x^2 + 3} \]
Solution :
(a )
Le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, \N((x-1)\N) et \N((x-2)\N). On peut les annuler pour simplifier, ce qui donne
\[ \begin{align} \frac{(x-2)(x+3)(x-1)}{x(x-1)(x-2)} &=\frac{\cancel{(x-2)}(x+3)\cancel{(x-1)}}{x\cancel{(x-1)}\cancel{(x-2)}} \\N- &= \Nfrac{x+3}{x} . \N- [Fin{align}\N]
(b)
Le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, \(x\)). On peut l'annuler pour simplifier, ce qui donne
\[ \begin{align} \frac{x(3x + 5)}{x(4x - 1)} &= \frac{\cancel{x}(3x + 5)}{\cancel{x}(4x - 1)}\ &= \frac{3x+5}{4x-1}. \N- [fin{align}\N]
(c)
Le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, \N((x^3 + 2x^2 + 3\)). Ce facteur peut être annulé pour simplifier, ce qui donne
\N- [\N- Début{align} \frac{(x-5)(x^3 + 2x^2 + 3)}{x^3 + 2x^2 + 3} &= \frac{(x-5)\cancel{(x^3 + 2x^2 + 3)}{\cancel{x^3 + 2x^2 + 3}} \\ &= x-5. \N- [end{align}\N]
Jetons un coup d'œil à un autre exemple.
En les factorisant d'abord, simplifie les expressions rationnelles suivantes.
(a ) \[ \frac{2x^2 + 3 + 1}{2x+1} \]
(b ) \[ \frac{x^2+6x+9}{x^2 + x - 6} \]
(c) \[ \frac{3x^3 + 8x^2 + 5x}{x^3 + 8x^2 + 7x} \]
Solutions :
(a)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver le facteur commun, \((2x+1)\). Obtiens l'expression rationnelle simplifiée en annulant le facteur commun :
\[\N- Début{align} \frac{2x^2 + 3 + 1}{2x+1} &= \frac{(2x+1)(x+1)(2x+1)}{2x+1} \N- &= \N-{\cancel{(2x+1)}(x+1)}{\cancel{2x+1}} \N- &=x+1 .\N- [end{align}\N]
(b)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver les facteurs communs, \(2\) et \((x+3)\). Obtiens l'expression rationnelle simplifiée en annulant le facteur commun :
\N- [\N- Début{align} \frac{x^2+6x+9}{x^2 + x - 6} &= \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} \frac{(x+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x+3)}(x-2)} \frac{x+3}{x-2}. \N-{align}\N]
(c)
En factorisant le numérateur et le dénominateur, tu peux trouver les facteurs communs, \(x\N) et \N((x+1)\N). Obtiens l'expression rationnelle simplifiée en annulant le facteur commun.
\[ \begin{align} \frac{3x^3 + 8x^2 + 5x}{x^3 + 8x^2 + 7x} &= \frac{x(3x + 5)(x+1)}{x(x+7)(x+1)} \frac{\cancel{x}(3x + 5)\cancel{(x+1)}{\cancel{x}(x+7)\cancel{(x+1)}} \\N- &=\frac{3x + 5}{x+7} .\Nend{align} \]
Expressions rationnelles - Points clés
- Les expressions rationnelles sont des termes dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
- Les expressions rationnelles correctes ont un numérateur de degré inférieur au dénominateur.
- Les expressions rationnelles incorrectes ont un numérateur de degré supérieur au dénominateur.
- Les expressions rationnelles peuvent être simplifiées en factorisant le numérateur et le dénominateur, puis en annulant les facteurs communs.
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