Expressions Linéaires: Mathématiques, Algèbre

Sauter à un chapitre clé

Qu'est-ce qu'une expression linéaire ?

Les expressions linéaires sont des expressions algébriques contenant des constantes et des variables élevées à la puissance 1.

Par exemple, $x + 4 - 2$ est une expression linéaire parce que la variable ici $x$ est aussi une représentation de $x^{1}$ . À partir du moment où il existe une chose telle que $x^{2}$ , il ne s'agit plus d'une expression linéaire.

Voici d'autres exemples d'expressions linéaires :

1. $3 x + y$

2. $x + 2 - 6$

3. $34 x$

Que sont les variables, les termes et les coefficients ?

Lesvariables sont les lettres composant les expressions. C'est ce qui différencie les opérations arithmétiques des expressions. Les termes sont les composants des expressions qui sont séparés par addition ou soustraction, et les coefficients sont les facteurs numériques qui multiplient les variables.

Par exemple, si l'on nous donne l'expression $6 x y + (- 3)$ x et y peuvent être identifiés comme les composantes variables de l'expression. Le nombre 6 est identifié comme le coefficient du terme $6 x y$ . Le nombre $- 3$ est appelé une constante. Les termes identifiés ici sont $6 x y$ et $- 3$ .

Nous pouvons prendre quelques exemples et classer leurs composants dans les catégories suivantes : variables, coefficients ou termes.

$\frac{4}{5} y + 14 x - 3$
$2^{} - 4 x$
$\frac{1}{2} + x y^{}$

Variables	Coefficients	Constantes	Termes
x et y	$\frac{4}{5} a n d 14$	-3	$\frac{4}{5} y, 14 x a n d - 3$
x	-4	2	$2^{} a n d - 4 x$
x et y	1 (bien que cela ne soit pas indiqué, il s'agit techniquement du coefficient de xy)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} a n d x y$

Les variables sont ce qui différencie les expressions des opérations arithmétiques.

Écrire des expressions linéaires

L'écriture d'expressions linéaires consiste à rédiger des expressions mathématiques à partir de problèmes. Il existe principalement des mots-clés qui aident à déterminer le type d'opération à effectuer lors de l'écriture d'une expression à partir d'un problème de texte.

Opération	Addition	Soustraction	Multiplication	Division
Mots clés	Ajouté àPlusSomme deAugmenté parTotal dePlus que	Soustrait deMoinsMoins queDifférenceDiminué parMoins queEnlevé	Multiplié parMultiplié parProduit deMultiplié par	Divisé parQuotient de

Nous pouvons maintenant prendre des exemples de la façon dont cela se fait.

Écris la phrase ci-dessous sous forme d'expression.

$14$ plus qu'un nombre $x$

Solution :

Cette phrase suggère que l'on fasse un ajout. Cependant, il faut faire attention au positionnement. 14 plus que $x$ signifie que 14 est ajouté à un certain nombre $x$ .

$14 + x$

Écris la phrase ci-dessous sous forme d'expression.

La différence de 2 et 3 fois un nombre $x$ .

Solution :

Il faut faire attention à nos mots-clés ici, "différence" et "fois". "Différence" signifie que nous allons effectuer une soustraction. Nous allons donc soustraire 3 fois un nombre à 2.

$2 - 3 x$

Simplifier les expressions linéaires

La simplification des expressions linéaires consiste à écrire les expressions linéaires sous leur forme la plus compacte et la plus simple de façon à conserver la valeur de l'expression originale.

Il y a des étapes à suivre lorsqu'on veut simplifier des expressions, et ce sont ;

Élimine les parenthèses en multipliant les facteurs s'il y en a.
Additionne et soustrais les termes similaires.

Simplifie l'expression linéaire.

$3 x + 2 (x - 4)$

Solution :

Ici, nous allons d'abord opérer sur les parenthèses en multipliant le facteur (en dehors de la parenthèse) par ce qui se trouve entre les parenthèses.

$3 x + 2 x - 8$

Nous ajouterons les termes similaires.

$5 x - 8$

Cela signifie que la forme simplifiée deid="5204130" role="math" $3 x + 2 (x - 4)$ estid="5204131" role="math" $5 x - 8$ et qu'ils possèdent la même valeur.

Les équations linéaires sont également des formes d'expressions linéaires. Les expressions linéaires sont le nom qui couvre les équations linéaires et les inégalités linéaires.

Équations linéaires

Les équations linéaires sont des expressions linéaires qui possèdent un signe égal. Ce sont les équations de degré 1. Par exemple, id="5204132" role="math" $x + 4 = 2$ . Les équations linéaires se présentent sous la forme standard suivante

$a x + b y = c$

whereid="5204140" role="math" $a$ andid="5204134" role="math" $b$ sont des coefficients

$x$ et $y$ sont des variables.

$c$ est constant.

Cependant, $x$ est également appelé l'ordonnée à l'origine, tandis que le $y$ est également l'ordonnée à l'origine. Lorsqu'une équation linéaire possède une seule variable, la forme standard s'écrit comme suit ;

$a x + b = 0$

où $x$ est une variable

$a$ est un coefficient

$b$ est une constante.

Représentation graphique des équations linéaires

Comme nous l'avons mentionné précédemment, les équations linéaires sont représentées graphiquement en ligne droite. Il est important de savoir que dans le cas d'une équation à une variable, les lignes de l'équation linéaire sont parallèles à l'axe des x, car seule la valeur x est prise en compte. Les lignes tracées à partir d'équations à deux variables sont placées là où les équations exigent qu'elles soient placées, bien qu'elles soient toujours droites. Nous pouvons prendre un exemple d'équation linéaire à deux variables.

Trace le graphique de la ligne id="5204144" role="math" $x - 2 y = 2$ .

Solution :

Tout d'abord, nous allons convertir l'équation sous la forme id="5204145" role="math" $y = m x + b$ .

Cela nous permettra de savoir quelle est l'ordonnée à l'origine.

Cela signifie que nous ferons de y le sujet de l'équation.

$x - 2 y = 2$

$- 2 y = 2 - x$

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{2}{- 2} - \frac{x}{- 2}$

$y = \frac{x}{2} - 1$

Nous pouvons maintenant étudier les valeurs de y pour différentes valeurs de x, car il s'agit également d'une fonction linéaire.

Prends donc x = 0

Cela signifie que nous allons remplacer x dans l'équation pour trouver y.

$y = \frac{0}{2} - 1$

y = -1

Take id="5204146" role="math" $x = 2$

$y = \frac{2}{2} - 1$

y = 0

Prends x = 4

$y = \frac{4}{2} - 1$

y = 1

Ce que cela signifie en fait, c'est que lorsque

x = 0, y = -1

x = 2, y = 0

x = 4, y = 1

et ainsi de suite.

Nous allons maintenant dessiner notre graphique et indiquer les axes x et y.

Ensuite, nous tracerons les points que nous avons et nous dessinerons une ligne qui les traversera.

Expressions linéaires, Graphique, StudySmarter Graphique de la droite x - 2y = 2

Résoudre des équations linéaires

La résolution d'équations linéaires consiste à trouver les valeurs de x et/ou de y dans une équation donnée. Les équations peuvent être à une ou deux variables. Dans la forme à une variable, $x$ qui représente la variable, est le sujet et est résolue de façon algébrique.

Avec la forme à deux variables, il faut une autre équation pour pouvoir te donner des valeurs absolues. Rappelle-toi dans l'exemple où nous avons résolu les valeurs de $y$ lorsque $x = 0, y = - 1$ . Et quand $x = 2$ , $y = 0$ . Cela signifie que tant que $x$ était différent, $y$ sera également différent. Nous pouvons prendre un exemple pour les résoudre ci-dessous.

Résous l'équation linéaire

3 y - x = 7 10 y + 3 x = - 2

Solution :

Nous allons résoudre cette équation par substitution. Rends $x$ le sujet de l'équation dans la première équation.

$3 y - 7 = x$

Substitue-le dans la deuxième équation

$10 y + 3 (3 y - 7) = - 2$

$10 y + 9 y - 21 = - 2$

19 y = - 2 + 21

$19 y = 19$

y = 1

Nous pouvons maintenant substituer cette valeur de y dans l'une des deux équations. Nous choisirons la première équation.

$3 (1) - x = 7$

$3 - x = 7$

$- x = 7 - 3$

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$x = - 4$

Cela signifie qu'avec cette équation, lorsque $x = - 4, y = 1$

On peut évaluer cette équation pour voir si elle est vraie.

Nous pouvons substituer les valeurs de chaque variable trouvée dans n'importe laquelle des équations. Prenons la deuxième équation.

$10 y + 3 x = - 2$

$x = - 4$

$y = 1$

$10 (1) - 3 (- 4) = - 2$

$10 - 12 = - 2$

$- 2 = - 2$

Cela signifie que notre équation est vraie si nous disons $y = 1$ lorsque $x = - 4$ .

Inégalités linéaires

Il s'agit d'expressions utilisées pour faire des comparaisons entre deux nombres à l'aide des symboles d'inégalités tels que $<, >, \neq$ . Ci-dessous, nous verrons ce que sont ces symboles et quand ils sont utilisés.

Nom du symbole	Symbole	Exemple
Pas égal	≠	$y \neq 7$
Inférieur à	<	$2 x < 4$
Supérieur à	>	$2 > y$
Inférieur ou égal à	≤	$1 + 4 x \leq 9$
Supérieur ou égal à	≥	$3 y \geq 9 - 4 x$

Résoudre des inéquations linéaires

L'objectif principal de la résolution d'inéquations est de trouver la plage de valeurs qui satisfait l'inégalité. Cela signifie mathématiquement qu'il faut laisser la variable d'un côté de l'inégalité. La plupart des choses que l'on fait pour les équations sont également faites pour les inégalités. Des choses comme l'application de la règle d'or. La différence ici est que certaines activités opératoires peuvent changer les signes en question de telle sorte que < devienne >, > devienne <, ≤ devienne ≥, et ≥ devienne ≤. Ces activités sont ;

Multiplier (ou diviser) les deux côtés par un nombre négatif.
Intervertir les côtés de l'inégalité.

Simplifie l'inégalité linéaire $4 x - 3 \geq 21$ et résous pour $x$ .

Solution :

Tu dois d'abord ajouter 3 à chaque côté,

$4 x - 3 + 3 \geq 21 + 3$

$4 x \geq 24$

Puis diviser chaque côté par 4.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{24}{4}$

Le symbole de l'inégalité reste dans la même direction.

$x \geq 6$

Tout nombre égal ou supérieur à 6 est une solution à l'inégalité $4 x - 3 \geq 21$ .

Expressions linéaires - Principaux enseignements

Les expressions linéaires sont des énoncés dont chaque terme est soit une constante, soit une variable élevée à la première puissance.
Les équations linéaires sont les expressions linéaires qui possèdent le signe égal.
Les inégalités linéaires sont les expressions linéaires qui comparent deux valeurs à l'aide des symboles <, >, ≥, ≤ et ≠.

Fiches dans Expressions Linéaires 3

Commence à apprendre

Laquelle de ces expressions est une expression linéaire ?

3x = 4

Indique si l'énoncé ici est une équation linéaire ou une inégalité.

3x + 1 > 9 - 3(2)

Inégalité linéaire

Indique si l'énoncé ici est une équation linéaire ou une inégalité.

x - 6 = 12

Équation linéaire

Apprends avec 3 fiches de Expressions Linéaires dans l'application gratuite StudySmarter

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Expressions Linéaires

Qu'est-ce qu'une expression linéaire en mathématiques ?

Une expression linéaire en mathématiques est une expression de la forme ax + b, où a et b sont des constantes et x est une variable.

Comment reconnaître une expression linéaire ?

Pour reconnaître une expression linéaire, vérifiez si elle est de la forme ax + b, avec a et b comme constantes.

Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une expression linéaire ?

Une fonction linéaire est écrite sous la forme f(x) = ax + b, alors qu'une expression linéaire est simplement ax + b.

Comment résoudre une équation linéaire ?

Pour résoudre une équation linéaire, isolez la variable x en utilisant des opérations inverses comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Sauvegarder l'explication

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

Temps de lecture: 9 minutes
Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Expressions Linéaires

Équipe éditoriale StudySmarter

Qu'est-ce qu'une expression linéaire ?

Que sont les variables, les termes et les coefficients ?

Écrire des expressions linéaires

Simplifier les expressions linéaires

Équations linéaires