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Définition d'une expression
Une expression peut être utilisée pour décrire un scénario en présence d'un nombre inconnu ou d'une valeur variable. Elle permet de résoudre des problèmes du monde réel d'une manière plus simplifiée et plus explicite.
Une valeur variable est une valeur qui change avec le temps.
Pour construire une expression de ce type, tu devras déterminer quelle quantité est inconnue dans la circonstance, puis définir une variable pour la représenter. Avant d'approfondir ce sujet, définissons d'abord les expressions.
Lesexpressions sont des énoncés mathématiques comportant au moins deux termes qui contiennent des variables, des nombres ou les deux. Les expressions sont telles qu'elles contiennent également au moins une opération mathématique : addition, soustraction, multiplication et division.
Voyons un exemple d'expression.
Voici une expression mathématique,
\[2x+1\]
car elle contient une variable, x, deux nombres, 2 et 1, et une opération mathématique, +.
Les expressions sont très organisées, de telle sorte qu'une déclaration dans laquelle un opérateur vient juste après un autre n'est pas une expression valide. Par exemple,
\N- 2x+\Nfois 1.\N]
Elles sont également organisées dans le sens où lorsqu'une parenthèse s'ouvre, il doit y avoir une fermeture. Par exemple,
\[3(4x+2)-6\]
est une expression valide. Cependant ,
\[6-4(18x\]
n'est pas une expression valide.
Composants d'une expression
Les expressions en algèbre contiennent au moins une variable, des nombres et une opération arithmétique. Cependant, il existe un grand nombre de termes liés aux parties d'une expression. Ces éléments sont décrits ci-dessous.
Variables: Les variables sont les lettres qui représentent une valeur inconnue dans un énoncé mathématique.
Termes: Les termes sont soit des nombres, soit des variables (ou des nombres et des variables) qui se multiplient et se divisent et sont séparés par le signe d'addition (+) ou de soustraction (-).
Coefficient: Les coefficients sont les nombres qui multiplient les variables.
Constante: Les constantes sont les nombres dans les expressions qui ne changent pas.
Composants d'une expression
Exemples d'expressions
Voici quelques exemples d'expressions mathématiques.
1) \N-(x+1)(x+3)\N-(x+1)(x+3)\N-(x+1)(x+3)\N)
2) \(6a+3\)
3) \(6x-15y+12)
4) \(y^2+4xy)
5) \(\frac{x}{4}+\frac{x}{5}\)
Tu remarqueras qu'ils contiennent tous les éléments nécessaires pour être considérés comme des expressions. Ils ont tous des variables, des nombres et au moins une opération mathématique qui les compose.
En particulier, dans le premier exemple, tu trouveras une multiplication implicite dans la parenthèse qui relie les deux termes \(x+1\) et \(x+3\) ; il s'agit donc d'une expression valide. Dans le quatrième exemple, dans le deuxième terme, les variables \(x\N) et \N(y\N) se multiplient et s'écrivent \N(xy\N). Il s'agit donc également d'une expression valide.
Écrire des expressions
Dans cette partie de notre discussion, nous allons nous familiariser avec l'écriture d'expressions, en particulier la traduction de problèmes de mots en problèmes mathématiques. Cette compétence est importante lorsqu'il s'agit de résoudre une question donnée. En faisant cela, nous pouvons visualiser n'importe quoi en termes de nombres et d'opérations arithmétiques !
Traduire les problèmes de mots en expressions
Étant donné une phrase qui illustre un énoncé mathématique, nous pouvons les traduire en expressions qui impliquent les composants appropriés des expressions que nous avions mentionnées précédemment et des symboles mathématiques. Le tableau ci-dessous présente plusieurs exemples de problèmes de mots qui ont été traduits en expressions.
Phrase | Expression |
Cinq plus qu'un nombre | \[x+5\] |
Trois quarts d'un nombre | \[\frac{3y}{4}\] |
Huit plus grand qu'un nombre | \[a+8\] |
Le produit d'un nombre par douze | \[12z\] |
Le quotient d'un nombre par neuf | \[\frac{x}{9}\] |
Types d'expressions mathématiques
Expressions numériques
Par rapport à ce que sont les expressions, il existe des expressions qui ne contiennent pas de variables. C'est ce qu'on appelle les expressions numériques.
Lesexpressions numériques sont une combinaison de nombres séparés par des opérateurs mathématiques.
Elles peuvent être aussi longues que possible et contenir autant d'opérateurs mathématiques que possible.
Voici quelques exemples d'expressions numériques.
1) \(13-3\)
2) \(3-7+14-9\)
3) \(12+\frac{4}{17}-2\times 11+1\)
4) \(4-2-1\)
Expressions algébriques
Les expressions algébriques sont des expressions qui contiennent des inconnues. Les inconnues sont des variables qui sont souvent représentées par des lettres. Dans la plupart des cas, ces lettres sont \N(x\N), \N(y\N) et \N(z\N).
Cependant, nous pouvons parfois obtenir des expressions qui comprennent également des lettres grecques. Par exemple, \N(alpha), \N(bêta) et \N(gamma). Tu trouveras ci-dessous plusieurs exemples d'expressions algébriques.
1) \(\frac{2x}{7}+3y^2\)
2) \N- (4\Nalpha-3\Nbeta + 15\N)
3) \N- (x^2+3y-4z\N)
Évaluer les expressions mathématiques
Dans cette section, nous allons nous familiariser avec l'évaluation des expressions mathématiques. Ici, nous résoudrons essentiellement une expression donnée en nous basant sur les opérations arithmétiques entre les nombres ou les variables. Ces opérations arithmétiques de base (ou symboles mathématiques) comprennent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Nous verrons également comment ces opérations peuvent nous aider à factoriser et à simplifier de telles expressions.
Addition et soustraction d'expressions
L'addition et la soustraction sont les principales actions effectuées lors de l'addition et de la soustraction de fractions. Elles sont effectuées sur des termes similaires. Il y a deux étapes à prendre en compte ici, à savoir
Étape 1 : Identifier et réorganiser les termes semblables à regrouper.
Étape 2 : Additionner et soustraire des termes similaires.
Tu trouveras ci-dessous un exemple concret.
Additionne les expressions \(5a-7b+3c\) et \(-4a-2b+3c\).
Solution
Étape 1 : Nous allons d'abord rassembler les deux expressions pour pouvoir les réarranger.
\[5a-7b+3c+(-4a-2b+3c)\]
Alors ,
\[5a-7b+3c-4a-2b+3c\]
Next,
\[5a-4a-7b-2b+3c+3c\]
Étape 2 : Nous pouvons maintenant additionner tous les termes similaires.
\N- [a-9b+6c\N]
Voici un autre exemple de travail pour toi.
Additionne les expressions
\(7x^2+8y-9y), (3y+2-3x^2) et (3-y+3x^2).
Solution
Étape 1 : Nous allons les noter pour pouvoir les réarranger
\[7x^2+8y-9+3y+2-3x^2+3-y+3x^2\]
Alors ,
\[7x^2+3x^2-3x^2+8y-y+3y-9+2+3\]
Étape 2 : Additionne les termes similaires
\N- [7x^2+10y-4\N]
Factoriser les expressions
Il s'agit d'un élément important lorsqu'il s'agit de traiter des expressions. Il nous aide à regrouper les termes similaires afin d'effectuer des opérations arithmétiques de manière plus structurée.
Lafactorisation consiste à inverser l'expansion des parenthèses.
La forme factorisée des expressions est toujours entre parenthèses. Le processus consiste à retirer les facteurs communs les plus élevés de tous les termes, de sorte que lorsque les facteurs sont retirés et multipliés par les valeurs entre parenthèses, nous obtenons la même expression que celle que nous avions au départ.
Par exemple, disons que tu as l'expression ci-dessous.
\N- [4x^2+6x\N]
Remarque ici que les coefficients de \(x^2\) et \(x\) ont tous deux un facteur de 2 puisque 4 et 6 sont divisibles par 2. De plus, \ (x^2\) et \(x\) ont un facteur commun de \(x\). Tu peux donc retirer ces deux facteurs de cette expression, ce qui rend la forme factorielle équivalente à
\N-[2x(2x+3)\N]
Expliquons à nouveau cela avec un autre exemple.
Factorise l'expression
\[6x+9\]
Solution
Pour factoriser cette expression, nous devons trouver la valeur HCF de \(6x\) et 9. Il se trouve que cette valeur est 3. Nous allons donc noter cette valeur et tenir compte de la parenthèse.
\[3(?+ ?)\]
Le signe dans la parenthèse ci-dessus est obtenu à partir du signe dans l'expression initiale. Pour savoir quelles valeurs doivent se trouver dans les parenthèses, nous allons diviser les termes des expressions dont nous avons factorisé le 3 par le 3.
\[\frac{6x}{3}=2x\]
et
\[\frac{9}{3}=3\]
Nous arrivons alors à
\[3(2x+3)\]
Nous pouvons évaluer si la réponse que nous avons est correcte en développant les parenthèses.
\N-(3 fois 2x)+(3 fois 3)=6x+9\N]
comme nous l'avons fait précédemment !
Prenons un autre exemple.
Simplifie l'expression
\N- [3y^2+12y\N]
Solution
Nous allons devoir trouver le HCF. En général, il est possible de les décomposer, même si elles sont un peu trop complexes au début. En regardant les coefficients, nous nous rendons compte que 3 est le HCF. Il sera pris à l'extérieur de la parenthèse.
\[3(?+ ?)\]
Nous pouvons maintenant diviser l'expression à partir de laquelle le 3 a été factorisé par le 3.
\[\frac{3y^2}{3}=y^2\]
et
\[\frac{12y}{3}=4y\]
Ce qui nous laisse avec l'expression ;
\N- 3(y^2+4y)\N]
Cependant, en examinant attentivement l'expression, nous remarquerons qu'elle peut être factorisée davantage. \N(y\N) peut être factorisé à partir de l'expression entre crochets.
\[3y(?+ ?)\]
Nous allons reprendre le processus en divisant les valeurs à partir desquelles y a été factorisé par \(y\).
\N- [\Nfrac{y^2}{y}=y\N]
et
\[\frac{4y}{y}=4\]
Nous obtenons ainsi l'expression finale sous sa forme factorisée ;
\N- 3y(y+4)\N]
Nous pouvons l'évaluer en développant les parenthèses.
\N-(3 fois y)+(3 fois 4)=3y^2+12y\N]
ce qui, encore une fois, correspond à ce que nous avions au début.
Simplifier les expressions
Le terme simplifier provient de la racine "simple". Comme le mot le suggère, simplifier une expression donnée nous permet de la résoudre plus efficacement. Lorsque nous simplifions une expression, nous la ramenons à une forme plus simple en annulant les facteurs communs et en regroupant les termes qui partagent la même variable.
Simplifier des expressions consiste à écrire des expressions sous leur forme la plus compacte et la plus simple, de telle sorte que la valeur de l'expression d'origine soit conservée.
Cela permet d'éviter tous les longs travaux que tu pourrais avoir à effectuer et qui pourraient entraîner des erreurs d'inattention indésirables. Tu ne voudrais certainement pas commettre d'erreurs d'arithmétique maintenant, n'est-ce pas ?
Il y a trois étapes à suivre pour simplifier les expressions.
Élimine les parenthèses en multipliant les facteurs (s'il y en a) ;
Élimine les exposants en utilisant les règles des exposants ;
Additionner et soustraire les termes similaires.
Voyons quelques exemples pratiques.
Simplifie l'expression
\N- [3x+2(x-4).\N]
Solution
Ici, nous allons d'abord opérer sur les parenthèses en multipliant le facteur (à l'extérieur de la parenthèse) par ce qui se trouve entre les parenthèses.
\N- 3x+2x-8\N]
Nous additionnerons les termes semblables, ce qui nous donnera la forme simplifiée suivante
\[5x-8\]
qui a en effet la même valeur que l'expression que nous avions au début.
Voici un autre exemple.
Simplifie l'expression
\N-[x(4-x)-x(3-x).\N]
Solution
Pour ce problème, nous allons d'abord nous occuper des parenthèses. Nous allons multiplier les facteurs par les éléments des parenthèses.
\N-[x(4-x)-x(3-x)\N]
Ce qui donne ,
\N- 4x-x^2-3x+x^2\N]
Nous pouvons continuer à les réorganiser de façon à ce que les termes similaires soient regroupés à proximité les uns des autres.
\N- 4x-3x-x^2+x^2\N]
Effectuons maintenant les additions et les soustractions, ce qui nous laissera à notre tour avec :
\N-[4x-3x-x^2+x^2=x\N]\N-[4x-3x-x^2+x^2=x\N]
Expressions - Points clés
- Les expressions sont des énoncés mathématiques comportant au moins deux termes qui contiennent des variables, des nombres ou les deux.
- Les termes sont soit des nombres, soit des variables, soit des nombres et des variables qui se multiplient.
- Les expressions numériques sont une combinaison de nombres séparés par des opérateurs mathématiques.
- La factorisation est le processus qui consiste à inverser l'expansion des parenthèses.
- Le processus de factorisation consiste à retirer les facteurs communs les plus élevés de tous les termes, de sorte que lorsque les facteurs sont retirés et multipliés par les valeurs entre parenthèses, nous obtenons la même expression que celle que nous avions au départ.
- La simplification des expressions consiste à écrire les expressions sous leur forme la plus compacte et la plus simple de manière à conserver la valeur de l'expression originale.
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