Remarque que chaque nombre dans les exemples ci-dessus est élevé à un exposant (ou puissance) sous la forme d'un nombre entier. Considère maintenant les expressions ci-dessous.
Ici, les exposants sont sous la forme d'une fraction. C'est ce qu'on appelle des exposants rationnels. Dans cet article, nous allons explorer ces expressions, leurs propriétés et leur relation avec les expressions radicales.
Propriétés des exposants
Les exposants possèdent plusieurs propriétés qui peuvent nous aider à simplifier les expressions impliquant des exposants rationnels. En nous familiarisant avec ces règles, nous pouvons résoudre ces expressions rapidement sans avoir à faire de longs calculs. Le tableau ci-dessous décrit ces propriétés, suivies d'un exemple.
Une expression radicale est une expression qui contient un symbole radical √ sur tout indice n, . Cette expression est connue sous le nom de fonction racine. Par exemple ,
Disons qu'on nous demande de résoudre le produit de deux expressions radicales. Par exemple ,
Comment calculer le produit de ces expressions radicales ? Cela peut être quelque peu difficile en raison de la présence des symboles de radicaux. Cependant, il existe bel et bien une solution à ce problème. Dans cet article, nous allons présenter le concept des exposants rationnels. Les exposants rationnels peuvent être utilisés pour écrire des expressions impliquant des radicaux. En écrivant une expression radicale sous la forme d'exposants rationnels, nous pouvons facilement les simplifier. La définition d'un exposant rationnel est expliquée ci-dessous.
Les exposants rationnels sont définis comme des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme. , où q ≠ 0.
La notation générale des exposants rationnels est . Ici, x est appelé la base (tout nombre réel) et est un exposant rationnel.
Les exposants rationnels peuvent également être écrits sous la forme suivante .
Cela nous permet d'effectuer des opérations telles que les exposants, la multiplication et la division. Pour nous familiariser avec ce sujet, commençons par l'exemple suivant. Rappelle que la mise au carré d'un nombre et la racine carrée d'un nombre sont des opérations inverses. Nous pouvons étudier de telles expressions en supposant que les exposants fractionnaires se comportent comme des exposants intégraux.
Les exposants intégraux sont des exposants exprimés sous la forme d'un nombre entier.
1. Revenons à l'exemple précédent nous pouvons maintenant faire ce qui suit
2. Écrire le carré d'un nombre comme une multiplication
En ajoutant maintenant les exposants
En simplifiant, on obtient
Par conséquent, le carré de est égal à a. Ainsi,
Il y a deux formes d'exposants rationnels à considérer dans ce sujet, à savoir
et .
La section suivante décrit comment chacune de ces formes s'écrit en termes de radicaux.
Formes des exposants rationnels
Il y a deux formes d'exposants rationnels que nous devons considérer ici. Dans chaque cas, nous exposerons la technique utilisée pour simplifier chaque forme, suivie de plusieurs exemples travaillés pour démontrer chaque méthode.
Cas 1
Si a est un nombre réel et n ≥ 2, alors
.
Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.
et
Solutions
1.
2.
Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle.
et
Solutions
1.
2.
Cas 2
Pour tout entier positif m et n,
ou ,
Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.
Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle
et
Solutions
1.
2.
Évaluer les expressions avec des exposants rationnels
Dans cette section, nous allons examiner quelques exemples pratiques qui montrent comment nous pouvons résoudre des expressions impliquant des exposants rationnels.
Évaluer
Solution
Par la règle des exposants négatifs,
Maintenant, par la définition des exposants rationnels
En simplifiant, on obtient
Évaluer
Solution
Par la règle de la puissance,
Maintenant, avec la définition des exposants rationnels
En simplifiant, on obtient
En simplifiant encore cette expression, on obtient
Exemple concret
Le rayon, r, d'une sphère dont le volume, V, est donné par la formule suivante
.
Quel est le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3?
Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Étant donné la formule ci-dessus, le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3est donné par .
Ainsi, le rayon est d'environ 1,79 unité (correct à deux décimales près).
Utilisation des propriétés des exposants pour simplifier les exposants rationnels
Maintenant que nous avons établi les propriétés des exposants ci-dessus, appliquons ces règles pour simplifier les exposants rationnels. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples concrets.
Simplifie ce qui suit.
Solution
Par la règle du produit
Simplifie l'expression ci-dessous.
Solution
Par la règle de la puissance
Simplifie l'expression suivante.
Solution
Par la règle du quotient
Simplifie l'expression ci-dessous.
Solution
Par la règle du produit à la puissance
Simplifie ce qui suit
Solution
Par la règle du produit
Ensuite, par la règle du quotient
Ensuite, par la règle du produit à la puissance
Enfin, par la règle de l'exposant négatif
Expressions avec des exposants rationnels
Pour déterminer si une expression impliquant des exposants rationnels est entièrement simplifiée, la solution finale doit satisfaire aux conditions suivantes :
Condition
Exemple
Aucun exposant négatif n'est présent
Au lieu d'écrire 3-2, nous devrions simplifier cette expression comme suit par la règle des exposants négatifs
Le dénominateur n'est pas sous la forme d'un exposant fractionnaire.
Étant donné que nous devrions l'exprimer sous la forme par la définition des exposants rationnels
Il ne s'agit pas d'une fraction complexe
Plutôt que d'écrire , nous pouvons simplifier ceci comme puisque
L'indice de tout radical restant est le plus petit nombre possible
Disons que nous obtenons un résultat final de . Nous pouvons encore réduire ce résultat en notant que
Propriétés des exposants rationnels - Principaux enseignements
Une expression radicale est une fonction qui contient une racine carrée.
Les exposants rationnels sont des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme suivante . , où q ≠ 0.
Apprends plus vite avec les 0 fiches sur Exposants rationnels
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
Questions fréquemment posées en Exposants rationnels
Qu'est-ce qu'un exposant rationnel ?
Un exposant rationnel est un exposant qui est un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre qui peut être exprimé sous forme de fraction a/b, où a et b sont des entiers.
Comment simplifier une expression avec des exposants rationnels ?
Pour simplifier une expression avec des exposants rationnels, utilisez les propriétés des exposants telles que la multiplication et la division des puissances, ainsi que l'application des racines.
Quelle est la règle de base pour additionner des exposants rationnels ?
Pour additionner des exposants rationnels, les bases doivent être identiques. La règle est : a^(m/n) * a^(p/q) = a^[(mq+np)/nq].
Comment comprendre un exposant négatif rationnel ?
Un exposant négatif rationnel inverse la base. Par exemple, a^(-m/n) = 1/a^(m/n). Transformez le négatif en inverse pour simplifier.
How we ensure our content is accurate and trustworthy?
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet
the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Content Creation Process:
Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.