Exposants rationnels: Exemples, Exercices

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$3^{2} = 3 \times 3 = 9 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 {(\frac{4}{9})}^{2} = \frac{4^{2}}{9^{2}} = \frac{4 \times 4}{9 \times 9} = \frac{16}{81}$

Remarque que chaque nombre dans les exemples ci-dessus est élevé à un exposant (ou puissance) sous la forme d'un nombre entier. Considère maintenant les expressions ci-dessous.

$3^{\frac{2}{3}}, 5^{\frac{1}{4}}, {(\frac{4}{9})}^{\frac{3}{5}}$

Ici, les exposants sont sous la forme d'une fraction. C'est ce qu'on appelle des exposants rationnels. Dans cet article, nous allons explorer ces expressions, leurs propriétés et leur relation avec les expressions radicales.

Propriétés des exposants

Les exposants possèdent plusieurs propriétés qui peuvent nous aider à simplifier les expressions impliquant des exposants rationnels. En nous familiarisant avec ces règles, nous pouvons résoudre ces expressions rapidement sans avoir à faire de longs calculs. Le tableau ci-dessous décrit ces propriétés, suivies d'un exemple.

Propriété	Dérivation	Exemple
Règle du produit	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{7} = 2^{3 + 7} = 2^{10}$
Règle de puissance	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$	${(2^{3})}^{7} = 2^{3 \cdot 7} = 2^{21}$
Produit à la puissance	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$	${(10)}^{3} = {(2 \cdot 5)}^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3}$
Règle du quotient	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} (a \neq 0)$	$\frac{2^{3}}{2^{7}} = 2^{3 - 7} = 2^{- 4}$
Règle de l'exposant zéro	$a^{0} = 1 (a \neq 0)$	$2^{0} = 1$
Règle du quotient à la puissance	${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} (b \neq 0)$	${(\frac{2}{5})}^{3} = \frac{2^{3}}{5^{3}}$
Règle de l'exposant négatif	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} (a \neq 0)$	$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$

Exposants rationnels et radicaux

Rappelle la définition d'une expression radicale.

Une expression radicale est une expression qui contient un symbole radical √ sur tout indice n, $\sqrt[n]{}$ . Cette expression est connue sous le nom de fonction racine. Par exemple ,

$\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \sqrt{x}, e t c .$

Disons qu'on nous demande de résoudre le produit de deux expressions radicales. Par exemple ,

$\sqrt{23} \times \sqrt{3}$

Comment calculer le produit de ces expressions radicales ? Cela peut être quelque peu difficile en raison de la présence des symboles de radicaux. Cependant, il existe bel et bien une solution à ce problème. Dans cet article, nous allons présenter le concept des exposants rationnels. Les exposants rationnels peuvent être utilisés pour écrire des expressions impliquant des radicaux. En écrivant une expression radicale sous la forme d'exposants rationnels, nous pouvons facilement les simplifier. La définition d'un exposant rationnel est expliquée ci-dessous.

Les exposants rationnels sont définis comme des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme. $\frac{p}{q}$ , où q ≠ 0.

La notation générale des exposants rationnels est $x^{\frac{m}{n}}$ . Ici, x est appelé la base (tout nombre réel) et $\frac{m}{n}$ est un exposant rationnel.

Les exposants rationnels peuvent également être écrits sous la forme suivante $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ .

Cela nous permet d'effectuer des opérations telles que les exposants, la multiplication et la division. Pour nous familiariser avec ce sujet, commençons par l'exemple suivant. Rappelle que la mise au carré d'un nombre et la racine carrée d'un nombre sont des opérations inverses. Nous pouvons étudier de telles expressions en supposant que les exposants fractionnaires se comportent comme des exposants intégraux.

Les exposants intégraux sont des exposants exprimés sous la forme d'un nombre entier.

1. Revenons à l'exemple précédent $\sqrt{23} \times \sqrt{3}$ nous pouvons maintenant faire ce qui suit

$\sqrt{23} \times \sqrt{3} = 23^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}}$

En appliquant la règle du produit à la puissance, nous obtenons

$23^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} = {(23 \times 3)}^{\frac{1}{2}} = 69^{\frac{1}{2}}$

En revenant à la racine carrée, nous obtenons

$69^{\frac{1}{2}} = \sqrt{69}$

2. Écrire le carré d'un nombre comme une multiplication

${(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}$

En ajoutant maintenant les exposants

$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

En simplifiant, on obtient

$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = a^{1} = a$

Par conséquent, le carré de $a^{\frac{1}{2}}$ est égal à a. Ainsi, $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Il y a deux formes d'exposants rationnels à considérer dans ce sujet, à savoir

$a^{\frac{1}{n}}$ et $a^{\frac{m}{n}}$ .

La section suivante décrit comment chacune de ces formes s'écrit en termes de radicaux.

Formes des exposants rationnels

Il y a deux formes d'exposants rationnels que nous devons considérer ici. Dans chaque cas, nous exposerons la technique utilisée pour simplifier chaque forme, suivie de plusieurs exemples travaillés pour démontrer chaque méthode.

Cas 1

Si a est un nombre réel et n ≥ 2, alors

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.

$a^{\frac{1}{3}}$ et ${(4 b)}^{\frac{1}{5}}$

Solutions

1. $a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$

2. ${(4 b)}^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{4 b}$

Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle.

$\sqrt[7]{x}$ et $\sqrt{2 y}$

Solutions

1. $\sqrt[7]{x} = x^{\frac{1}{7}}$

2. $\sqrt{2 y} = {(2 y)}^{\frac{1}{2}}$

Cas 2

Pour tout entier positif m et n,

a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.

a^{\frac{2}{3}}

{(7 b)}^{\frac{5}{4}}

Solutions

1. $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^{2}}$ , ce qui est la même chose que $a^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{a})}^{2}$ .

2. ${(7 b)}^{\frac{5}{4}} = {(\sqrt[4]{7 b})}^{5}$

Par la règle de puissance, nous obtenons

${(\sqrt[4]{7 b})}^{5} = {(\sqrt[4]{7})}^{5} {(\sqrt[4]{b})}^{5}$

En simplifiant encore, notre forme finale devient

${(\sqrt[4]{7})}^{5} {(\sqrt[4]{b})}^{5} = 7 (\sqrt[4]{7}) (\sqrt[4]{b^{5}})$

Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle

$\sqrt[5]{x^{8}}$ et ${(\sqrt[8]{2 y})}^{3}$

Solutions

1. $\sqrt[5]{x^{8}} = x^{\frac{8}{5}}$

2. ${(\sqrt[8]{2 y})}^{3} = {(2 y)}^{\frac{3}{8}}$

Évaluer les expressions avec des exposants rationnels

Dans cette section, nous allons examiner quelques exemples pratiques qui montrent comment nous pouvons résoudre des expressions impliquant des exposants rationnels.

Évaluer $27^{- \frac{1}{3}}$

Solution

Par la règle des exposants négatifs,

27^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}}

Maintenant, par la définition des exposants rationnels

$\frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

En simplifiant, on obtient

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}} = \frac{1}{3}$

Évaluer $64^{\frac{2}{3}}$

Solution

Par la règle de la puissance,

64^{\frac{2}{3}} = 64^{2 \cdot \frac{1}{3}}

Maintenant, avec la définition des exposants rationnels

$64^{2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64^{2}}$

En simplifiant, on obtient

$\sqrt[3]{64^{2}} = \sqrt[3]{{(4^{3})}^{2}} = \sqrt[3]{4^{3} \cdot 4^{3}}$

En simplifiant encore cette expression, on obtient

$\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4^{3}} = 4 \cdot 4 = 16$

Exemple concret

Le rayon, r, d'une sphère dont le volume, V, est donné par la formule suivante

$r = {(\frac{3 V}{4 π})}^{\frac{1}{3}}$ .

Quel est le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3^?

Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étant donné la formule ci-dessus, le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3^est donné par .

$r = {(\frac{3 (24)}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = {(\frac{72}{4 π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = {(\frac{18}{π})}^{\frac{1}{3}} \Rightarrow r = \sqrt[3]{(\frac{18}{π})} \Rightarrow r = 1.789400458 u n i t s$

Ainsi, le rayon est d'environ 1,79 unité (correct à deux décimales près).

Utilisation des propriétés des exposants pour simplifier les exposants rationnels

Maintenant que nous avons établi les propriétés des exposants ci-dessus, appliquons ces règles pour simplifier les exposants rationnels. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples concrets.

Simplifie ce qui suit.

$x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

Solution

Par la règle du produit

$x^{\frac{1}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{5} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{13}{15}}$

Simplifie l'expression ci-dessous.

${(x^{4})}^{\frac{3}{7}}$

Solution

Par la règle de la puissance

${(x^{4})}^{\frac{3}{7}} = x^{4 \cdot \frac{3}{7}} = x^{\frac{12}{7}}$

Simplifie l'expression suivante.

\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{9}}}

Solution

Par la règle du quotient

$\frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{9}}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{9}} = x^{\frac{23}{36}}$

Simplifie l'expression ci-dessous.

${(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{2}}$

Solution

Par la règle du produit à la puissance

${(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{8}}$

Simplifie ce qui suit

${(\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

Solution

Par la règle du produit

${(\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{{x^{\frac{1}{2}}}^{+ \frac{3}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

Ensuite, par la règle du quotient

${(\frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{- \frac{3}{2}} y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{5}{4} - (- \frac{3}{2})}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = {(\frac{x^{\frac{11}{4}}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}}$

Ensuite, par la règle du produit à la puissance

${(\frac{x^{\frac{11}{4}}}{y^{- \frac{5}{4}}})}^{\frac{1}{3}} = \frac{x^{\frac{11}{4} \cdot \frac{1}{3}}}{y^{- \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{11}{12}}}{y^{- \frac{5}{12}}}$

Enfin, par la règle de l'exposant négatif

$\frac{x^{\frac{11}{12}}}{y^{- \frac{5}{12}}} = \frac{x^{\frac{11}{12}}}{(\frac{1}{y^{\frac{5}{12}}})} = x^{\frac{11}{12}} \cdot y^{\frac{5}{12}}$

Expressions avec des exposants rationnels

Pour déterminer si une expression impliquant des exposants rationnels est entièrement simplifiée, la solution finale doit satisfaire aux conditions suivantes :

Condition	Exemple
Aucun exposant négatif n'est présent	Au lieu d'écrire ^3-2, nous devrions simplifier cette expression comme suit $\frac{1}{3^{2}}$ par la règle des exposants négatifs
Le dénominateur n'est pas sous la forme d'un exposant fractionnaire.	Étant donné que $\frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$ nous devrions l'exprimer sous la forme $\frac{3}{\sqrt{4}}$ par la définition des exposants rationnels
Il ne s'agit pas d'une fraction complexe	Plutôt que d'écrire $\frac{5}{\frac{3}{\sqrt{2}}}$ , nous pouvons simplifier ceci comme $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ puisque $\frac{5}{\frac{3}{\sqrt{2}}} = 5 \div \frac{3}{\sqrt{2}} = 5 \times \frac{\sqrt{2}}{3}$
L'indice de tout radical restant est le plus petit nombre possible	Disons que nous obtenons un résultat final de $\sqrt{32}$ . Nous pouvons encore réduire ce résultat en notant que $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

Propriétés des exposants rationnels - Principaux enseignements

Une expression radicale est une fonction qui contient une racine carrée.
Les exposants rationnels sont des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme suivante . $\frac{p}{q}$ , où q ≠ 0.
Formes des exposants rationnels
Forme Représentation
$a^{\frac{1}{n}}$ Si a est un nombre réel et $n \geq 2$ $\Rightarrow a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$
$a^{\frac{m}{n}}$ Pour tout entier positif m et n $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ ou $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Propriétés des exposants

Propriété	Dérivation
Règle du produit	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Règle de la puissance	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
Règle du produit à la puissance	${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$
Règle du quotient	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$
Règle de l'exposant zéro	$a^{0} = 1$
Règle du quotient à la puissance	${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
Règle de l'exposant négatif	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

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Questions fréquemment posées en Exposants rationnels

Qu'est-ce qu'un exposant rationnel ?

Un exposant rationnel est un exposant qui est un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre qui peut être exprimé sous forme de fraction a/b, où a et b sont des entiers.

Comment simplifier une expression avec des exposants rationnels ?

Pour simplifier une expression avec des exposants rationnels, utilisez les propriétés des exposants telles que la multiplication et la division des puissances, ainsi que l'application des racines.

Quelle est la règle de base pour additionner des exposants rationnels ?

Pour additionner des exposants rationnels, les bases doivent être identiques. La règle est : a^(m/n) * a^(p/q) = a^[(mq+np)/nq].

Comment comprendre un exposant négatif rationnel ?

Un exposant négatif rationnel inverse la base. Par exemple, a^(-m/n) = 1/a^(m/n). Transformez le négatif en inverse pour simplifier.

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