Exposants rationnels

Jusqu'à présent, nous avons vu des expressions exponentielles telles que celles qui suivent.

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Math input error

Remarque que chaque nombre dans les exemples ci-dessus est élevé à un exposant (ou puissance) sous la forme d'un nombre entier. Considère maintenant les expressions ci-dessous.

323,514,4935

Ici, les exposants sont sous la forme d'une fraction. C'est ce qu'on appelle des exposants rationnels. Dans cet article, nous allons explorer ces expressions, leurs propriétés et leur relation avec les expressions radicales.

Propriétés des exposants

Les exposants possèdent plusieurs propriétés qui peuvent nous aider à simplifier les expressions impliquant des exposants rationnels. En nous familiarisant avec ces règles, nous pouvons résoudre ces expressions rapidement sans avoir à faire de longs calculs. Le tableau ci-dessous décrit ces propriétés, suivies d'un exemple.

PropriétéDérivationExemple
Règle du produitam·an=am+n23·27=23+7=210
Règle de puissance(am)n=am·n237=23·7=221
Produit à la puissanceabm=ambm103=2·53=23·53
Règle du quotientaman=am-n(a0)2327=23-7=2-4
Règle de l'exposant zéroa0=1(a0)20=1
Règle du quotient à la puissanceabm=ambm(b0)253=2353
Règle de l'exposant négatifa-n=1an(a0)2-3=123

Exposants rationnels et radicaux

Rappelle la définition d'une expression radicale.

Une expression radicale est une expression qui contient un symbole radical √ sur tout indice n, n. Cette expression est connue sous le nom de fonction racine. Par exemple ,

2,53,x,etc.

Disons qu'on nous demande de résoudre le produit de deux expressions radicales. Par exemple ,

23×3

Comment calculer le produit de ces expressions radicales ? Cela peut être quelque peu difficile en raison de la présence des symboles de radicaux. Cependant, il existe bel et bien une solution à ce problème. Dans cet article, nous allons présenter le concept des exposants rationnels. Les exposants rationnels peuvent être utilisés pour écrire des expressions impliquant des radicaux. En écrivant une expression radicale sous la forme d'exposants rationnels, nous pouvons facilement les simplifier. La définition d'un exposant rationnel est expliquée ci-dessous.

Les exposants rationnels sont définis comme des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme. pq, où q ≠ 0.

La notation générale des exposants rationnels est xmn. Ici, x est appelé la base (tout nombre réel) et mn est un exposant rationnel.

Les exposants rationnels peuvent également être écrits sous la forme suivante .

Cela nous permet d'effectuer des opérations telles que les exposants, la multiplication et la division. Pour nous familiariser avec ce sujet, commençons par l'exemple suivant. Rappelle que la mise au carré d'un nombre et la racine carrée d'un nombre sont des opérations inverses. Nous pouvons étudier de telles expressions en supposant que les exposants fractionnaires se comportent comme des exposants intégraux.

Les exposants intégraux sont des exposants exprimés sous la forme d'un nombre entier.

1. Revenons à l'exemple précédent 23×3nous pouvons maintenant faire ce qui suit

23×3=2312×312

En appliquant la règle du produit à la puissance, nous obtenons

2312×312=23×312=6912

En revenant à la racine carrée, nous obtenons

6912=69

2. Écrire le carré d'un nombre comme une multiplication

a122=a12·a12

En ajoutant maintenant les exposants

a12·a12=a12+12

En simplifiant, on obtient

a12+12=a1=a

Par conséquent, le carré de a12est égal à a. Ainsi, a12=a

Il y a deux formes d'exposants rationnels à considérer dans ce sujet, à savoir

a1n et amn.

La section suivante décrit comment chacune de ces formes s'écrit en termes de radicaux.

Formes des exposants rationnels

Il y a deux formes d'exposants rationnels que nous devons considérer ici. Dans chaque cas, nous exposerons la technique utilisée pour simplifier chaque forme, suivie de plusieurs exemples travaillés pour démontrer chaque méthode.

Cas 1

Si a est un nombre réel et n ≥ 2, alors

a1n=an.

Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.

a13 et4b15

Solutions

1. a13=a3

2. 4b15=4b5

Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle.

x7 et2y

Solutions

1. x7=x17

2. 2y=2y12

Cas 2

Pour tout entier positif m et n,

amn=(an)m ou amn=amn,

Écris les éléments suivants sous leur forme radicale.

a23et7b54

Solutions

1. a23=a23, ce qui est la même chose que a23=(a3)2.

2. 7b54=7b45

Par la règle de puissance, nous obtenons

7b45=745b45

En simplifiant encore, notre forme finale devient

745b45=774b54

Exprime les éléments suivants sous leur forme exponentielle

x85et2y83

Solutions

1. x85=x85

2. 2y83=2y38

Évaluer les expressions avec des exposants rationnels

Dans cette section, nous allons examiner quelques exemples pratiques qui montrent comment nous pouvons résoudre des expressions impliquant des exposants rationnels.

Évaluer 27-13

Solution

Par la règle des exposants négatifs,

27-13=12713

Maintenant, par la définition des exposants rationnels

12713=1273

En simplifiant, on obtient

1273=1333=13

Évaluer 6423

Solution

Par la règle de la puissance,

6423=642·13

Maintenant, avec la définition des exposants rationnels

642·13=6423

En simplifiant, on obtient

6423=4323=43·433

En simplifiant encore cette expression, on obtient

43·433=4·4=16

Exemple concret

Le rayon, r, d'une sphère dont le volume, V, est donné par la formule suivante

r=3V4π13.

Quel est le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3?

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Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Étant donné la formule ci-dessus, le rayon d'une boule dont le volume est de 24 unités3est donné par .

r=3(24)4π13r=724π13r=18π13r=18π3r=1.789400458units

Ainsi, le rayon est d'environ 1,79 unité (correct à deux décimales près).

Utilisation des propriétés des exposants pour simplifier les exposants rationnels

Maintenant que nous avons établi les propriétés des exposants ci-dessus, appliquons ces règles pour simplifier les exposants rationnels. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples concrets.

Simplifie ce qui suit.

x15·x23

Solution

Par la règle du produit

x15·x23=x15+23=x1315

Simplifie l'expression ci-dessous.

x437

Solution

Par la règle de la puissance

x437=x4·37=x127

Simplifie l'expression suivante.

x34x19

Solution

Par la règle du quotient

x34x19=x34-19=x2336

Simplifie l'expression ci-dessous.

x23y1412

Solution

Par la règle du produit à la puissance

x23y1412=x23·12·y14·12=x13·y18

Simplifie ce qui suit

x12x34x-32y-5413

Solution

Par la règle du produit

x12x34x-32y-5413=x12+34x-32y-5413=x54x-32y-5413

Ensuite, par la règle du quotient

x54x-32y-5413=x54--32y-5413=x114y-5413

Ensuite, par la règle du produit à la puissance

x114y-5413=x114·13y-54·13=x1112y-512

Enfin, par la règle de l'exposant négatif

x1112y-512=x11121y512=x1112·y512

Expressions avec des exposants rationnels

Pour déterminer si une expression impliquant des exposants rationnels est entièrement simplifiée, la solution finale doit satisfaire aux conditions suivantes :

ConditionExemple

Aucun exposant négatif n'est présent

Au lieu d'écrire 3-2, nous devrions simplifier cette expression comme suit 132 par la règle des exposants négatifs

Le dénominateur n'est pas sous la forme d'un exposant fractionnaire.

Étant donné que 3412nous devrions l'exprimer sous la forme 34 par la définition des exposants rationnels

Il ne s'agit pas d'une fraction complexe

Plutôt que d'écrire 532, nous pouvons simplifier ceci comme 523puisque 532=5÷32=5×23

L'indice de tout radical restant est le plus petit nombre possible

Disons que nous obtenons un résultat final de 32. Nous pouvons encore réduire ce résultat en notant que 32=16×2=162=42

Propriétés des exposants rationnels - Principaux enseignements

  • Une expression radicale est une fonction qui contient une racine carrée.
  • Les exposants rationnels sont des exposants qui peuvent être exprimés sous la forme suivante . pq, où q ≠ 0.
  • Formes des exposants rationnels
    FormeReprésentation
    a1nSi a est un nombre réel etn2a1n=an
    amnPour tout entier positif m et namn=anm ou amn=amn
  • Propriétés des exposants
    PropriétéDérivation
    Règle du produitam·an=am+n
    Règle de la puissance(am)n=am·n
    Règle du produit à la puissanceabm=ambm
    Règle du quotientaman=am-n
    Règle de l'exposant zéroa0=1
    Règle du quotient à la puissanceabm=ambm
    Règle de l'exposant négatifa-n=1an
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Exposants rationnels
Questions fréquemment posées en Exposants rationnels
Qu'est-ce qu'un exposant rationnel ?
Un exposant rationnel est un exposant qui est un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre qui peut être exprimé sous forme de fraction a/b, où a et b sont des entiers.
Comment simplifier une expression avec des exposants rationnels ?
Pour simplifier une expression avec des exposants rationnels, utilisez les propriétés des exposants telles que la multiplication et la division des puissances, ainsi que l'application des racines.
Quelle est la règle de base pour additionner des exposants rationnels ?
Pour additionner des exposants rationnels, les bases doivent être identiques. La règle est : a^(m/n) * a^(p/q) = a^[(mq+np)/nq].
Comment comprendre un exposant négatif rationnel ?
Un exposant négatif rationnel inverse la base. Par exemple, a^(-m/n) = 1/a^(m/n). Transformez le négatif en inverse pour simplifier.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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