Une expansion binomiale est une méthode utilisée pour nous permettre de développer et de simplifier des expressions algébriques de la forme \( (x+y)^n\) en une somme de termes de la forme \(ax^by^c\). Si \N(n\N) est un nombre entier, \N(b\N) et \N(c\N) seront également des nombres entiers, et \N(b + c = n\N).
Merci de votre intérêt pour les préférences d’apprentissage !
Merci pour ton intérêt pour les différentes méthodes d’apprentissage ! Quelle méthode préfères-tu ? (par exemple, « Audio », « Vidéo », « Texte », « Pas de préférence »)
(optionnel)
Le théorème binomial nous permet de développer une expression de la forme \ ( (x+y)^n\) en une somme. La formule générale d'une expression binomiale est la suivante :
Où \(n\N) et \N(k\N) sont tous deux des nombres entiers. Cette formule est également connue sous le nom de formule binomiale. La notation
\N[ \Nbinom{n}{k}\N]]
peut être appelée "\N(n\N) choisit \N(k\N)" et donne un nombre appelé coefficient binomial qui est le nombre de combinaisons différentes d'ordonner \N(k\N) objets sur un total de \N(n\N) objets. L'équation du coefficient binomial (\N(n\N) choisit \N(k\N) ou \N(^nC_r\N) sur une calculatrice) est donnée par :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k !(n-k)!}\]
Où " ! " signifie factorielle. La factorielle est le produit d'un nombre entier par tous les nombres entiers qui lui sont inférieurs. Par exemple, pour \(5\) choisir \(3\), nous aurions :
Pour comprendre comment faire une expansion binomiale, nous allons prendre un exemple. Disons que nous voulons développer \( (x+y)^4\). Dans ce cas, \N(n = 4\N) et \N(k\N) varieront entre \N(0\N) et \N(4\N). En utilisant la formule de l'expansion binomiale, nous pouvons écrire :
Nous pouvons maintenant utiliser l'équation du coefficient binomial pour trouver tous les termes constants de cette expression. Pour le premier terme, nous avons :
En répétant cette opération pour les cinq coefficients, nous obtenons des coefficients binomiaux de \(1\), \(4\), \(6\), \(4\), \(1\) dans l'ordre. Par conséquent, notre expression pour l'expansion binomiale se simplifie à :
\N[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\N].
Note que \(y\) pourrait également être remplacé par n'importe quel nombre.
Formule d'expansion binomiale
Pour résumer l'explication ci-dessus, la formule d'expansion peut être écrite comme suit :
Où \(\binom{n}{k}\) est le coefficient binomial de chaque terme.
Développement binomial pour les puissances fractionnaires et négatives
Tu rencontreras parfois des expressions algébriques où n n'est pas un entier positif mais un entier négatif ou une fraction. Considérons l'expression \(\sqrt{1-2x}\) qui peut également s'écrire comme suit
\[ (1- 2x)^\dfrac{1}{2} \] où \(x < 0,5\). Dans ce cas, il devient difficile de trouver la formule permettant de trouver les coefficients binomiaux,
parce que nous ne pouvons pas trouver les factorielles pour un nombre négatif ou rationnel. Cependant, si nous examinons un exemple pour un nombre entier positif, nous pouvons trouver une expression plus générale que nous pouvons ensuite appliquer aux nombres négatifs et fractionnaires. Par exemple pour
En utilisant l'expansion de Mac Laurin, nous pouvons dire que l'expression ci-dessus converge vers
\[ \sqrt{1-2x} = 1 - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2}.\]
Questions sur l'expansion binomiale
Nous avons rassemblé quelques questions avec des solutions étape par étape pour t'aider à comprendre comment le théorème binomial et l'expansion binomiale peuvent être appliqués ou faire l'objet d'une question lors d'un examen.
Exercice 1
Développe \((x + 2)^4\) en utilisant le théorème binomial.
Comment tu t'assures que ton contenu est précis et digne de confiance ?
Chez StudySmarter, tu as créé une plateforme d'apprentissage qui sert des millions d'étudiants. Rencontre les personnes qui travaillent dur pour fournir un contenu basé sur des faits et pour veiller à ce qu'il soit vérifié.
Processus de création de contenu :
Lily Hulatt
Spécialiste du contenu numérique
Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.