Il peut arriver que tu souhaites étudier la probabilité que deux événements se produisent simultanément. Est-ce possible ? Si oui, ont-ils des résultats en commun ? C'est à ce moment-là que événements disjoints et chevauchants entrent en jeu. Dans cet article, nous allons explorer leur définition, leur formule et quelques exemples pratiques.
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Équipe enseignants Événements disjoints et superposés
Sauter à un chapitre clé
Tout d'abord, définissons ce qu'est un événement composé.
Un événement composé de deux événements A et B est défini comme l'union de tous les résultats des deux événements A et B, ou l'intersection des résultats communs partagés par A et B.
Si tu veux calculer la probabilité que A ou B se produise, P(A ou B), tu dois déterminer si les deux événements ont des résultats en commun ou non.
Les événementsdisjoints ou mutuellement exclusifs sont des événements qui n'ont aucun résultat en commun et qui ne peuvent donc pas se produire ensemble. Par exemple, obtenir pile ou face en lançant une pièce de monnaie est un événement mutuellement exclusif, car tu ne peux pas obtenir les deux en même temps.
À l'aide d'un diagramme de Venn, les événements disjoints peuvent être représentés comme suit :
Fig. 1 : Diagramme de Venn d'événements disjoints
Lesdiagrammes de Venn t'aident à représenter les événements sous forme de graphiques. Un rectangle est utilisé pour représenter l'espace d'échantillonnage (S), et à l'intérieur du rectangle, tu dessines des formes ovales représentant chaque événement. Tu peux également inclure les fréquences ou les probabilités de chaque événement dans le diagramme.
Dans le cas d'événements disjoints, tu peux utiliser la règle d'addition suivante pour calculer les probabilités combinées :
Cette règle peut être lue comme la probabilité que A ou B se produise est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B.
Dans ce cas, la probabilité que A et B se produisent ensemble est de 0 (zéro).
1. En lançant une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d'obtenir pile ou face ?
A = la pièce tombe sur pile
B = la pièce tombe sur pile
Fig. 2 : Diagramme de Venn d'un événement disjoint - Exemple 1.
2. En lançant un dé, quelle est la probabilité d'obtenir un 3 ou un nombre pair ?
A = obtenir un 3
B = obtenir un nombre pair
Le fait d'obtenir un 3 n'a qu'une seule issue favorable, mais le fait d'obtenir un nombre pair a trois issues favorables, qui sont 2, 4 et 6.
Fig. 3 : Diagramme de Venn d'un événement disjoint - Exemple 2.
Lesévénements qui se chevauchent sont des événements composés ayant une ou plusieurs issues en commun.
Le diagramme de Venn qui représente les événements qui se chevauchent est le suivant :
Fig. 4 : Diagramme de Venn des événements qui se chevauchent.
Dans ce cas, les événements A et B peuvent tous deux se produire, ce qui est représenté par l'intersection des deux ovales.
La probabilité que A ou B se produise est égale à la probabilité de A plus la probabilité de B moins la probabilité que A et B se produisent ensemble :
1. Il y a 15 élèves dans une classe, 6 élèves étudient uniquement le français, 4 étudient uniquement l'espagnol et 5 étudient les deux langues. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard étudie uniquement le français ou l'espagnol ?
A = élèves étudiant le français
B = étudiants étudiant l'espagnol
Le diagramme de Venn ci-dessous indique le nombre d'élèves dans chaque catégorie.
Fig. 5. Diagramme de Venn d'un événement qui se chevauche - Exemple 1.
2. En lançant un dé, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 3 ou un nombre impair ?
A = obtenir un nombre inférieur à 3
B = obtenir un nombre impair
L'événement consistant à obtenir un nombre inférieur à 3 n'a que 2 issues favorables : 1 et 2. L'obtention d'un nombre impair a 3 issues favorables, qui sont 1, 3 et 5. Le résultat 1 est partagé par les deux événements.
Fig. 6 : Diagramme de Venn d'un événement qui se chevauche - Exemple 2.
Un événement composé de deux événements A et B est défini comme l'union de tous les résultats des deux événements A et B, ou l'intersection des résultats communs partagés par A et B.
Pour calculer la probabilité que A ou B se produise, P(A ou B), il faut savoir si les deux événements ont des résultats en commun ou non.
Les événements disjoints ou mutuellement exclusifs sont des événements qui ne peuvent pas se produire ensemble.
La formule de probabilité des événements disjoints est la suivante :
Les événements qui se chevauchent sont des événements composés ayant une ou plusieurs issues en commun.
La formule de probabilité des événements qui se chevauchent est la suivante :
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