Évaluation et tracé de polynômes: 'Quadratique', 'Racines'

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Tout d'abord, rappelons ce que nous entendons par polynômesa>.

Lespolynômes sont des expressions impliquant plusieurs termes qui contiennent une variable élevée à une série d'exposants positifs de nombres entiers. Chaque terme peut également être multiplié par des coefficients.

Lesfonctions polynomiales sont des fonctions qui suivent la forme standard:

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{(n - 1)} x^{(n - 1)} + a_{(n - 2)} x^{(n - 2)} + . . . + a_{1} x + a_{0}$

Comme tu peux le constater, les fonctions polynomiales sous forme standard sont écrites dans l'ordre décroissant, du plus grand exposant au plus petit. Toujours d'après l'équation ci-dessus, tu peux remarquer les caractéristiques suivantes d'un polynôme :

$a_{n} x^{n}$ est le premier terme du polynôme, puisqu'il s'agit du terme ayant l'exposant le plus élevé.
$a_{n}$ est le premier coefficient, car il s'agit du coefficient du premier terme du polynôme.
La puissance ou l'exposant le plus élevé présent dans un polynôme est appelé le degré du polynôme. Dans ce cas, le degré est n.
$a_{0}$ est une constante car ce terme n'est pas accompagné d'une variable.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ est un polynôme de degré 2

$f (x) = 2 x^{- 1} + 5$ n'est pas un polynôme car il a un exposant négatif

Évaluation des polynômes

Il existe deux méthodes que tu peux utiliser pour évaluer les polynômes : la substitution directe et la substitution synthétique.

Substitution directe

Pour évaluer un polynôme à l'aide de la substitution directe, il te suffit de remplacer x par un nombre pour trouver sa solution.

Évalue $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ lorsque $x = 4$ en utilisant la substitution directe

f (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) + 5

$f (4) = 3 \times 16 + 8 + 5$

$f (4) = 48 + 13$

$f (4) = 61$

Substitution synthétique

En utilisant la substitution synthétique, le processus est différent. Évaluons la fonction polynomiale de l'exemple précédent pour expliquer les étapes que tu dois suivre en utilisant cette méthode alternative.

Évaluer $f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ lorsque $x = 4$ en utilisant la substitution synthétique

Les étapes à suivre pour la substitution synthétique sont les suivantes :

Étape 1. Écris les coefficients de chaque terme de la fonction polynomiale dans l'ordre décroissant. À gauche du premier coefficient, écris la valeur de x avec laquelle tu évalues la fonction polynomiale, comme indiqué ci-dessous.

N'oublie pas d'ajouter les termes manquants dont le coefficient est égal à zéro (0).

Étape 2. Fais descendre le coefficient principal sous la ligne horizontale. Multiplie le premier coefficient par la valeur de x. Inscris le résultat de la multiplication juste sous le coefficient suivant. Ensuite, additionne les valeurs de la deuxième colonne en tenant compte de leurs signes. Écris le résultat de l'addition directement sous la ligne horizontale.

Fais tomber le premier coefficient, qui est 3

Multiplie le coefficient de tête par la valeur de x : $3 \times 4 = 12$ , et place le résultat sous le coefficient suivant

Additionne les valeurs de la deuxième colonne : $2 + 12 = 14$

Étape 3. Multiplie le résultat de l'addition par la valeur de x, et place le résultat de la multiplication juste sous le coefficient suivant. Additionne ensuite les valeurs en tenant compte de leurs signes. Répète cette étape pour tous les coefficients. La valeur finale sous la ligne horizontale sera la valeur de $f (x)$ dans ce cas, $f (4)$ .

Multiplie 14 fois la valeur de x : $14 \times 4 = 56$ , et place le résultat sous le coefficient suivant

Additionne les valeurs de la troisième colonne : $5 + 56 = 61$

Nous n'avons pas besoin de répéter cette étape, car il ne reste plus de coefficients.

f (4) = 61

Remarque que c'est le même résultat que nous avons obtenu en utilisant la méthode précédente.

Représentation graphique des polynômes

Lesgraphiques de pol ynômes sont des représentations graphiques des fonctions polynomiales.

Types de graphiques de polynômes

Il existe différents types de graphiques polynomiaux en fonction de leur degré :

Remarque que le degré d'un polynôme correspond au nombre de changements de direction dans son graphique et au nombre de zéros ou d'abscisses.

Degré 1 - Linéaire	Degré 2 - Quadratique

Degré 3 - cubique	Degré 4 - Quartique

Degré 5 - Quintique	Degré 6 -Hexique

Comment résoudre les polynômes à l'aide d'un graphique ?

Comme le comportement des fonctions à exposant supérieur n'est pas aussi prévisible que les droites ou les paraboles, pour obtenir une représentation plus précise de leur courbe, nous devons utiliser certaines caractéristiques clés.

Caractéristiques clés des graphiques de polynômes

1. Trouver les zéros : Les zéros d'une fonction sont les valeurs de x qui rendent la fonction égale à zéro. Ils sont également connus sous le nom d'intersections x.

Pour trouver les zéros d'une fonction, tu dois mettre la fonction égale à zéro et utiliser la méthode requise (factorisation, division des polynômes, complétion du carré ou formule quadratique) pour trouver les solutions pour x. Tu peux te référer à l'article Factorisation des polynômes si tu as besoin d'un rappel à ce sujet.

Après avoir effectué la division polynomiale et la factorisation de la fonction polynomiale $x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12 = 0$ nous obtenons le résultat suivant $(x - 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ .

Sur la base de ce résultat, les zéros ou les x-intercepts sont :

$x = 1$ , $x = - 3$ et $x = - 4$

Si un zéro apparaît deux fois dans la solution (il est répété), alors la courbe de la fonction touchera l'axe des x à cette valeur de x, puis rebondira sur l'axe des x en changeant de direction.

2. Trouve l'ordonnée à l'origine : Remplace x = 0 dans la fonction polynomiale d'origine. Le résultat sera la coordonnée y à l'endroit où la courbe croise l'axe des y.

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

$f (0) = 0^{3} + 6 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12$

$f (0) = - 12$

Le point où la courbe de la fonction croise l'axe des ordonnées est (0, -12).

3. Comportement final : Les courbes des polynômes qui ont un degré de 2 ou plus sont des lignes continues et lisses qui peuvent avoir des points maximum ou minimum où elles changent de direction dans la partie centrale de la courbe, et à chaque extrémité de la courbe, elles ont tendance à aller vers l'infini positif ou négatif.

Comment déterminer le comportement final d'une fonction ?

Test du coefficient directeur : Comme nous l'avons déjà mentionné, le terme principal d'un polynôme est le terme dont l'exposant est le plus élevé. Tu devras regarder si son exposant est pair ou impair et le signe de son coefficient pour t'aider à déterminer le comportement final de la courbe.

Fonction impaire (c'est-à-dire $x^{3}, x^{5}, x^{7}$ )

a) Coefficient directeur positif : Dans ce cas, la fonction pointe vers le bas à gauche et pointe vers le haut à l'extrémité droite de la courbe.

Évaluer et représenter graphiquement les polynômes Comportement final fonction impaire coefficient positif StudySmarter Comportement final - fonction impaire et coefficient positif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coefficient directeur négatif : Dans ce cas, la fonction pointera vers le haut à gauche et vers le bas à l'extrémité droite de la courbe.

Évaluer et représenter graphiquement les polynômes Comportement final fonction impaire coefficient négatif StudySmarter Comportement final - fonction impaire et coefficient négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Fonction paire (c'est-à-dire $x^{2}, x^{4}, x^{6}$ )

a) Coefficient initial positif : Dans ce cas, la fonction pointe vers le haut aux deux extrémités de la courbe.

Évaluer et représenter graphiquement les polynômes Comportement final Fonction paire Coefficient positif StudySmarter Comportement final - fonction paire et coefficient positif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coefficient directeur négatif : Dans ce cas, la fonction pointera vers le bas aux deux extrémités de la courbe.

Évaluer et représenter graphiquement les polynômes Fin Comportement fonction paire coefficient négatif StudySmarter Comportement final - fonction paire et coefficient négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Pour résumer le comportement final du graphique polynomial, nous avons le tableau ci-dessous :

	Fonction impaire				Fonction paire
Signe du coefficient directeur	Positif		Négatif		Positif		Négatif
Comportement final	Gauche	Gauche	Gauche	Gauche	Gauche	Gauche	Gauche	Droite
Comportement final	↓	↑	↑	↓	↑	↑	↓	↓

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

Le premier terme de la fonction polynomiale est $x^{3}$ ce qui signifie qu'il s'agit d'une fonction impaire dont le premier coefficient est positif . Par conséquent, le comportement final de la courbe sera le suivant :

Gauche	droite
↓	↑

4. Esquisse la courbe de la fonction.

Évaluer et représenter graphiquement les polynômes Graphique polynomial croquis exemple StudySmarter Esquisse d'un graphique polynomial exemple, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Autre méthode pour tracer le graphique des polynômes

Voici une autre façon de représenter graphiquement les polynômes dans laquelle tu n'as pas besoin d'avoir le polynôme sous forme factorisée:

Crée un tableau de valeurs en utilisant la substitution directe de quelques valeurs de x.
Reporte les points sur le plan de coordonnées pour déterminer la partie centrale du graphique.
Relie les points par une courbe lisse et continue.
Utilise le test du coefficient directeur pour déterminer le comportement final du graphique.

Évaluation et représentation graphique des polynômes - Principaux points à retenir

Les méthodes que tu peux utiliser pour évaluer les polynômes sont la substitution directe et la substitution synthétique.
Pour évaluer un polynôme à l'aide de la substitution directe, remplace x par un nombre pour trouver sa solution.
Les graphiques de polynômes sont des représentations graphiques des fonctions polynomiales.
Le degré d'un polynôme correspond au nombre de changements de direction dans son graphique et au nombre de zéros ou d'ordonnées à l'origine.
La factorisation d'un polynôme te permet de trouver les zéros ou les x-intercepts, qui sont les valeurs de x où le graphique intercepte l'axe des x.
Tu devras vérifier si l'exposant du premier terme du polynôme est pair ou impair et le signe de son coefficient, pour t'aider à déterminer le comportement final de la courbe.

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Questions fréquemment posées en Évaluation et tracé de polynômes

Qu'est-ce qu'un polynôme en mathématiques ?

Un polynôme est une expression mathématique composée de variables et de coefficients, combinés avec des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication.

Comment évaluer un polynôme ?

Pour évaluer un polynôme, il faut substituer les valeurs des variables dans l'expression et effectuer les opérations arithmétiques.

À quoi sert le tracé de polynômes ?

Le tracé de polynômes permet de visualiser la courbe que le polynôme représente, ce qui aide à comprendre ses racines, maxima, minima et son comportement général.

Qu'est-ce qu'une racine d'un polynôme ?

Une racine d'un polynôme est une valeur pour laquelle le polynôme s'annule, c'est-à-dire que l'expression du polynôme donne zéro.

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