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Leséquations à valeur absolue sont très utiles lorsqu'il s'agit de problèmes impliquant des valeurs qui ne peuvent pas être négatives, comme la distance. Par exemple, imagine que tu vas rendre visite à ton ami Tony qui habite au4e étage d'un immeuble qui en compte 10 au total. Lorsque tu arrives, tu ne peux pas te souvenir de l'étage où habite Tony, alors tu te fraies un chemin, tu l'appelles depuis les escaliers et tu lui demandes à quel étage il se trouve. Il dit qu'il est au4ème étage, et tu réponds que tu es à 2 étages de lui. Cela signifie-t-il que tu es au2ème étage ou au6ème étage ? Cela pourrait être l'un ou l'autre parce que les deux options sont à 2 étages de l'appartement de Tony. Peu importe que tu montes ou que tu descendes, la distance est la même.
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Équipe enseignants Équations et inégalités de valeur absolue
En ce qui concerne les inégalités de valeur absolue, elles sont très pratiques pour calculer les marges d'erreur ou de tolérance, qui peuvent être appliquées, par exemple, aux mesures de poids, de longueur et de température dans un processus de fabrication.
Dans cet article, nous allons définir ce que sont les équations et les inégalités de valeur absolue, ainsi que leurs règles, et nous te montrerons également comment les résoudre à l'aide d'exemples pratiques.
La valeur absolue d'un nombre x est un nombre de même grandeur, mais positif. Les valeurs absolues sont généralement représentées par .
Mais quel est le raisonnement qui se cache derrière cela ? Cela se produit parce que la valeur absolue représente la distance entre zéro et un nombre x sur la droite numérique.
La distance de zéro à 2 est 2, et la distance de zéro à -2 est également 2, donc , et
.
Fig. 1 : Exemple de valeur absolue représenté sur la droite numérique.
C'est pourquoi représente la valeur d'un nombre x sans tenir compte de son signe.
Si tu as une expression à l'intérieur de la valeur absolue, calcule la valeur à l'intérieur, puis trouve la version positive du résultat.
Évalue si
La valeur absolue d'un nombre réel x est notée comme suit :
D'après les expressions ci-dessus, nous pouvons dire que si le nombre à l'intérieur de la valeur absolue est déjà positif, tu le laisses ainsi, mais si le nombre est négatif, alors le résultat sera la version positive de ce nombre (comme si tu multipliais le nombre négatif par -1).
Les propriétés des valeurs absolues sont les suivantes :
La valeur absolue d'un nombre donnera toujours un résultat positif.
La valeur absolue d'un nombre x donnera le même résultat que la valeur absolue de -x.
La valeur absolue du produit de deux valeurs a et b peut être divisée en deux valeurs absolues distinctes.
La valeur absolue de la division de deux valeurs a et b peut être divisée en deux valeurs absolues distinctes.
La valeur absolue de la somme ou de la soustraction de deux valeurs a et b, ne peut pas être div isée en la somme ou la soustraction de deux valeurs absolues distinctes.
Somme:
Soustraction:
Les équations devaleur absolue sont des équations qui comportent des expressions de valeur absolue.
Pour tout nombre réel a et b, où b ≥ 0 :
Comme tu peux le voir dans l'expression ci-dessus, lors de la résolution d'équations, les valeurs absolues impliquent une étape supplémentaire. En gardant à l'esprit que la valeur à l'intérieur d'une valeur absolue peut être positive ou négative, tu dois résoudre l'équation en considérant les deux cas, tu obtiendras donc deux solutions.
Les étapes pour résoudre les équations à valeur absolue sont les suivantes :
Pour l'équation , nous pouvons obtenir 2 solutions possibles comme suit :
1. Solution 1 :
2. Solution 2 :
3. Vérifie les solutions :
a) Vérifie la solution 1
✔
b) Vérifie la solution 2
✔
5. Graphique sur la droite numérique:
Si nous représentons la solution sur la droite numérique, nous pouvons voir qu'elles sont toutes les deux à 4 unités de 5.
Fig. 2 : Solutions d'une équation de valeur absolue sur la droite numérique.
Une équation comme ne sera jamais vraie, car la valeur absolue d'un nombre x sera toujours un nombre positif. Par conséquent, ce type d'équation n'a pas de solution possible. Dans ce cas, on peut dire que l'ensemble solution est l'ensemble vide, qui peut être noté { } ou ∅.
Les inégalitésde valeur absolue sont des inégalités qui font intervenir des expressions de valeur absolue.
Tu peux résoudre les inégalités de valeur absolue en les réécrivant sous forme d'inégalités composées.
Lesinégalités compos ées sont deux inégalités réunies par les mots et ou ou.
Pour tous les nombres réels a et b, où b ≥ 0 :
Les symboles > (supérieur à) et < (inférieur à) excluent la valeur spécifique comme faisant partie de la solution. Les symboles ≥ (supérieur ou égal) et ≤ (inférieur ou égal) incluent la valeur spécifique comme faisant partie de la solution, au lieu de l'exclure.
La solution d'une inégalité peut être représentée sur la droite numérique, en utilisant un cercle vide pour représenter que la valeur de x ne fait pas partie de la solution, et un cercle fermé si la valeur de x fait partie de la solution.
Exemple 1 : Résoudre
Il s'agit du deuxième cas :
Par conséquent, nous pouvons affirmer ce qui suit :
Il faut maintenant trouver les deux solutions :
1. Solution 1:
2. Solution 2 :
3. Ensemble de solutions :
L'ensemble des solutions est
4. Graphique sur la droite numérique :
Fig. 3. Ensemble de solutions d'une inégalité de valeur absolue sur la droite numérique - Exemple 1.
Exemple 2 : Résoudre
Il s'agit du premier cas :
Par conséquent,
Dans ce cas, nous pouvons écrire l'inégalité comme une inégalité composée et les joindre avec le mot et, puis résoudre chacune séparément.
1. Solutions 1 et 2 :
2. Ensemble de solutions:
L'ensemble des solutions est
3. Graphique sur la droite numérique:
Fig. 4. Ensemble de solutions d'une inégalité de valeur absolue sur la droite numérique - Exemple 2.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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