Leséquationsàvaleurabsolue sont très utiles lorsqu'il s'agit de problèmes impliquant des valeurs qui ne peuvent pas être négatives, comme la distance. Par exemple, imagine que tu vas rendre visite à ton ami Tony qui habite au4e étage d'un immeuble qui en compte 10 au total. Lorsque tu arrives, tu ne peux pas te souvenir de l'étage où habite Tony, alors tu te fraies un chemin, tu l'appelles depuis les escaliers et tu lui demandes à quel étage il se trouve. Il dit qu'il est au4ème étage, et tu réponds que tu es à 2 étages de lui. Cela signifie-t-il que tu es au2ème étage ou au6ème étage ? Cela pourrait être l'un ou l'autre parce que les deux options sont à 2 étages de l'appartement de Tony. Peu importe que tu montes ou que tu descendes, la distance est la même.
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En ce qui concerne les inégalités de valeur absolue, elles sont très pratiques pour calculer les marges d'erreur ou de tolérance, qui peuvent être appliquées, par exemple, aux mesures de poids, de longueur et de température dans un processus de fabrication.
Dans cet article, nous allons définir ce que sont les équations et les inégalités de valeur absolue, ainsi que leurs règles, et nous te montrerons également comment les résoudre à l'aide d'exemples pratiques.
La valeur absolue d'un nombrex est un nombre de même grandeur, mais positif. Les valeurs absolues sont généralement représentées par .
Mais quel est le raisonnement qui se cache derrière cela ? Cela se produit parce que la valeur absolue représente la distance entre zéro et un nombre x sur la droite numérique.
La distance de zéro à 2 est 2, et la distance de zéro à -2 est également 2, donc , et.
Fig. 1 : Exemple de valeur absolue représenté sur la droite numérique.
C'est pourquoi représente la valeur d'un nombre x sans tenir compte de son signe.
Si tu as une expression à l'intérieur de la valeur absolue, calcule la valeur à l'intérieur, puis trouve la version positive du résultat.
Évalue si
Notation de la valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre réel x est notée comme suit :
D'après les expressions ci-dessus, nous pouvons dire que si le nombre à l'intérieur de la valeur absolue est déjà positif, tu le laisses ainsi, mais si le nombre est négatif, alors le résultat sera la version positive de ce nombre (comme si tu multipliais le nombre négatif par -1).
Propriétés des valeurs absolues
Les propriétés des valeurs absolues sont les suivantes :
La valeur absolue d'un nombre donnera toujours un résultat positif.
La valeur absolue d'un nombre x donnera le même résultat que la valeur absolue de -x.
La valeur absoluedu produit de deux valeurs a et b peut être divisée en deux valeurs absolues distinctes.
La valeur absoluede la division de deux valeurs a et b peut être divisée en deux valeurs absolues distinctes.
La valeur absoluede la somme ou de la soustraction de deux valeurs a et b, ne peut pas être div isée en la somme ou la soustraction de deux valeurs absolues distinctes.
Somme:
Soustraction:
Résoudre des équations à valeur absolue
Les équations devaleur absolue sont des équations qui comportent des expressions de valeur absolue.
Pour tout nombre réel a et b, où b ≥ 0 :
Comme tu peux le voir dans l'expression ci-dessus, lors de la résolution d'équations, les valeurs absolues impliquent une étape supplémentaire. En gardant à l'esprit que la valeur à l'intérieur d'une valeur absolue peut être positive ou négative, tu dois résoudre l'équation en considérant les deux cas, tu obtiendras donc deux solutions.
Les étapes pour résoudre les équations à valeur absolue sont les suivantes :
Trouve la solution dans le cas où a est positif.
Trouve la solution pour le cas où a est négatif
Vérifie chaque solution en substituant leurs valeurs dans l'équation originale, pour voir si elle reste vraie.
Définis l'ensemble des solutions.
Reporte les solutions sur la droite numérique, si nécessaire.
Pour l'équation , nous pouvons obtenir 2 solutions possibles comme suit :
1. Solution 1 :
2. Solution 2 :
3. Vérifie les solutions :
a) Vérifie la solution 1
✔
b) Vérifie la solution 2
✔
4. Ensemble de solutions : Les deux solutions ont été prouvées pour que l'équation originale soit vraie. Par conséquent, nous pouvons dire que l'ensemble des solutions est le suivant.
5. Graphique sur la droite numérique:
Si nous représentons la solution sur la droite numérique, nous pouvons voir qu'elles sont toutes les deux à 4 unités de 5.
Fig. 2 : Solutions d'une équation de valeur absolue sur la droite numérique.
Une équation comme ne sera jamais vraie, car la valeur absolue d'un nombre x sera toujours un nombre positif. Par conséquent, ce type d'équation n'a pas de solution possible. Dans ce cas, on peut dire que l'ensemble solution est l'ensemble vide, qui peut être noté { } ou ∅.
Résoudre les inégalités de valeur absolue
Les inégalitésde valeur absolue sont des inégalités qui font intervenir des expressions de valeur absolue.
Tu peux résoudre les inégalités de valeur absolue en les réécrivant sous forme d'inégalités composées.
Lesinégalités compos ées sont deux inégalités réunies par les mots et ou ou.
Pour tous les nombres réels a et b, où b ≥ 0 :
Les symboles > (supérieur à) et < (inférieur à) excluent la valeur spécifique comme faisant partie de la solution. Les symboles ≥ (supérieur ou égal) et ≤ (inférieur ou égal) incluent la valeur spécifique comme faisant partie de la solution, au lieu de l'exclure.
La solution d'une inégalité peut être représentée sur la droite numérique, en utilisant un cercle vide pour représenter que la valeur de x ne fait pas partie de la solution, et un cercle fermé si la valeur de x fait partie de la solution.
Exemple 1 : Résoudre
Il s'agit du deuxième cas :
Par conséquent, nous pouvons affirmer ce qui suit :
Il faut maintenant trouver les deux solutions :
1. Solution 1:
2. Solution 2 :
3. Ensemble de solutions :
L'ensemble des solutions est
4. Graphique sur la droite numérique :
Fig. 3. Ensemble de solutions d'une inégalité de valeur absolue sur la droite numérique - Exemple 1.
Exemple 2 : Résoudre
Il s'agit du premier cas :
Par conséquent,
Dans ce cas, nous pouvons écrire l'inégalité comme une inégalité composée et les joindre avec le mot et, puis résoudre chacune séparément.
1. Solutions 1 et 2 :
2. Ensemble de solutions:
L'ensemble des solutions est
3. Graphique sur la droite numérique:
Fig. 4. Ensemble de solutions d'une inégalité de valeur absolue sur la droite numérique - Exemple 2.
Équations et inéquations de valeur absolue - Points clés à retenir
La valeur absolue d'un nombre x sera un nombre de même grandeur, mais positif.
La valeur absolue d'un nombre x représente la distance entre zéro et ce nombre x sur la droite numérique.
Les équations à valeur absolue sont des équations qui contiennent des expressions de valeur absolue.
Lors de la résolution d'équations, les valeurs absolues impliquent une étape supplémentaire. En gardant à l'esprit que la valeur à l'intérieur d'une valeur absolue peut être positive ou négative, résous l'équation en tenant compte des deux cas.
Tu peux résoudre les inéquations à valeur absolue en les réécrivant sous forme d'inéquations composées.
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Questions fréquemment posées en Équations et inégalités de valeur absolue
Qu'est-ce qu'une équation de valeur absolue ?
Une équation de valeur absolue est une équation où la variable est à l'intérieur d'un symbole de valeur absolue, par exemple |x| = a.
Comment résoudre une équation de valeur absolue ?
Pour résoudre une équation de valeur absolue, décomposez-la en deux équations linéaires : |x| = a devient x = a et x = -a.
Qu'est-ce qu'une inégalité de valeur absolue ?
Une inégalité de valeur absolue implique une variable à l'intérieur d'un signe de valeur absolue et peut être de type |x| < a ou |x| > a.
Comment résoudre une inégalité de valeur absolue ?
Résoudre une inégalité de valeur absolue dépend de son type : pour |x| < a, trouvez -a < x < a ; pour |x| > a, trouvez x < -a ou x > a.
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Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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