Équations et identités: Mathématiques, Algèbre

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Expressions, équations, identités et formules

Cette section comprendra un grand nombre de définitions et d'exemples. Cependant, il est important que tu comprennes chacun des termes clés, car il se peut que l'on te donne un exemple particulier dans ton examen GCSE et que l'on te demande de déterminer s'il s'agit d'une expression, d'une équation, d'une identité ou d'une formule. Nous y voilà...

Définition des expressions

Une expression est un ensemble de termes mathématiques, reliés par des opérations mathématiques. Un terme mathématique est un seul chiffre ou une seule lettre, par exemple x ou 3. Nous pourrions aussi avoir ^3x2, où 3 est connu comme le coefficient de x.

Voici des exemples d'expressions mathématiques :

$5 x + 1$
$3 x^{2} - 9 x + 1$
$7 x + 2 y + z$
$a x^{2} + 1$
$6 x^{8} + 7 y^{5} + 2 z^{3} - 1$
$7 k$

Définition des équations

Une fois que nous avons bien compris ce que sont les expressions mathématiques, nous pouvons commencer à établir des liens entre elles, afin de les comparer.

Si nous décomposons le mot équation, nous obtenons "équa-tion". Le mot "equa" ressemble beaucoup au mot "égal", ce qui n'est pas une coïncidence : une équation est une déclaration selon laquelle deux expressions mathématiques doivent être identiques.

Une équation est une déclaration selon laquelle deux expressions mathématiques doivent être identiques.

Une équation est exprimée par un signe égal $=$ entre deux expressions mathématiques. Le mot fantaisiste pour le signe égal est le symbole d'égalité.

En quelques mots, tout ce qui comporte un signe égal est une équation. Ça a l'air simple, non ? Voici quelques exemples d'équations :

$x = 2$
$a + b = c$
$x^{2} + y = 2$
$y - 2 = 5 y + 1$
$a^{2} - 5 a - 2 = 0$
$e^{πi} + 1 = 0$

Solution d'une équation

Il est important de noter ici que deux expressions ne peuvent être égales que dans des conditions spécifiques. Par exemple, si on nous dit $x - 2 = 0$ nous savons qu'il s'agit d'une équation parce qu'il y a un symbole d'égalité. Cependant, en utilisant les règles de base de l'addition, nous savons que l'équation ne peut être vraie que si $x = 2$ . C'est ce qu'on appelle la solution de l'équation.

La solution d'une équation est l'ensemble de toutes les valeurs qui, lorsqu'elles remplacent les variables de l'équation, rendent l'équation vraie.

Définition des identités

Certaines expressions sont toujours égales entre elles, quelles que soient les valeurs des variables qu'elles contiennent. Dans ce cas, on parle d'identité mathématique :

On parle d'identité mathématique lorsque deux expressions mathématiques sont toujours identiques. Une identité est exprimée à l'aide du symbole d'identité $\equiv$ qui ressemble un peu à un signe égal avec une ligne supplémentaire.

$2 x + 4 x \equiv 6 x$
$2 a^{2} + 3 a^{2} \equiv 5 a^{2}$
$11 x - 3 x \equiv 8 x$
$2 y + 3 y \equiv 5 y$
$9 p + p \equiv 10 p$

Différences entre les identités et les équations

Souvent, l'une des plus grandes difficultés consiste à déterminer si quelque chose est une équation ou une identité. Dans cette section, nous verrons comment établir si quelque chose est une équation ou une identité et nous noterons la différence clé entre les deux.

Comme établi, une équation montre que deux expressions sont égales. Cependant, elles peuvent n'être égales que pour une valeur spécifique. Par exemple, si nous avons $2 x + 1 = 5$ cette équation n'est vraie que si $x = 2$ . Les identités, en revanche, montrent que deux expressions sont toujours identiques. Par exemple, on peut dire que $6 x^{2} + 2 x^{2} \equiv 8 x^{2}$ puisque, quelle que soit la valeur de $x$ les deux expressions sont toujours identiques.

Si nous avons affirmé l'identité $a x^{2} + b x \equiv 2 x^{2} + 3 x$ nous savons que le côté gauche est égal au côté droit pour toutes les valeurs de $x$ car nous avons un symbole d'identité. Cependant, cela n'est possible que si $a = 2$ et $b = 3$ . Dans ce cas, nous aurions $2 x^{2} + 3 x \equiv 2 x^{2} + 3 x$ ce qui, nous le savons, est vrai pour toutes les valeurs de $x$ .

Nous pourrions dire que puisque les identités montrent l'égalité entre les expressions, toutes les identités sont des équations. Cependant, toutes les équations ne sont pas des identités, il est donc important que tu sois conscient de la différence clé entre les deux.

Voici à nouveau le point principal : Les équations montrent l'égalité sous au moins une condition, les identités montrent l'égalité sous toutes les conditions.

Définition des formules

Nous avons une quatrième chose à considérer, et c'est une formule. Pendant que nous y sommes, il est bon de mentionner que le pluriel de formule est formulae. Maintenant, voici d'autres définitions et exemples...

Une formule est un type spécial d'équation représentant un fait général ou une règle avec laquelle on peut travailler.

Une formule mathématique est un type d'équation car toutes les formules ont un signe égal. Cependant, il s'agit d'équations qui ont un but spécifique. Elles nous donnent un moyen de calculer quelque chose. Par exemple, si nous voulons convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, nous pouvons utiliser une formule. De nombreuses formules sont particulièrement utiles pour les mathématiques du GCSE, notamment la formule quadratique, les formules trigonométriques, ainsi que la formule de la vitesse, de la distance et du temps. Dans l'exemple ci-dessous, nous allons examiner quelques formules spécifiques.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Il s'agit sans doute de l'une des formules les plus emblématiques des mathématiques du GCSE - la formule quadratique. Cet article ne traite pas spécifiquement de la formule quadratique, nous n'en parlerons donc pas trop en profondeur. Cependant, il s'agit juste d'un rappel amical que tu devrais probablement l'apprendre.

$m a s s = v o l u m e \times d e n s i t y$

Encore une fois, cet article ne traite pas spécifiquement du volume, de la masse et de la densité, nous n'avons donc pas besoin d'en parler trop en profondeur. Cependant, tu dois apprendre cette formule à un moment ou à un autre! Elle signifie que si tu as la densité d' un objet et le volume, tu peux calculer la masse. C'est très pratique.

$s p e e d = \frac{d i s \tan c e}{t i m e}$

Voici un autre classique. Vitesse, distance et temps. Tu dois connaître cette formule, non seulement pour les mathématiques du GCSE, mais aussi pour la physique. Mais une fois que tu la connais, tu peux calculer la vitesse de n'importe quel objet en mouvement en fonction de la distance et du temps.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

C'est le théorème de Pythagore. Cependant, par définition, il s'agit aussi d'une formule, car elle nous permet de calculer une quantité inconnue qui, dans ce cas, est le côté manquant d'un triangle rectangle. Tu dois connaître cette formule pour tes examens GCSE.

$v = u + a t$

Il s'agit d'une formule qui relie la vitesse finale d' un objet en mouvement à la vitesse initiale, au temps et à l'accélération. C'est l'une des formules du SUVAT que tu rencontreras peut-être si tu étudies les mathématiques au niveau A. Tu n'as pas besoin de connaître spécifiquement cette formule, tu dois juste être capable de savoir qu'il s'agit d'une formule, car elle nous permet de calculer quelque chose de spécifique (par exemple, la vitesse initiale, la vitesse finale, l'accélération ou le temps).

$E = m c^{2}$

Tu as peut-être déjà vu cette formule. C'est l'une des formules les plus célèbres d'Einstein, qui relie la masse à l'énergie et à la vitesse de la lumière. Elle est assez célèbre, mais tu n'as pas besoin de connaître cette formule pour les mathématiques du GCSE. Tu dois simplement savoir qu'il s'agit d'une formule, car elle nous permet de calculer quelque chose.

Les exemples ci-dessus ne sont que quelques formules que tu peux ou non avoir besoin de connaître pour tes examens de mathématiques GCSE. Il en existe d'autres, mais cet article n'a pas pour but de les passer toutes en revue. Il s'agit plutôt d'être capable de voir une formule, et par la suite d'être capable d'affirmer qu'il s'agit d'une formule, par opposition à une équation, une identité ou une expression.

Nous aborderons ci-dessous quelques exemples pertinents pour ce sujet. Tu devras connaître les différences entre une expression, une identité, une équation et une formule, alors récapitulons rapidement les différences entre ces quatre éléments.

Une expression est un ensemble de termes mathématiques.
Une équation est tout ce qui comporte un signe égal, d'où "équa" "tion".
Il y a identité lorsque deux expressions mathématiques sont identiques, ce qui est indiqué par un symbole d'identité, $\equiv$ .
Une formule est un type d'équation où l'on calcule quelque chose de spécifique, par exemple la masse d'un objet.

Exemples d'identités et d'équations

Maintenant que nous avons défini en détail certains termes mathématiques, nous allons passer en revue quelques questions que tu pourrais rencontrer lors de ton examen GCSE.

Identifie ce qui suit comme une identité, une équation, une expression ou une formule :

$A = {πr}^{2}$
$9 x + 8$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$
$4 x + x = 5 x$

Solution :

1. est la formule de l'aire d'un cercle. Elle permet de calculer l'aire à partir du rayon. La première est donc une formule.

2. ne comporte pas de signe d'égalité et est simplement un ensemble de termes mathématiques reliés par un symbole d'addition. Il s'agit donc d'une expression.

3. a un signe d'égalité, il s'agit donc d'une équation. Cela n'est vrai que pour certaines valeurs de $x$ , ( $x = - 3, x = - 1$ ), ce n'est donc pas une identité.

4. a un signe égal et est donc une équation. Cependant, cette équation est vraie pour toutes les valeurs de $x$ Il s'agit donc d'une identité et elle peut être exprimée à l'aide du symbole d'identité $\equiv$ .

Pour l'identité ci-dessous, calcule les valeurs de $a$ et $b$ :

$a x^{2} + b x^{2} + a x \equiv 5 x^{2} + 3 x$

Solution :

Nous savons qu'il s'agit d'une identité, et donc que le côté gauche doit être égal au côté droit. Le coefficient de $x$ dans le côté droit est $3$ et donc le coefficient du côté gauche doit aussi être $3$ . Ainsi , $a = 3$ .

Dans le côté gauche, nous pourrions regrouper les coefficients de $x^{2}$ comme suit :

$(a + b) x^{2} + 3 x \equiv 5 x^{2} + 3 x$ . On peut donc dire que $a + b = 5$ puisque le coefficient de $x^{2}$ des deux côtés doit être le même. Puisque nous savons déjà que $a = 3$ nous pouvons dire que $3 + b = 5$ et donc $b = 2$ . Ainsi, $a = 3$ et $b = 2$ .

Équations et identités - Points clés à retenir

Une expression est un ensemble de termes mathématiques, reliés par des opérations mathématiques.
Une équation est une relation mathématique exprimée par un signe égal.
Il y a identité lorsque deux expressions mathématiques sont toujours identiques.
Une formule est une équation qui nous permet de calculer quelque chose de précis.
Les identités sont exprimées à l'aide du symbole $\equiv$ qui ressemble à un signe égal avec un trait supplémentaire.
La différence entre une équation et une identité est que les équations indiquent l'égalité sous une condition spécifique, alors que les identités montrent que deux expressions sont toujours égales.

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Questions fréquemment posées en Équations et identités

Qu'est-ce qu'une équation en mathématiques?

Une équation est une assertion mathématique où deux expressions sont égales, souvent avec une inconnue à résoudre.

Quelle est la différence entre une équation et une identité?

Une équation est vraie pour certaines valeurs des variables, une identité est toujours vraie pour toutes les valeurs des variables.

Comment résout-on une équation du premier degré?

Pour résoudre une équation du premier degré, il faut isoler l'inconnue en utilisant des opérations inverses.

Pourquoi est-il important de comprendre les équations et identités?

Comprendre les équations et identités aide à résoudre des problèmes mathématiques et à modéliser des situations réelles.

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