Équation d'un cercle de centre et de rayon (forme standard)
En empruntant la définition d'un cercle, rappelle que
Un cercle est l'ensemble de tous les points qui sont équidistants d'un point fixe donné.
En traduisant la définition en une équation, on obtient
\[OP^2=(x-h)^2+(y-k)^2\]
où \((x,y)\) représente tous les points du cercle et, par conséquent, il varie. est le point fixe à partir duquel la distance est mesurée. Les coordonnées du point fixe mentionné plus haut sont celles du centre du cercle à partir duquel la distance à tous les points est mesurée. Les coordonnées sont les variables ici puisqu'elles décrivent la position de chaque point du cercle par rapport à l'origine.
Fig. 1. Un cercle de rayon r et de centre (h, k), StudySmarter Originals
En utilisant la formule de la distance entre deux points, nous pouvons calculer la distance entre et comme suit :
\[OP=\sqrt{(x-h)^2+(y-h)^2}\]
Nous pouvons donc introduire le terme "rayon" comme étant la distance entre \((x,y)\) et le centre du cercle et le désigner par \(r=OP\). Maintenant, avec le nouveau symbole \(r\) pour le rayon du cercle, en élevant au carré les deux côtés de l'équation ci-dessus, la racine carrée est éliminée :
\[r^2=(x-h)^2+(y-k)^2\]
Qui n'est autre que l'équation avec laquelle nous avons commencé, en utilisant la définition d'un cercle. L'équation obtenue est l' équation standard d'un cercle de centre et de rayon. La forme ci-dessus est particulièrement utile lorsque les coordonnées du centre sont données d'emblée.
Donne l'équation du cercle dont le rayon est \N((-1, -2)\N) et le rayon est \N(5\N).
Solution
Rappelle la forme générale :
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Où \N((h, k)\Nest le centre et \N(r\N) est le rayon. En remplaçant \N((h,k)\N) par \N((-1,-2)\N) et \N(r=5\N), nous obtenons :
\[(x+1)^2+(y+2)^2=25\]
Par conséquent, l'équation du cercle de rayon \N(5\N) et de centre \N((-1,-2)\N) est donnée par \N((x+1)^2+(y+2)^2=25\N).
Équation d'un cercle sous forme générale
Supposons que l'on nous donne une équation dont tous les termes sont développés et que l'on ne puisse pas déduire directement \(h\), \(k\). Dans ce cas, nous nous appuyons sur l'équation du cercle obtenue et nous en déduisons une autre forme, plus générale que la précédente.
En développant l'équation précédente, elle se réduit à :
\[x^2-2xh-h^2+y^2-2yk+k^2=r^2\]
qui peut être réarrangée comme une quadratique standard avec les termes au carré d'abord, suivis des termes linéaires et enfin de la constante :
\[x^2+y^2-2xh-2xk+h^2+k^2=r^2\]
Pour différencier et éviter le conflit de constantes entre cette équation et la première, nous introduisons un ensemble de nouvelles constantes : \(h=-a\), \(k=-b\) et \(c=h^2+k^2-r^2\) pour simplifier le terme constant.
Après avoir fait ces substitutions, nous obtenons l'équation suivante d'un cercle sous forme générale:
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Le rayon du cercle est maintenant donné par :
\N-[r^2=a^2+b^2-c\N]\N-[r^2=a^2+b^2-c].
\[r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
Note que la condition \(a^2+b^2>c\) doit être remplie, sinon le rayon ne sera pas un nombre réel positif et le cercle n'existera pas.
On peut faire de petites vérifications après avoir résolu un exemple, juste pour s'assurer que la réponse a un sens, comme par exemple :
Les coefficients de \(x^2\) et \(y^2\) doivent toujours être égaux, si ce n'est pas le cas, l'équation ne décrit pas un cercle.
L'inégalité \(a^2+b^2>c\) est satisfaite (sinon, le rayon est un nombre complexe, ce qui n'est pas le cas).
Il suffit qu'une des conditions ne soit pas remplie pour que la réponse à portée de main ne représente pas un cercle.
On peut aussi se demander comment on peut construire l'équation d'un cercle si on nous donne deux points sur ce cercle. La réponse est que c'est impossible. Il existe un nombre infini de cercles passant par deux points donnés. En fait, pour avoir un cercle unique, il faut connaître au moins trois points de ce cercle pour en trouver l'équation.
Equation d'un cercle centré à l'origine
La forme la plus courante d'un cercle sera un cercle centré à l'origine. Dans la plupart des cas, un cercle est donné et nous pouvons placer notre plan cartésien autour de lui de telle sorte qu'il est plus facile d'étudier ses propriétés. L'endroit le plus pratique pour placer notre cercle sur un plan cartésien est de le centrer sur l'origine (puisque le centre est \N((0,0)\N) et que les calculs sont beaucoup plus simples).
Fig. 2.- Un cercle centré sur l'origine, StudySmarter Originals
Rappelle que la forme générale d'un cercle est donnée par :
\[(x-h)^2+(y-h)^2=r^2\]
Où \N((h, k)\N) représente le centre qui peut maintenant être remplacé par \N((0,0)\N) :
\N- [x^2+y^2=r^2\N]
Quelle est l'équation d'un cercle centré sur l'origine.
Équation d'un cercle étant donné son centre et un point sur le cercle
Supposons qu'on ne nous donne pas le rayon et le centre d'un cercle, mais un point sur le cercle ((x_1,y_1)\) et le centre ((h,k)\). Mais la formule que nous avons pour l'équation du cercle s'applique lorsque le rayon est connu, c'est pourquoi nous devons trouver le rayon à partir des données fournies.
Pour revenir à la définition d'un cercle, rappelle-toi que le rayon est la distance entre le centre et n'importe quel point du cercle, ici c'est la distance entre \N((h,k)\N) et \N((x_1,y_1)\N) :
\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Et puisque nous connaissons la forme générale comme :
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Nous pouvons substituer
\[r^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Ce qui nous donne :
\[(x-h)^2+(y-k)^2=(x_1-h)^2+(y_1-k)^2\]
Quelle est l'équation d'un cercle dont le centre est \N((h,k)\N) et \N((x_1,y_1)\N) se trouve sur le cercle.
Exemples
Étant donné que le rayon du cercle \(x^2+y^2+2x+2y+k=0\) est \(5\), trouve la valeur de la constante réelle \(k\).
Solution :
En comparant l'équation du cercle à la forme générale ci-dessous :
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Nous pouvons obtenir la valeur de \(a\N), \N(b\N) et \N(c\N) :
\N- [2a=2,\Nquad 2b=2\N]
\N- [a=1,\Nquad b=1\N]
\N-[c=k\N]
et le rayon est donné par \(r=\sqrt{a^2+b^2-c}\). Et en substituant les valeurs de \(a\N), \N(b\N) et \N(c\N), nous obtenons\[5=\sqrt{1^2+1^2-k}\]
\[k=-23\]
Par conséquent, la valeur de \(k\) est \(-23\).
Trouve le centre et le rayon du cercle \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) en utilisant les deux méthodes : compléter le carré et la forme générale.
Solution :
Étape 0 : Vérifie si l'équation donnée est un cercle valide ou non. Nous voyons que les coefficients des termes au carré sont égaux, il s'agit donc d'un cercle.
Méthode 1 : Utiliser la méthode du carré complet
En réarrangeant les termes \(x\) ensemble et les termes y ensemble, nous obtenons
\[x^2-2x+y^2-2y-2=0\]
En complétant le carré pour \(x\) et \(y\), en ajoutant et en soustrayant \(1\), nous obtenons
\[x^2-2x+1+y^2-2y+1-4=0\]
\[(x-1)^2+(y-1)^2=2^2\]
En le comparant à la forme \N(h), \N(k), on peut voir que le centre est \N((1, 1)\N) et le rayon est \N(2).
Méthode 2 : Utilisation de la forme générale
En comparant l'équation donnée avec la forme générale
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Nous obtenons \N(a=b=-1\N) et \N(c=-2\N) où le centre a pour coordonnées \N((-a,-b)\N qui se convertit en \N((1,1)\N) et le rayon est
\[r=\sqrt{a^2+b^2-c}\]
\[r=\sqrt{1+1+2}=2\]
Le rayon est donc \N(2\N) et le centre est \N((1,1)\N).
Comme prévu, la réponse est la même avec les deux méthodes.
Un point par rapport à un cercle
Supposons que les coordonnées d'un point aléatoire nous soient données ainsi que l'équation d'un cercle. Nous voulons déterminer la position du point par rapport au cercle. Et il y a trois possibilités :
le point est à l'intérieur du cercle ;
à l'extérieur du cercle ;
ou sur le cercle.
Il n'y a pas d'autre scénario possible.
Pour déterminer où se situe le point par rapport au cercle, il faut regarder l'équation du cercle :
\[x^2+y^2+2ax+2by+c=0\]
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c>0\), alors le point \((x, y)\) se trouve à l'extérieur du cercle ;
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c<0\), alors le point \((x, y)\) se trouve à l'intérieur du cercle ;
Si \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\), alors le point \((x, y)\) se trouve sur le cercle (parce qu'il satisfait l'équation du cercle).
Pour comprendre pourquoi c'est le cas, rappelle-toi la première forme standard du cercle,
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\]
Si la distance du point par rapport au centre est supérieure au rayon, alors il se trouve à l'extérieur du cercle. De même, si la distance est inférieure au rayon du cercle, alors le point se trouve dans le cercle.
Pour le cercle donné par l'équation \N(x^2+y^2-4x+2y-1=0\N), détermine si les points \N(A(1,0)\Net \N(B(2,-1)\Nsont à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle.
Solution :
Pour le point \N(A), nous évaluons la fonction à \N((1, 0)\N) :
\[1+0-4+0-1=-4\]
\[-4<0\]
Par conséquent, \(x^2+y^2-4x+2y-1<0\) à \(A\), ce qui implique que le point \(A\) se trouve à l'intérieur du cercle donné.
Pour le point \N(B\N), nous suivons la même procédure :
\[2^2+(-1)^2-4(2)-2-1=-6\]
\[-6<0\]
Ainsi, \(x^2+y^2-4x+2y-1<0\) pour \(B\) et donc le point \(B\) se trouve également à l'intérieur du cercle donné.
Trouve la position du point \((1,2)\) par rapport au cercle \(x^2+y^2+x-y+3=0\), c'est-à-dire détermine s'il est à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle.
Solution :
Nous voulons évaluer la fonction à \N((1, 2)\N),
\[1^2+2^2+1-2+3=7\]
\[7>0\]
Par conséquent, \N(x^2+y^2+x-y+3>0\N) à \N((1,2)\N), ce qui implique que le point se trouve à l'extérieur du cercle.
Équation d'un cercle - Principaux enseignements
- L'équation d'un cercle dont le centre (h,k) et le rayon (r) sont donnés ( ) est donnée par (x-h)^2+(y-k)^2=r^2).
- La forme générale (ou forme standard) d'un cercle est donnée par \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) où le centre du cercle est donné par \((-a,-b)\) et le rayon est donné par \(r=\sqrt{a^2+b^2-c}\).
- Pour le cercle \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\), un point se trouve à l'extérieur du cercle si \(x^2+y^2+2ax+2by+c>0\) en ce point, à l'intérieur du cercle si \(x^2+y^2+2ax+2by+c<0\) et sur le cercle si \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\).
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