Perpendiculaires : lignes qui se rencontrent à un angle droit (90°).
Bissectrice : partition d'une ligne en deux parties égales.
Par conséquent, on parle de bissectrice perpendiculaire lorsqu'une ligne est divisée à un angle droit par une autre ligne en deux parties égales, comme on le voit ci-dessous :
Fig. 1 - Une bissectrice perpendiculaire.
Trouver l'équation de la bissectrice perpendiculaire
Une bissectrice perpendiculaire s'exprime sous la forme d'une équation linéaire. Pour créer une équation pour la bissectrice perpendiculaire d'une ligne, tu dois d'abord trouver le gradient de la pente de la bissectrice perpendiculaire et ensuite substituer les coordonnées connues dans une formule : soit, \(y = m \cdot x + c\) ou \(y - y_1 = m (x - x_1)\). Si la coordonnée de la bissection n'est pas connue, tu devras trouver le point médian du segment de droite.
Trouve le gradient de la pente de la bissectrice perpendiculaire.
La première étape de la création d'une équation pour la bissectrice perpendiculaire consiste à trouver le gradient de sa pente. Comme les pentes de la ligne d'origine et de la bissectrice sont perpendiculaires, nous pouvons utiliser le gradient de la ligne d'origine pour calculer le gradient de la bissectrice perpendiculaire.
La pente de la bissectrice perpendiculaire est l'inverse de la pente de la ligne d'origine. La pente de la bissectrice perpendiculaire peut être exprimée par -1 / m, où m est la pente de la ligne d'origine.
La droite a a pour équation \(y = 3x + 6\), est coupée perpendiculairement par la droite l. Quel est le gradient de la droite a ?
Identifie le gradient original : Dans l'équation y = mx + c, m est le gradient. Par conséquent, le gradient de la ligne d'origine est 3.
Trouve le gradient de la pente de la bissectrice perpendiculaire : Substitue le gradient original, 3, dans la formule \(-\frac{1}{m}\) pour trouver la réciproque inverse parce qu'elle est perpendiculaire. Par conséquent, le gradient de la ligne est \(-\frac{1}{3}\).
Si l'on ne te donne pas l'équation originale, tu devras peut-être d'abord calculer le gradient de l'équation de la droite à l'aide de deux coordonnées. La formule du gradient est \(\frac{{y_2 - y_1}}{{{x_2 - x_1}}\).
La ligne 1 va de (3, 3) à (9, -21) et est coupée perpendiculairement par la ligne 2. Quel est le gradient de la pente de la ligne 2 ?
- Identifie le gradient original : Comme nous n'avons pas l'équation de la ligne 1, nous allons devoir calculer le gradient de sa pente. Pour trouver le gradient de la ligne 1, tu dois substituer les coordonnées dans la formule du gradient : \( gradient = \frac{changement \N, dans \N, y}{changement \N, dans \N, x} \N). Par conséquent, \N(\frac{-21 - 3}{9 - 3} = \frac{-24}{6} = -4\).
- Trouve la pente de la bissectrice perpendiculaire : Substitue -4 dans la formule \(-\frac{1}{m}\), car les droites sont perpendiculaires. Par conséquent, le gradient est \(\frac{-1}{-4}\), qui est égal à \(\frac{1}{4}\).
Trouver le point médian d'un segment de ligne
Le point médian est une coordonnée qui indique le milieu d'un segment de droite. Si l'on ne te donne pas l'équation de la ligne d'origine, tu devras calculer le point médian du segment de ligne, car c'est là que la bissectrice croisera la ligne d'origine.
Un segment de droite est une partie d'une ligne entre deux points.
Tu peux trouver le point médian en faisant la moyenne des coordonnées x et y de l'extrémité du segment de droite. Par exemple, tu peux trouver le point médian du segment de la ligne dont les extrémités sont (a, b) et (c, d) à l'aide de la formule suivante : \(\left(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}\right)\).
Fig. 2 - Une bissectrice perpendiculaire sur un graphique
Un segment de droite a pour extrémités (-1, 8) et (15, 10). Trouve les coordonnées du point médian.
- En utilisant \(\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}{right)\N), remplace les extrémités (-1, 8) et (15, 10) pour obtenir \(\left(-\frac{1+15}{2}, \frac{8+10}{2}\Nright)\N = (7, 9).
Tu peux réarranger la formule pour utiliser le point médian afin de trouver l'une des autres coordonnées.
AB est un segment de droite dont le point médian est (6, 6). Trouve B lorsque A est (10, 0).
- Tu peux diviser \N(\Ngauche(\Nfrac{a+c}{2}, \Nfrac{b+d}{2}\Ndroite)\Nen parties relatives aux coordonnées x- et y- où le centre est (m, n).
- Coordonnée X : \(\frac{a + c}{2}\)= m
- Coordonnées Y : \N(\Nfrac{b+d}{2} = n\N)
Tu peux ensuite remplacer les coordonnées connues par ces nouvelles équations
Coordonnées X : \(\frac{10+c}{2} = 6\)
Y coordinates:\(\frac{0+d}{2}=6\)
En réarrangeant ces équations, on obtient c = 2 et d = 12. Par conséquent, B = (2, 12)
Créer l'équation d'une bissectrice perpendiculaire
Pour finir de formuler l'équation de la bissectrice perpendiculaire, tu dois substituer le gradient de la pente ainsi que le point de bissection (le point médian) dans une formule d'équation linéaire.
Ces formules comprennent :
\(y = m \cdot x + c\)
\N(y - y_1 = m(x - x_1)\N)
\N(Ax + By = C\N)
Tu peux substituer directement les deux premières formules, tandis que la dernière doit être réarrangée sous cette forme.
Un segment d'une ligne allant de (4,10) à (10, 20) est perpendiculaire à la bissectrice de la ligne 1. Quelle est l'équation de la bissectrice perpendiculaire ?
- Trouve le gradient de la pente de la ligne originale : \(\frac{20 - 10}{10 - 4} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
- Trouve le gradient de la pente de la ligne 1 : \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}\)
- Trouve le point médian du segment de droite : \N(\Ngauche(\Nfrac{4+10}{2}, \Nfrac{10+20}{2}\Ndroite) = (7, 15)\N)
- Substitue dans une formule : \N(y - 15 = -\frac{3}{5}(x - 7)\N)
Un segment d'une ligne allant de (-3, 7) à (6, 14) est perpendiculaire à la bissectrice de la ligne 1. Quelle est l'équation de la bissectrice perpendiculaire ?
- Trouve le gradient de la pente de la ligne originale : \(\frac{14-7}{6 - (-3)} = \frac{7}{9}\)
- Trouve le gradient de la pente de la ligne 1 : \(-\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{7}{9}} = -\frac{9}{7}\)
- Trouve le point médian du segment de droite : \(\left(-\frac{3}{2}+6, \frac{7}{2}+14 \droite) = \left(\frac{3}{2}, \frac{21}{2}\droite)\)
- Substitue dans une formule : \(y - \frac{21}{2} = -\frac{9}{7}(x - \frac{21}{2})\)
Par conséquent, l'équation de la bissectrice perpendiculaire du segment de droite est la suivante
\(y - \frac{21}{2} = - \frac{9}{7}(x - \frac{21}{2})\) \(y - \frac{21}{2} = - \frac{9}{7}x + \frac{189}{14}\frac{9}{7}x + y = \frac{189}{14} + \frac{21}{2}\frac{9}{7}x + y = \frac{189+147}{14}\frac{9}{7}x + y = \frac{189+147}{14}\frac{9}{7}x + y = \frac{336}{14}\frac{9}{7}x + y = 24\frac{9}{7}x + y - 24 = 0\)
Équation d'une bissectrice perpendiculaire - Principaux enseignements
Une bissectrice perpendiculaire est une ligne qui divise perpendiculairement une autre ligne en deux. La bissectrice perpendiculaire est toujours exprimée sous forme d'équation linéaire.
Pour calculer le gradient d'une ligne perpendiculaire, tu prends l'inverse négatif du gradient de la pente de la ligne d'origine.
Si l'on ne te donne pas d'équation pour la pente de la ligne d'origine, tu dois trouver le point médian du segment car c'est le point de bissection. Pour calculer le point médian, tu remplaces les extrémités d'un segment de droite par la formule suivante : \(\Nà gauche (\Nfrac{a+c}{2},\Nfrac{b+d}{2}\Nà droite)\Nà droite).
Pour créer l'équation de la bissectrice perpendiculaire, tu dois substituer le point médian et le gradient dans une formule d'équation linéaire.
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