L'étude mathématique des ellipses a de nombreuses applications pratiques, comme la fabrication de lentilles convexes et concaves pour les appareils photo, dans une procédure d'élimination des calculs rénaux, dans les télescopes et les lentilles utilisées dans nos lunettes, etc.
Mais qu'est-ce qu'une ellipse exactement ? Regardons !
Qu'est-ce qu'une ellipse ?
En termes généraux, une ellipse est un cercle allongé. En termes précis, elle est définie comme suit :
Une ellipse est l'ensemble des points tels que la somme des distances de deux points fixes (appelés foyers) reste la même.
Décrivons mathématiquement ce qu'est une ellipse. Supposons qu'il y ait deux points colinéaires, A et B, comme le montre le diagramme ci-dessous. Nous cherchons tous les points tels que la somme des distances entre A et B reste constante. Soit P un point arbitraire tel que
Dans une ellipse, la somme des distances AP et BP est constante, StudySmarter Originals
L'ensemble des points qui satisfont à cette condition forme une ellipse.
Il y a quelques termes avec lesquels nous devons nous familiariser avant d'entrer dans les détails des ellipses. Tout d'abord, il y a deux autres points appelés les sommets de l'ellipse. Les sommets sont les points d'extrémité des ellipses, il est facile de visualiser ces sommets à partir du diagramme ci-dessus. La ligne sur laquelle se trouvent les points A et B, le centre et les sommets, est appelée axe majeur de l'ellipse . C'est l'axe le long duquel l'ellipse est alignée. La longueur de l'axe principal est mesurée le long des deux sommets, c'est-à-dire la distance entre les deux sommets.
Les foyers d'une ellipse
Tu te demandes peut-être ce que ces deux points, A et B, ont de particulier.
Les deux points (A et B sur le schéma) pour lesquels la somme des distances à ces points est constante, qui forment l'ellipse, sont appelés les foyers d'une ellipse.
Une autre propriété des foyers est que les deux foyers sont équidistants du centre de l'ellipse. Voyons ce qu'est un centre :
Le Centre d'une ellipse est le point où le grand axe et le petit axe d'une ellipse se croisent.
Ou encore, c'est le point qui coupe les deux axes en deux.
Une ellipse se présente comme suit :
Le centre d'une ellipse est l'endroit où le grand axe et le petit axe se croisent, StudySmarter Originals
Les deux points dont il a été question précédemment sont les deux foyers A et B, comme indiqué.
Formules et équations d'une ellipse
Jusqu'à présent, nous avons établi l'idée de ce qu'est une ellipse. Maintenant, en utilisant ses propriétés, nous allons dériver l'équation d'une ellipse. Il existe deux types d'ellipses, l'une dont l'axe principal est l'axe des x et l'autre dont l'axe principal est l'axe des y. Rappelle-toi que d1+ d2 = 2a, où d1 et d2 sont les distances entre tout point de l'ellipse et les deux foyers. Les coordonnées des deux foyers, A et B, sont respectivement (-c,0) et (c,0). Les distances AP et PB peuvent maintenant être calculées à l'aide de la formule de distance pour deux points sur un plan.
L'équation d'une ellipse horizontale
Dans une ellipse horizontale, le grand axe est généralement l'axe des x, StudySmarter Originals.
Soit les coordonnées du point, car P représente tout point arbitraire sur l'ellipse, où x et y sont les variables. En utilisant la formule de la distance, nous avons
Et de la même façon,
En additionnant les deux équations ci-dessus, nous obtenons,
La dérivation de l'équation de l'ellipse à partir de cette étape nécessite un peu de manipulation algébrique. Voici comment procéder !
En réarrangeant légèrement et en élevant les deux côtés au carré, on obtient
Développe :
En annulant les termes communs de chaque côté de l'équation mise en évidence ci-dessus :
Maintenant, isolons le radical :
En combinant les termes cx, puis en élevant à nouveau les deux côtés au carré, on obtient : Expand : Annulation des termes communs de chaque côté de l'équation mise en évidence ci-dessus :
En annulant les termes communs à gauche et à droite, puis en divisant les deux côtés par 16 :
Mettons tous les x et les y du côté gauche de l'équation, et tout le reste du côté droit :
Faisons un peu de factorisation pour obtenir
Faisons maintenant une pause dans la dérivation et prenons un peu de recul. Si nous notons , alors nous utiliserons la formule de la distance,
Et enfin :
Subdivisons ceci dans l'équation ci-dessus !
Enfin, puisque l'équation finale que nous voulons a 1 du côté droit, divisons les deux côtés par :
Et voilà !
Nous avons donc vu que l'équation d'une ellipse horizontale est la suivante
En fixant , on obtient , ce qui donne comme les sommets de l'ellipse c'est-à-dire les coordonnées des points extrêmes de l'ellipse. De même, en fixant , on voit que l'ellipse coupe l'ellipse sur l'axe des ordonnées aux points et .
Une propriété intéressante de l'ellipse est que si nous remplaçons x par et y par , l'équation de l'ellipse reste inchangée. Cela implique que l'ellipse reste symétrique par rapport aux deux axes, quel que soit le signe de la variable.
L'équation d'une ellipse verticale
Dans une ellipse verticale, le grand axe est généralement l'axe des y, StudySmarter Originals
L'équation de l'ellipse que nous avons dérivée plus tôt est l'ellipse dont l'axe principal est l'axe des x. L'équation de l'ellipse dont l'axe principal est l'axe des y a la même équation, mais les rôles de a et b sont inversés. L'équation devient
pour laquelle le foyer se situe à et les sommets se situent à .
Rappelle-toi que les ellipses dont nous avons parlé jusqu'à présent ont leur centre aligné sur l'origine, c'est pourquoi on les appelle des ellipses standard.
L'excentricité d'une ellipse
L'excentricité est une quantité qui a été définie pour différencier les différents types de coniques. Il ne s'agit pas d'une quantité géométrique qui peut être inscrite sur un plan cartésien.
L'excentricité d'une conique est le rapport entre la distance d'un point à son foyer et la distance du même point à son sommet. En d'autres termes, c'est la mesure du degré d'ovalisation de l'ellipse.
L'excentricité d'une ellipse peut être trouvée en divisant c par a, StudySmarter Originals.
Par commodité, le point mentionné dans la définition à partir duquel la distance est mesurée est considéré comme l'origine.
Pour une ellipse, rappelle que et donc la valeur de e est toujours comprise entre 0 et 1. Plus e est proche de 0, plus l'ellipse est circulaire.
L'ellipse a une propriété de réflexion très particulière. Elle est souvent utilisée pour concevoir des galeries de chuchotement où les toits sont elliptiques, de sorte que lorsqu'une personne se tenant à l'un des foyers parle, n'importe qui sur les autres foyers peut l'écouter. Les tunnels du métro parisien sont également créés d'une manière similaire où les plafonds sont elliptiques. Les quais sont conçus de manière à ce que les passagers de chaque quai soient dans un seul foyer et que, si l'un d'entre eux veut dire quelque chose, n'importe qui sur l'autre quai puisse l'écouter clairement.
Exemples d'ellipses
Voyons quelques exemples d'ellipses !
Trouve l'équation de l'ellipse dont les sommets et les foyers sont situés à
Solution :
On peut voir que les foyers et les sommets se trouvent sur l'axe des ordonnées et que l'ellipse a donc son grand axe le long de l'axe des ordonnées.
Ici, et , donc
En substituant les valeurs de a et de c, on obtient
Par conséquent, la forme standard de cette ellipse est
Soit
Trouve l'excentricité d'une ellipse qui est donnée par
Solution :
En comparant l'équation de l'ellipse donnée avec la forme standard, il est clair que et
En prenant la racine carrée, on obtient
et comme
En substituant a et b, on obtient
En prenant la racine carrée des deux côtés,
Pour l'excentricité,
Nous pouvons également faire une vérification pour nous assurer que la réponse a un sens ou non. Nous savons que l'excentricité d'une ellipse est comprise entre 0 et 1. Si notre réponse se situe au-delà de cette fourchette, elle est donc erronée.
Trouve la longueur du grand axe et du petit axe d'une ellipse dont l'équation est donnée par .
Solution :
Nous devons convertir l'équation donnée de la manière suivante :
Où la longueur du grand axe et du petit axe sont respectivement 2a et 2b .
Par conséquent, l'équation donnée devient :
En prenant 9 au dénominateur de x2 et 4 au dénominateur de y2:
Ce qui, en simplifiant encore, est comparable à la forme générale :
Et en comparant les deux formes, on obtient .
Par conséquent, la longueur du grand axe est et celle du petit axe est .
Ellipses - Principaux enseignements
- Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes est la même.
- Les deux points fixes à partir desquels la distance est mesurée sont appelés foyers de l'ellipse.
- Les extrémités d'une ellipse sont appelées les sommets de l'ellipse.
- L'axe sur lequel se trouvent les foyers de l'ellipse est appelé grand axe de l'ellipse et l'axe perpendiculaire est appelé petit axe.
- Si a est la longueur du demi-grand axe et b la longueur du demi-petit axe, alors la distance des foyers par rapport à l'origine est donnée par c,.
- L'équation standard d'une ellipse avec les quantités définies ci-dessus est .
- L'excentricité d'une ellipse est la mesure de l'ovalisation de l'ellipse, elle est donnée par et la valeur de e est toujours comprise entre 0 et 1 pour une ellipse.
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